神奇的回归数猜想.doc
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1、神奇的回归数猜想英国大数学家哈代(G.H.Hardy,18771947)曾经发现一个有趣的现象,就是有这样一些数,他们都是三位数,而且他们等于各位数字的三次幂之和,例如153=13+53+33,371=33+73+13,370=33+73+03,407=43+03+73这种巧合真的是很奇妙。有人在读了哈代这个有趣的发现后,又在有多位的数字中寻找符合这个规律的数,最后也真的找到这样一些数字。人们把这种其值等于各位数字的N次幂之和的N位数,称为N位N次幂回归数。例如,数字四(五,六)次幂之和的四(五,六)位数1634=14+64+34+44,54748=55+45+75+45+85,548834=
2、56+46+86+86+36+46,人们自然会问,什么样的自然数N有回归数?这样的N是有限个,还是无穷多个?对于已经给定的N,如果有回归数,那么有多少个回归数?我们来看看这种回归数有什么规律呢?1986年美国的一位数学教师安东尼.迪拉那(AnthonyDiluna)巧妙地证明了使N位数成为回归数的N只有有限个。设An是这样的回归数,即:An=a1a2a3an=a1n+a2n+ann(其中0=a1,a2,an=9)从而10n-1=n9n即n必须满足n9n10n-1也就是(10/9)n10n随着自然数N的不断增大,,(10/9)n值的增加越来越快,很快就会使得式不成立,因此,满足的n不能无限增大,
3、即n只能取有限多个.进一步的计算表明:(10/9)60=556.4798.10*60=600(10/9)61=618.3109.10*61=610对于n=61,便有(10/9)n10n由此可知,使(1)式成立的自然数n=60,故这种回归数最多是60位数,迪拉那说,他的学生们早在1975年借助于哥伦比亚大学的计算机得到下列回归数:一位回归数(夜百荷数):1,2,3,4,5,6,7,8,9二位回归数:不存在(菊花数)(20,4,16,37,58,89,145,42)三位回归数(水仙花数)153,370,371,407四位回归数(桃花数)1634,8208,9474五位回归数(梅花数)54748,9
4、2727,93084六位回归数(雪花数)548834七位回归数(玫瑰数)1741725,4210818,9800817,9926315八位回归数(牡丹数)24696050,24696051,88593477九位回归数()146511208,472335975,534494836,912985153十位回归数()4679307774十一位回归数8269391657844708635679942045919143216404965142678290603400283942253216404965049388550606十二位回归数无解十三位回归数0564240140138(只有广义解一组)十四位回
5、归数28116440335967十五位回归数无解十六位回归数43382817693913714338281769391370十七位回归数356415942089641322189714258761207535875699062250035233411150132317(广义解)十八位回归数无解十九位回归数4498128791164624869492927388592808882632895829844431870321517841543307505039二十位回归数1454339831148453271363105425988599693916二十一位回归数128468643043731391
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