比较二次根式大小的巧妙方法.doc
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1、比较二次根式大小的巧妙方法二次根式是初中数学中的基础知识,也是初中数学学习中的重点内容;而比较二次根式的大小又是二次根式知识中的难点,也是中考和数学竞赛中常见的题型,经常会考到不查表、不求二次根式的值,来比较几个不含分母的二次根式的大小的问题。尽管教材上介绍了比较二次根式大小的几种基本方法,如求近似值法、比较被开方数法等,尽管很多教辅材料中也总结了不少诸如“作差”、“做商”、“有理化”、“取倒数”、“平方”等方法,但许多学生在考试中仍显得力不从心,并不清楚到底什么时候用哪种方法最合适?解答这类题目时缺少方法与对策,以至于无从下手。下面就举例介绍几种比较二次根式大小的有效方法。一、移动因式法此法
2、好学,适用。就是将根号外的正因式移入根号内,从而转化为比较被开方数的大小。例1:比较的大小。解:>∴>二、运用平方法两边同时平方,转化为比较幂的大小。此法的依据是:两个正数的平方是正数,平方大的数就大;两个负数的平方也是正数,平方大的数反而小。例2:比较与的大小。解:,>0,>0∴<三、分母有理化法此法是先将各自的分母有理化,再进行比较。例3:比较与的大小。解:∴>四、分子有理化法此法是先将各自的分子有理化,再比较大小。例4:比较与的大小解:>∴>五、求差或求商法求差法的基本思路是:设为任意
3、两个实数,先求出与的差,再根据“当<0时,<当时,;当>0时,>”来比较与的大小。求商法的基本思路是:设为任意两个实数,先求出与的商,再根据“同号:当>1时,>=1时,;<1时,<。异号:正数大于负数” 来比较与的大小。例5:比较的大小。解:<∴<例6:比较的大小。解:>1∴>六、求倒数法先求两数的倒数,而后再进行比较。例7:比较的大小。解:>∴<七、运用媒介法此法是借助中间量(定量或变量)巧妙转换达到直观比较的方法,类似于解方程中的换元法。例8:已知,试比较的大小。解
4、:设,则,<,∴<,即<八、设特定值法如果要比较的二次根式中含有字母,为了快速比较,解答时可在许可的条件下设定特殊值来进行比较。例9:比较与的大小。解:设,则:=1,=<1,∴>九、局部缩放法如果要比较的二次根式一眼看不出有什么特点,又不准求近似值,可采取局部缩放法,以确定它们的取值范围,从而达到比较大小的目的。例10:比较的大小。解:设,7<<8,即7<<8,8<<9,即8<<9∴<,即<例11:比较与的大小。解:>∴>十、“结论”推理
5、法通过二次根式的不断学习,不难得出这样的结论:“>(>>0)”,利用此结论也可以比较一些二次根式的大小(结论证明见文末)。例12:比较1与的大小。解:,由>(>>0)可知:>即>又>∴>,即1>总的来说,比较二次根式大小的方法不仅仅局限于以上十种,除此之外诸如移项、拆项法,类比推理法,数形结合法,数轴法,还有假设推理法等等,但不管使用哪种方法,都必须在掌握二次根式的基本性质和运算法则上进行,要根据问题的特征,二次根式的结构特点,多角度地探索思考,做到具体问题具体分析,针对不同问题采取不同的策略,另外还应多做这方面的
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