2017_2018学年高中数学第一章常用逻辑用语1.3全称量词与存在量词学案苏教版选修1_12017.doc
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1、1.3全称量词与存在量词13.1量词全称量词与全称命题观察下列命题:(1)对任意实数x,都有x5.(2)对任意一个x(xZ),3x1是整数问题:上述两个命题各表示什么意思?提示:(1)表示对每一个实数x,必定有x5;(2)对所有的整数x,3x1必定是整数全称量词和全称命题全称量词所有、任意、每一个、任给符号表示x表示“对任意x”全称命题含有全称量词的命题一般形式xM,p(x)存在量词和存在性命题观察下列语句:(1)存在一个实数x,使3x17.(2)至少有一个xZ,使x能被3和4整除问题:上述两个命题各表述什么意思?提示:(1)表示有一个实数x,满足3x17;(2)存在一个整数Z,满足能被3和4
2、整除存在量词和存在性命题存在量词有一个、有些、存在一个符号表示“x”表示“存在x”存在性命题含有存在量词的命题一般形式xM,p(x)1判断命题是全称命题还是存在性命题,主要是看命题中是否含有全称量词和存在量词,有些全称命题虽然不含全称量词,但可以根据命题涉及的意义去判断2要确定一个全称命题是真命题,需保证该命题对所有的元素都成立;若能举出一个反例说明命题不成立,则该全称命题是假命题3要确定一个存在性命题是真命题,举出一个例子说明该命题成立即可;若经过逻辑推理得到命题对所有的元素都不成立,则该存在性命题是假命题全称命题、存在性命题的判断例1判断下列命题是全称命题还是存在性命题(1)若a0且a1,
3、则对任意x,ax0;(2)对任意实数x1,x2,若x1x2,则tan x1tan x2;(3)存在实数T,使得|sin(xT)|sin x|;(4)存在实数x,使得x21sin x;xR,3x0;xR,sin xcos x2;xR,lg x0.其中为真命题的是_(填入所有真命题的序号)解析:中,由于x,所以sin x0,0cos x0,所以是真命题;中,函数y3x,xR的值域是(0,),所以是真命题;中,函数ysin xcos x sin,xR的值域是,又2, ,所以是假命题;中,由于lg 10,所以是真命题答案:5判断下列全称命题的真假(1)所有的素数是奇数;(2)xR,x211;(3)对每
4、一个无理数x,x2也是无理数解:(1)2是素数,但不是奇数所以,全称命题“所有的素数是奇数”是假命题(2)xRx20x211.所以,全称命题“xR,x211”是真命题(3)是无理数,但()22是有理数所以,“对每一个无理数x,x2也是无理数”是假命题6分别判断下列存在性命题的真假:(1)有些向量的坐标等于其起点的坐标;(2)存在xR,使sin xcos x2.解:(1)真命题设A(x1,y1),B(x2,y2),(x2x1,y2y1),由得如A(1,3),B(2,6),(x2x1,y2y1)(1,3),满足题意(2)假命题由于sin xcos xsin的最大值为,所以不存在实数x,使sin x
5、cos x2.1判定命题是全称命题还是存在性命题,主要方法是看命题中是否含有全称量词和存在量词;另外,有些全称命题并不含有全称量词,这时我们就要根据命题涉及的意义去判断2要判定全称命题“xM,p(x)”是真命题,需要对集合M中每个元素x,证明p(x)成立;如果在集合M中找到一个元素x0,使得p(x0)不成立,那么这个全称命题就是假命题3要判定存在性命题“xM,p(x)”是真命题,只需在集合M中找到一个元素x0,使p(x0)成立即可;如果在集合M中,使p(x)成立的元素x不存在,那么这个存在性命题是假命题对应课时跟踪训练(五) 1下列命题:有的质数是偶数;与同一平面所成的角相等的两条直线平行;有
6、的三角形的三个内角成等差数列;与圆只有一个公共点的直线是圆的切线,其中是全称命题的是_,是存在性命题的是_(只填序号)解析:根据所含量词可知是全称命题,是存在性命题答案:2下列命题中的假命题是_xR,2x10;xN*,(x1)20;xR,lg x0”为真命题,则实数a的取值范围是_解析:当a0时,不等式为10,对xR,10成立当a0时,若xR,ax22ax10,则解得0a0);(2)对任意非零实数x1,x2,若x1x2,则;(3)R,使得sin()sin ;(4)xR,使得x210.解:(1)(2)是全称命题,(3)(4)是存在性命题(1)zx0(z0)恒成立,命题(1)是真命题(2)存在x1
7、1,x21,x1x2,但;(2),使cos()cos cos ;(3)x,yN,都有(xy)N;(4)x,yZ,使xy3.解:(1)法一:当xR时,x2x12,所以该命题是真命题法二:x2x1x2x0,由于141的解集是R,所以该命题是真命题(2)当,时,cos()coscoscos ,cos cos cos cos 0,此时cos ()cos cos ,所以该命题是真命题(3)当x2,y4时,xy2N,所以该命题是假命题(4)当x0,y3时,xy3,即x,yZ,使xy3,所以该命题是真命题8(1)对于任意实数x,不等式sin xcos xm恒成立,求实数m的取值范围;(2)存在实数x,不等式
