2018届高考数学大一轮复习第二章函数导数及其应用第十一节导数的应用教师用书理20171014222.doc
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1、第十一节导数的应用2017考纲考题考情考纲要求真题举例命题角度1.了解函数单调性和导数的关系;能利用导数研究函数的单调性,会求函数的单调区间(其中多项式函数一般不超过三次);2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件;会用导数求函数的极大值、极小值(其中多项式函数一般不超过三次);会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数一般不超过三次);3.会利用导数解决某些实际问题(生活中的优化问题)。2016,全国卷,7,5分(图象判断)2016,全国卷,21,12分(导数与单调性、不等式证明、函数零点)2015,全国卷,12,5分(导数与单调性、参数的取值范围)2015,全国卷,21,12分
2、(切线、函数最值、零点问题)2014,全国卷,21,12分(导数与单调性、函数最值、不等式证明)函数与导数的压轴试题,在每年的高考中属于必考内容,其命题方向主要有两个:一是围绕函数的性质考查函数的奇偶性、单调性、周期性、极值、最值,曲线的切线等问题展开,二是围绕函数与方程、不等式命制探索方程根的个数、不等式的证明、不等式恒成立等问题展开。此类压轴试题难度较大,逻辑推理能力较强,在今后的备考中不可小视。微知识小题练自|主|排|查1函数的导数与单调性的关系函数yf(x)在某个区间内可导,则(1)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递增;(2)若f(x)0,则f(x)在这个区间内单调递减;(3)
3、若f(x)0,则f(x)在这个区间内是常数函数。2函数的极值与导数(1)函数的极小值若函数yf(x)在点xa处的函数值f(a)比它在点xa附近其他点的函数值都小,且f(a)0,而且在点xa附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则xa叫做函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值。(2)函数的极大值若函数yf(x)在点xb处的函数值f(b)比它在点xb附近其他点的函数值都大,且f(b)0,而且在点xb附近的左侧f(x)0,右侧f(x)0,则xb叫做函数的极大值点,f(b)叫做函数的极大值,极大值和极小值统称为极值。3函数的最值与导数(1)函数f(x)在a,b上有最值的条件:一般地,如果在区间a,b
4、上,函数yf(x)的图象是一条连续不断的曲线,那么它必有最大值和最小值。(2)求函数yf(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤为:求函数yf(x)在(a,b)内的极值;将函数yf(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值。微点提醒1函数f(x)在区间(a,b)上递增,则f(x)0,“f(x)0在(a,b)上成立”是“f(x)在(a,b)上单调递增”的充分不必要条件。2对于可导函数f(x),“f(x0)0”是“函数f(x)在xx0处有极值”的必要不充分条件。如函数yx3在x0处导数为零,但x0不是函数yx3的极值点。3求最值时,应注意极值点和
5、所给区间的关系,关系不确定时,需要分类讨论,不可想当然认为极值就是最值。4函数最值是“整体”概念,而函数极值是“局部”概念,极大值与极小值之间没有必然的大小关系。小|题|快|练一 、走进教材1(选修2-2P26练习T1改编)函数f(x)xex的一个单调递增区间是()A(,1 B2,8C1,2 D0,2【解析】解法一:f(x)xex,所以f(x)0,所以x1。故选A。解法二:f(x)1exxex(1)(1x)ex0。因为ex0,所以x1。故选A。【答案】A2(选修2-2P32A组T5(4)题改编)函数f(x)2xxlnx的极值是()A. B.Ce De2【解析】因为f(x)2(lnx1)1lnx
6、,当f(x)0时,解得0xe;当f(x)e,所以xe时,f(x)取到极大值,f(x)极大值f(e)e。故选C。【答案】C3(选修2-2P37B组T2改编)若商品的年利润y(万元)与年产量x(百万件)的函数关系式为yx327x123(x0),则获得最大利润时的年产量为()A1百万件 B2百万件C3百万件 D4百万件【解析】因为yx327x123(x0),所以y3x2273(x3)(x3)(x0),所以yx327x123在(0,3)上是增函数,在(3,)上是减函数,故当x3时,获得最大利润,即获得最大利润时的年产量为3百万件。故选C。【答案】C二、双基查验1(2016锦州模拟)已知函数yxf(x)
7、的图象如图所示(其中f(x)是函数f(x)的导函数)。则下面四个图象中,yf(x)的图象大致是()【解析】由条件可知当0x1时,xf(x)0,所以f(x)1时,xf(x)0,所以f(x)0,函数f(x)递增,所以当x1时,函数取得极小值。当x1时,xf(x)0,函数f(x)递增,当1x0,所以f(x)0,函数f(x)单调递增,当x(2,2)时,f(x)0,函数f(x)单调递增,所以a2。故选D。【答案】D3函数f(x)x2lnx的最小值为()A. B1C0 D不存在【解析】f(x)x,且x0。令f(x)0,得x1;令f(x)0,得0x0恒成立,f(x)在R上单调递增,f(x)无极值。【答案】0
