高中数学第二章圆锥曲线与方程2.4.2抛物线的简单几何性质课堂导学案新人教B版选修2_1201711.doc
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1、2.4.2 抛物线的简单几何性质课堂导学三点剖析一、利用抛物线定义求最值【例1】在抛物线x2=8y上求一点P,使得P点到焦点的距离与P点到定点A(1,3)的距离之和最小,并求出这个最小距离.解析:过A作直线l与准线垂直交于点A,与抛物线交于点P,则P点即为所求.将P(1,y)代入x2=8y中,则y=.且最小距离d=5.温馨提示 要充分利用抛物线的定义和几何知识.二、焦点弦问题【例2】已知过抛物线y2=4x的焦点F的弦长为36,求弦所在的直线方程.分析:弦所在的直线经过焦点(1,0),只需求出直线的斜率,因为弦长为36,所以可以判断直线的斜率是存在的且不为0.解析:由题意可设弦所在的直线的斜率为
2、k,且与抛物线交于A(x1,y1)、B(x2,y2)两点.抛物线y2=4x的焦点F(1,0),直线方程为y=k(x-1).由整理得k2x2-(2k2+4)x+k2=0.x1+x2=.|AB|=|AF|+|BF|=x1+x2+2=+2.又|AB|=36,+2=36,解得k2=,即k=.所求直线方程为y=(x-1)或y=-(x-1).温馨提示 (1)此题也可以先求出两交点坐标,再根据两点间的距离公式列出等式求出k,但是计算复杂,一般不采用. (2)也可以利用弦长公式|AB|=|x1-x2|来求,这个方法普遍适用于求二次曲线的弦长. (3)因为本题的弦是过焦点的,是特殊位置的弦,所以结合抛物线的定义
3、得到|AB|=x1+x2+p,解起来更简捷.三、直线与抛物线的位置关系【例3】直线l:y=kx+1,抛物线C:y2=4x,当k为何值时l与C有(1)一个公共点;(2)两个公共点;(3)没有公共点.解析:将l和C的方程联立消去y,得k2x2+(2k-4)x+1=0.(*)当k=0时,方程(*)只有一个解x=,y=1.直线l与C只有一个公共点(,1),此时直线l平行于对称轴.当k0时,方程(*)是一个一元二次方程.(1)当0,即k1,且k0时,l与C有两个公共点,此时称直线l与C相交;(2)当=0,即k=1时,l与C有一个公共点,此时称直线l与C相切;(3)当0,即k1时,l与C没有公共点,此时称
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