用数学的方法算一算:你何时能遇上真爱?.doc
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1、用数学的方法算一算:你何时能遇上真爱?一位艺术家问他的一位数学家朋友:“数学家每天都在忙些什么呢?”这位数学家决定写本书来回答。他希望给读者提供一个崭新的视角,重新了解和欣赏数学的美,告诉大家“迈克尔乔丹的灌篮如何完美地诠释了微积分的原理”、“怎样翻转床垫才能最大化地延长床垫的寿命”、“结婚之前,到底谈多少次恋爱才最合理”他说,我们的生活中充满了数学,是否能看到它们,取决于你有没有一双善于发现的眼睛。这位数学家就是美国康奈尔大学的应用数学系教授史蒂夫斯托加茨,而这本书则是今年4月出版的X的奇幻之旅。以下摘自此书部分内容分享,看看数学如何无处不在。算一算股票是赔还是赚?老婆太小还是太老?算术是不
2、断寻找更全面、更完美的数字的过程。如果我们只满足于数数,满足于加法和乘法运算,那么自然数,也就是1、2、3已足够用了。但是,聪明的人类绝不会满足于此。于是有了“零”,又有了“负数”、“分数”、“小数”和“百分数”而“代数”更是一个令很多人头痛不已的科目:复杂的符号、定义、解法,通通混在一起,令人头晕目眩、无所适从。但是,它们的本质其实都很简单,它们之所以会出现,就是因为我们在日常生活中常常不自觉地使用到。就算是一种很特殊的公式恒等式,在生活中也经常被用到。比如你可以快速地心算出48的平方数你只要先计算50的平方数,也就是2500,然后算出50和你所要计算的数字的差,用这个差乘以100。再用25
3、00减去这个乘积就可以了。这样要算48的平方数,就用50减去48等于2,再用2500减去200,即得出2300。这里就用到了恒等式:(50X)2=2500100XX2任何投资股市的人也都可能会用到恒等式。假设某一年间股市低迷,你的投资组合惨痛地缩水50%,然后第二年股市反弹,你的投资组合又涨了50%,那么你最终是赚了还是赔了呢?答案是,最终你的投资组合和两年前的初始价值相比仍然赔掉了25%。原因就在于,第一年你的投资组合跌了1/2,年末价值是初始值乘以0.5。第二年股价又上升了50%,所以第二年年末的最终价值等于第一年年末价值乘以1.5。最终,你的投资组合的价值是初始值乘以0.5,再乘以1.5
4、,也就是初始值的0.75。事实上,如果你的投资组合在两个相邻的年份中一赔一赚,那么不管你是先赔再赚还是先赚再赔,只要赚和赔的比率数值一样,最后算算净值,你一定还是赔钱的。因为我们有如下这样一个恒等式:(1X(1X)=1X2不过,代数这些公式有时也是武断和没有道理的。比如,有种观点认为,情侣之间的年龄差距不应该过大。到底年龄差距多大算是过大呢?有网站竟给出了这样一个“魔法公式”:如果你的年龄是X,那么你的恋人的年龄必须大于X/27。按这种算法,如果一位82岁的老先生想追求一位小于48岁的中年女士,就已经是不合适了只是,姻缘到底合不合适,还得当事人说了算吧?算一算冷热水龙头一起灌满浴缸需要多长时间
5、?宇宙万物的内在逻辑,都可以用数字与数字之间的关系来表示。比如因与果、供与求、输入和输出、措施和效果。我们应该学习和训练自己的这种能力,学会思考和分析数字与数字之间的关系。比如我们可能都曾遇到过这样一道很经典的应用题:如果只开冷水龙头,灌满浴缸需要半个小时;如果只开热水龙头,灌满浴缸需要1个小时。问:如果把冷水龙头和热水龙头同时打开,灌满浴缸需要多长时间?我们最初听到这道题,脑袋一定像那个浴缸一样,混乱一片,摸不着头绪。但数学家会轻松地解答:冷水龙头30分钟能灌满浴缸,也就是说每分钟可以灌满浴缸的1/30;而热水龙头要60分钟才能灌满浴缸,也就是说,热水龙头每分钟可以灌满浴缸的1/60。那么,
6、如果把冷水龙头和热水龙头同时打开,每分钟可以灌满浴缸的1/20。答案很快便浮出水面,即20分钟可以灌满整个浴缸。这种解法不仅涉及分数,还用到了最小公倍数的知识。但这道题还有别的更有意思的解法。比如,假设现在不只是有一个浴缸和两个水龙头,我们用一冷一热两个水龙头分别给几个浴缸灌水,60分钟以后,热水龙头正好灌满了1个浴缸,而冷水龙头显然已经灌满了2个浴缸。也就是说,两个水龙头同时打开,60分钟共计灌满了3个浴缸。那么灌满一个浴缸需要多长时间呢?当然是60分钟的1/3,也就是20分钟。这道题再延展开去,可能又出现这样一道题:一位老奶奶要过马路,如果无人帮助,她需要耗时60秒钟;而你单独过马路只要3
7、0秒钟,如果要你去搀扶老奶奶一起过马路,需要多长时间呢?这个题目的答案是45秒钟。这个问题与浴缸的问题看上去很相似,但它们又有本质的区别:在浴缸问题中,两个水龙头虽然同时在放水,但灌水速度完全不受对方影响;而你和老奶奶却是互相影响着对方的。我们通常会因为直觉自动开启了“模式识别”的功能,对这两道题给出同样的答案,但显然这个“模式”是靠不住的,因为我们的潜意识通常没有那么敏锐,无法第一时间发现其中那个重要区别。很多应用题的问法中都故意埋藏了一些文字陷阱,如果你凭直觉回答,就会掉入这些陷阱。比如这样一道题目:3个人可以在3小时内漆完3段篱笆,那么1个人漆完1段篱笆需要几个小时呢?很多人可能会脱口而
8、出:“1个小时。”而正确答案是“3个小时”。这道题因为读起来跟顺口溜似的,很容易地在你的脑海中建立起了一个鼓点般的韵律,这种条件和问题的“平行”结构使得人们很容易给出一个在语言音律学上感觉正确、但是数学计算上却完全错误的结论。能不被表象所迷惑,冷静客观地审题,才是答对本题的关键。这种能力其实就可以通过数学课反复训练而来。算一算如何翻转才能使床垫磨损率最小?著名物理学家理查德费曼有一则逸事:他在入伍体检时,需要通过精神科医生的检查。当医生让费曼把手伸出来给他看,费曼立刻伸出的双手,是一只手手掌朝上,另一只手手背朝上。医生说:“不是这样,把手翻过来。”费曼闻声又把双手都翻了过来,还是一只手手掌朝上
9、,另一只手手背朝上。这显然是个恶作剧。但只有懂得“群论”的理科生才能体会其中的幽默。“群论”是指针对一些数学行为的集合展开的讨论。其实你可能经常这么做因为它讨论的是科学和艺术的一个共同的主题:对于“对称”的永恒追求与热爱。更准确地说,“群论”讨论的是这样一个问题:在一定限制条件下,有多少种方式可以转化一个形状,但这个形状的本质却保持不变?这些转化的方式,就叫做这个形状的“对称性”。这些转化方式的集合形成一个“群”后,“群”的性质便定义了这个形状的最本质特征。美国的一位科普作家布莱恩海斯在卧室中的群论一书中就是利用群论的方法,讨论关于如何定期翻转床垫才是最佳的?怎么翻转才能让床垫的磨损最均匀呢?
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