高中数学第二章平面向量2.2平面向量的线性运算例题与探究新人教A版必修4201711103165.doc
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1、2.2 平面向量的线性运算典题精讲例1已知向量a、b,比较|a+b|与|a|+|b|的大小.思路解析:因为向量包含长度和方向,所以在比较向量长度的大小时,要考虑其方向.解:(1)当a、b至少有一个为零向量时,有|a+b|=|a|+|b|;(2)当a、b为非零向量且a、b不共线时,有|a+b|a|+|b|;当a、b为非零向量且a、b同向共线时,有|a+b|=|a|+|b|;当a、b为非零向量且a、b异向共线时,有|a+b|a|+|b|.绿色通道:解答本题可利用向量加法的三角形法则,作出图形辅助解答;关键是准确、恰当地进行分类,分别处理.变式训练已知向量a,b,讨论|a-b|、|a|+|b|和|a
2、|-|b|的大小.思路解析:(1)当a、b至少有一个为零向量时,有|a-b|=|a|+|b|=|a|-|b|;(2)当a,b为非零向量,且a,b不共线时,有|a|+|b|a-b|a|-|b|;(三角形两边之和大于第三边,三角形两边之差小于第三边的向量表示)当a,b为非零向量,且a,b同向共线时,|a|+|b|a+b|=|a|-|b|;当a,b为非零向量,且a,b异向共线时,|a|+|b|=|a+b|a|-|b|.答案:|a|+|b|a-b|a|-|b|,结合|a|+|b|a+b|a|-|b|因此有|a|+|b|ab|a|-|b|.例2化简下列各式:(1);(2)(4a-3b)+b-(6a-7b
3、).思路分析:对于(1),可以利用三角形法则对向量进行分解;对于(2)利用向量线性运算的运算法则化简.解:(1)+=+(=+)=+=0+2=2.(2)(4a-3b)+ b- (6a-7b)= (4a-3b+b-a+b)=(4-)a+(-3+)b=(a-b)=a-b.绿色通道:向量加法的三角形法则可以推广为多边形法则,另一方面可以把任何一个向量用两个向量的和或差来表示,使用向量的数乘的结合律与分配律可以化简向量式子.变式训练(2006全国高考卷,理9)设平面向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.如果向量b1、b2、b3,满足|bi|=2|ai|,且ai顺时针旋转30后与bi同向,其中i=
4、1,2,3,则( )A.-b1+b2+b3=0 B.b1-b2+b3=0C.b1+b2-b3=0 D.b1+b2+b3=0思路解析:向量a1、a2、a3的和a1+a2+a3=0.向量a1、a2、a3顺时针旋转30后与b1、b2、b3同向,且|bi|=2|ai|,b1+b2+b3=0.答案:D例3已知两个非零向量e1和e2不共线,且ke1+e2和e1+ke2共线,求实数k的值.思路分析:因为ke1+e2和e1+ke2是共线向量,所以一定存在实数,使得ke1+e2=(e1+ke2)成立.解:ke1+e2和e1+ke2共线,存在实数,使得ke1+e2=(e1+ke2).(k-)e1=(k-1)e2.
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