8、sin xcos xm有解,求实数m的取值范围解:(1)令ysin xcos x,xR.ysin xcos xsin(x).又xR,sin xcos xm恒成立只要mm有解只要m0,故(1)是假命题命题的否定:存在xR,x3x210.(2)10能被5整除,10是偶数,故(2)是假命题命题的否定:存在一个能被5整除的整数不是奇数(3)有理数经过加、减、乘运算后仍是有理数,故(3)是真命题命题的否定:存在xQ,x2x1不是有理数一点通(1)全称命题的否定:全称命题的否定是一个存在性命题,给出全称命题的否定时既要否定全称量词,又要否定性质,所以找出全称量词,明确命题所提供的性质是解题的关键(2)常见
9、词语的否定:原词否定词原词否定词原词否定词等于不等于是不是至少一个一个也没有大于不大于都是不都是任意某个小于不小于至多一个至少两个所有的某些1指出下列命题的形式,写出下列命题的否定:(1)所有的矩形都是平行四边形;(2)每一个素数都是奇数;(3)xR,x22x10.解:(1)xM,p(x),否定:存在一个矩形不是平行四边形,xM,綈p(x)(2)xM,p(x),否定:存在一个素数不是奇数,xM,綈p(x)(3)xM,p(x),否定:xR,x22x10,xM,綈p(x)2判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)三角形的内角和为180;(2)每个二次函数的图像都开口向下;(3)任何一个平行
10、四边形的对边都平行;(4)负数的平方是正数解:(1)是全称命题且为真命题命题的否定:三角形的内角和不全为180,即存在一个三角形且它的内角和不等于180.(2)是全称命题且为假命题命题的否定:存在一个二次函数的图像开口不向下(3)是全称命题且为真命题命题的否定:存在一个平行四边形的对边不都平行(4)是全称命题且为真命题命题的否定:某个负数的平方不是正数.存在性命题的否定例2写出下列存在性命题的否定,并判断其否定的真假:(1)有些实数的绝对值是正数;(2)某些平行四边形是菱形;(3)x0,y0Z,使得x0y03.思路点拨它们的否定是全称命题,解题时既要改变量词,也要否定结论,最后判断其真假精解详
11、析(1)命题的否定是:“所有实数的绝对值都不是正数”由于|2|2,因此命题的否定为假命题(2)命题的否定是:“每一个平行四边形都不是菱形”由于菱形是平行四边形,因此命题的否定是假命题(3)命题的否定是:“x,yZ,xy3”因为当x0,y3时,xy3,因此命题的否定是假命题一点通(1)存在性命题的否定是全称命题,要否定存在性命题“xM,p(x)成立”,需要验证对M中的每一个x,均有p(x)不成立,也就是说“xM,綈p(x)成立”(2)要证明存在性命题是真命题,只需要找到使p(x)成立的条件即可(3)只有“存在”一词是量词时,它的否定才是“任意”,当“存在”一词不是量词时,它的否定是“不存在”例如
12、:三角形存在外接圆这个命题是全称命题,量词“所有的”被省略了,所以,这个命题的否定是:有些三角形不存在外接圆3写出下列命题的否定,并判断其真假:(1)p:x0R,x10;(2)p:至少有一个实数x,使x310.解:(1)綈p:xR,x210,真命题(2)綈p:xR,x310x1时,x310,綈p为假命题4判断下列命题的真假,并写出这些命题的否定:(1)存在一条直线在y轴上有截距;(2)存在二次函数的图像与x轴相交;(3)存在一个三角形,它的内角和小于180;(4)存在一个四边形没有外接圆解:(1)与y轴平行的直线在y轴上没有截距,其他直线在y轴上都有截距,所以,此命题是真命题命题的否定是:所有
13、的直线在y轴上没有截距;(2)对于二次函数yax2bxc(a0),当0时,函数图像与x轴有交点,所以,此命题是真命题,命题的否定是:所有二次函数的图像与x轴不相交;(3)任何三角形内角和都等于180.所以,此命题是假命题命题的否定是:任何三角形的内角和不小于180;(4)对角不互补的四边形就没有外接圆,所以,此命题是真命题命题的否定是:任何四边形都有外接圆.含有一个量词的命题的综合应用例3若全称命题“对任意x1,),x22ax2a恒成立”是真命题,求实数a的取值范围思路点拨由于此全称命题是真命题,所以可以推出a的值,求出在x1,)时,f(x)mina,利用一元二次不等式与二次函数的关系解题精解
14、详析法一:由题意,对任意x1,),令f(x)x22ax2a恒成立所以f(x)(xa)22a2可转化为对任意x1,),f(x)mina成立,即对任意x1,),f(x)min由f(x)的最小值f(x)mina,知a3,1所以实数a的取值范围是3,1法二:x22ax2a,即x22ax2a0.令f(x)x22ax2a,所以全称命题转化为对任意x1,),f(x)0恒成立所以0,或即2a1,或3a2.所以3a1.综上,所求实数a的取值范围是3,1一点通对任意x1,),f(x)a,只需f(x)mina.也可等价转化为对任意x1,),x22ax2a0恒成立,结合一元二次不等式的解集与二次函数图像间的关系求解5
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