8、,)5(2017重庆模拟)设1x2,则,2,的大小关系是_。(用“”连接)【解析】令f(x)xlnx(1x0,所以函数yf(x)(1xf(1)10,所以xlnx001,所以20,所以2。【答案】20知,f(x)与1xex1同号。令g(x)1xex1,则g(x)1ex1。所以当x(,1)时,g(x)0,g(x)在区间(1,)上单调递增。故g(1)1是g(x)在区间(,)上的最小值,从而g(x)0,x(,)。综上可知,f(x)0,x(,)。故f(x)的单调递增区间为(,)。【答案】(1)a2,be(2)单调递增区间为(,)反思归纳利用导数求函数单调区间的方法:1当导函数不等式可解时,解不等式f(x
9、)0或f(x)0,得0x2。由f(x)0,得x0或1x0,f(x)单调递增,x(1,)时,f(x)0时,f(x)。(1)0a1,当x(0,1)或x时,f(x)0,f(x)单调递增,当x时,f(x)2时,0 0,f(x)单调递增,当x时,f(x)0,f(x)单调递减。综上所述,当a0时,f(x)在(0,1)内单调递增,在(1,)内单调递减;当0a2时,f(x)在内单调递增,在内单调递减,在(1,)内单调递增。【答案】见解析反思归纳1.研究含参数的函数的单调性,要依据参数对不等式解集的影响进行分类讨论。2划分函数的单调区间时,要在函数定义域内讨论,还要确定导数为0的点和函数的间断点。3个别导数为0
10、的点不影响所在区间的单调性,如f(x)x3,f(x)3x20(f(x)0在x0时取到),f(x)在R上是增函数。【变式训练】讨论函数f(x)(a1)lnxax21(aR)的单调性。【解析】f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax。当a1时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递增;当a0时,f(x)0,故f(x)在(0,)上单调递减;当0a1时,令f(x)0,解得x,则当x时,f(x)0,故f(x)在上单调递减,在上单调递增。【答案】见解析考点三 利用单调性求参数的取值范围母题发散【典例3】已知函数f(x)x3ax1。(1)讨论f(x)的单调性;(2)若f(x)在R上为增函数,求实数a的取
11、值范围。【解析】(1)f(x)3x2a。当a0时,f(x)0,所以f(x)在(,)上为增函数。当a0时,令3x2a0得x;当x或x0;当x时,f(x)0时,f(x)在,上为增函数,在上为减函数。(2)因为f(x)在(,)上是增函数,所以f(x)3x2a0在(,)上恒成立,即a3x2对xR恒成立。因为3x20,所以只需a0。又因为a0时,f(x)3x20,f(x)x31在R上是增函数,所以a0,即实数a的取值范围为(,0。【答案】(1)见解析(2)(,0【母题变式】1.函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,)上为增函数,求a的取值范围。【解析】因为f(x)3x2a,且f(x)在区间(1,)上为
12、增函数,所以f(x)0在(1,)上恒成立,即3x2a0在(1,)上恒成立,所以a3x2在(1,)上恒成立,所以a3,即a的取值范围为(,3。【答案】(,32函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,1)上为减函数,试求a的取值范围。【解析】由f(x)3x2a0在(1,1)上恒成立,得a3x2在(1,1)上恒成立。因为1x1,所以3x23,所以a3。即当a的取值范围为3,)时,f(x)在(1,1)上为减函数。【答案】3,)3函数f(x)不变,若f(x)的单调递减区间为(1,1),求a的值。【解析】由母题可知,f(x)的单调递减区间为,1,即a3。【答案】34函数f(x)不变,若f(x)在区间(1,
13、1)上不单调,求a的取值范围。【解析】f(x)x3ax1,f(x)3x2a。由f(x)0,得x(a0)。f(x)在区间(1,1)上不单调,01,得0a3,即a的取值范围为(0,3)。【答案】(0,3)反思归纳根据函数单调性求参数的一般思路1利用集合间的包含关系处理:yf(x)在(a,b)上单调,则区间(a,b)是相应单调区间的子集。2转化为不等式的恒成立问题,即“若函数单调递增,则f(x)0恒成立;若函数单调递减,则f(x)0恒成立”来求解。微考场新提升1函数yx2lnx的单调减区间为()A(1,1 B(0,1C1,) D(0,)解析函数yx2lnx的定义域为(0,),yx,令y0,则可得01
14、,b1。故选C。答案C3已知函数f(x)x22cosx,若f(x)是f(x)的导函数,则函数f(x)的图象大致是()解析设g(x)f(x)2x2sinx,g(x)22cosx0,所以函数f(x)在R上单调递增。故选A。答案A4函数f(x)1xsinx在(0,2)上的单调性是_。解析在(0,2)上有f(x)1cosx0,所以f(x)在(0,2)上单调递增。答案单调递增5(2017秦皇岛模拟)已知函数f(x)lnx,g(x)ax22x,a0。若函数h(x)f(x)g(x)在1,4上单调递减,则a的取值范围为_。解析h(x)lnxax22x,x(0,),所以h(x)ax2。因为h(x)在1,4上单调
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- 2018 高考 数学 一轮 复习 第二 函数 导数 及其 应用 第十 一节 教师 用书理 20171014222
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