高中数学第二章圆锥曲线与方程2.5直线与圆锥曲线课堂探究学案新人教B版选修2_12017110938.doc
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1、2.5直线与圆锥曲线课堂探究探究一 直线与圆锥曲线的位置关系判断判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时,可将直线l的方程代入曲线C的方程,消去y(或x)得一个关于变量x(或y)的一元二次方程ax2bxc0.(1)当a0时,若0,则直线l与曲线C相交;若0,则直线l与曲线C相切;若0,则直线l与曲线C相离(2)当a0时,即得到一个一次方程,则l与C相交,且只有一个交点此时,若C为双曲线,则l平行于双曲线的渐近线;若C为抛物线,则l平行于抛物线的对称轴(3)当直线与双曲线或抛物线只有一个公共点时,直线与双曲线或抛物线可能相切,也可能相交【典型例题1】 已知直线l:kxy2k0,双曲线C:x24y24,
2、当k为何值时,(1)l与C无公共点;(2)l与C有唯一公共点;(3)l与C有两个不同的公共点思路分析:直线与圆锥曲线的公共点的个数,就等于直线方程与圆锥曲线方程所组成的方程组的解的个数因此本题可转化为方程组解的个数的判定,从而确定参数的取值解:(1)将直线方程与双曲线方程联立,消去y得(14k2)x28k(2k)x4(k24k5)0.要使l与C无公共点,即方程无实数解,则有14k20,且0,即64k2(2k)216(14k2)(k24k5)0.解得k或k,故当k或k时,l与C无公共点(2)当14k20,即k时,方程只有一解;当14k20,且0,即k时,方程只有一解,故当k或k时,l与C有唯一公
3、共点(3)当14k20,且0时,方程有两个不同的解,即l与C有两个不同的公共点,于是可得,当k,且k时,l与C有两个不同的公共点探究二 相交弦长问题若直线l与圆锥曲线F(x,y)0相交于A,B两点,求弦AB的长可用下列两种方法:(1)把直线的方程与圆锥曲线的方程联立,解得点A,B的坐标,然后用两点间距离公式,便得到弦AB的长,一般来说,这种方法较为麻烦(2)不求交点坐标,可用一元二次方程根与系数的关系求解设直线方程为ykxm,与圆锥曲线F(x,y)0交于两点A(x1,y1),B(x2,y2),则|AB|;或当k0时,|AB|y1y2|.当k0时,直线平行于x轴,|AB|x1x2|.【典型例题2
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