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1、用三角形的面积桥求锐角三角函数值一、利用三角形的面积桥求锐角三角函数值例1 如图1,E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD的中点,求∠EAF的正切值。图1解:连结EF,作FG⊥AE,垂足为G设正方形的边长为2,则BE=CE=CF=FD=1由在中,由勾股定理,得在AEF中,易证:ABEADF,∴AF=AE=在RtAFG中评注:本例考查了勾股定理、全等三角形等,要求锐角三角函数值必须在直角三角形进行,通过添加辅助线将非直角三角形转化为直角三角形,为解决问题创造了有利条件,使所求问题化归为利用三角形面积桥来解决。例2 如图2,AB是圆O的直径,CD⊥AB于
2、P,若BP=2,CD=12,求cos∠CAD的值。图2解:AB是圆O的直径,AB⊥CD∴点P是弦CD的中点∴PD=PC=6由相交弦定理,得PA·PB=PD·PC=PD2在中,由勾股定理,得易证:过点D作DE⊥AC,垂足为E在中,评注:本例考查了圆中的相交弦定理、垂径定理,还考查了勾股定理、全等三角形等知识,通过添加辅助线,构造直角三角形 初二,利用三角形面积桥的特殊条件,提高了解题与为解决某些问题搭起了平台作用。二、利用三角形的面积桥求点到直线的距离例3 如图3,已知圆与圆外切于点C,AB是两圆的外公切线,A、
3、B是切点,点A在圆上,点B在圆上。若AC、BC是关于x的方程的两个实数根,ABC的周长为30,求点C到直线AB的距离。图3解:过点C作两圆的公切线交AB于点P,则AP=PC=PB,即∴ABC是直角三角形。设BC=a,AC=b,AB=c,根据题意及根与系数的关系,得将代入,得根据勾股定理,得将、代入,得经整理,得,解得又都能使原方程有实根。当时代入,得,不合题意,舍去。当时,代入,得∴当时,代入,得设点C到直线AB的距离为h评注:本例由两圆外切来判断三角形的形状,将方程中的根与系数的关系和判别式,以及勾股定理,配、方程等知识点串联在一起,综合性较强,所考查的知识点颇多
4、,涉及面广,拓宽了对相关知识点的考查;同时合理构建方程组模型,利用方程的知识和三角形的面积桥是解决问题的关键;利用整体求值法,避免了求边长,提高了解题速度,有利于培养将所学过的掌握的相关知识转化为解决实际问题的,核心是应用,本例形成了较好的考查知识链。三、利用三角形的面积桥求三角形的内切圆面积例4 在ABC中,AC=4,BC=5,AB=6,求ABC的内切圆面积。解:如图4所示,过点A作AD⊥BC,设BD=x,CD=y,则图4在和中,由勾股定理,得解,得设ABC的内切圆半径为r,因为三角形的内切圆圆心到三边的距离相等。的内切圆面积为(面积单位)。评注:本例充分利用方程知识和三角形的面积
5、桥,使所求问题无从下手,到“柳暗花明”,使所求问题迎刃而解。四、利用三角形的面积桥解决其他问题例5 在ABC中,AB=3,BC=,AC=4,点P为BC边上的任一点(不与B、C重合),PE⊥AB,PF⊥AC,E、F为垂足,求3PE+4PF的值。解:如图5过点B作BD⊥AC,垂足为D图5设则在和中,由勾股定理,得即解,得观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,
6、引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌
7、握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。连结AP,则即单靠“死”记还不行,还得“活”用,姑且称之为“先死后活”吧。让学生把一周看到或听到的新鲜事记下来,摒弃那些假话套话空话,写出自己的真情实感,篇幅可长可短,
8、并要求运用积累的成语、名言警句等,定期检查点评,选择优秀篇目在班里朗读或展出。这样,即巩固了所学的材料,又锻炼了学生的写作能力,同时还培养了学生的观察能力、思维能力等等,达到“一石多鸟”的效果。评注:本例是2018年全国高题改编,在解题过程中,利用了方程思想,实现了几何代数化,由方程知识和三角形的面积桥,使解题思路清晰,解题方法跃然纸上,简洁明快,所以三角形的面积桥为提高解题质量和技巧提供了便捷通道。观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很
9、浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。如啄木鸟的嘴是长长的,尖尖的,硬硬的,像医生用的手术刀样,给大树开刀治病。通过联想,幼儿能够生动形象地描述观察对象。第 5 页
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