课标通用2018年高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本均值不等式及应用学案理20171014236.doc
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1、7.3基本(均值)不等式及应用考纲展示1.了解基本(均值)不等式的证明过程2会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题考点1利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式(1)基本(均值)不等式成立的条件:_.(2)等号成立的条件:当且仅当_时等号成立答案:(1)a0,b0(2)ab2几个重要的不等式(1)a2b2_(a,bR)(2)_(a,b同号)(3)ab2(a,bR)(4)2(a,bR)答案:(1)2ab(2)23算术平均数与几何平均数设a0,b0,则a,b的算术平均数为,几何平均数为,基本(均值)不等式可叙述为:_.答案:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4利用基本(
2、均值)不等式求最值问题已知x0,y0,则(1)如果积xy是定值p,那么当且仅当_时,xy有最_值是2.(简记:积定和最小)(2)如果和xy是定值p,那么当且仅当_时,xy有最_值是.(简记:和定积最大) 答案:(1)xy小(2)xy大1.基本不等式的两个易错点:忽视不等式成立的条件;忽视等号成立的条件(1)函数yx在区间(0,)上的最小值是_,在区间(,0)上的最大值是_答案:22解析:当x0时,yx22,当且仅当x,即x1时取等号,故y的最小值为2.当x0,yx22,当且仅当x,即x1时取等号,故y的最大值为2.(2)函数ysin x,x的最小值为_答案:5解析:ysin x24,当sin
3、x时,sin x2,显然取不到等号事实上,设tsin x,x,则t(0,1,易知yt在(0,1上为减函数,故当t1时,y取得最小值5.2应用基本不等式的技巧:凑;拆(1)已知0x1,则x的最小值为_答案:5解析:xx11415,当且仅当x1,即x3时,等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型:代换变形;变量是负数(1)已知a0,b0,ab2,则y的最小值是_答案:解析:ab2,1,2.故y的最小值为.(2)已知0x1,则ylg x的最大值是_答案:4解析:0x1,lg x0,ylg x24,当且仅当lg x,即x时,等号成立,故ymax4. 考情聚焦利用基本(均值)不等式求最值,一般是已
4、知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值,或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值,是每年高考的重点内容主要有以下几个命题角度:角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值典题1(1)已知0x1,则x(33x)取得最大值时x的值为()A. B. C. D.答案B解析因为0x0恒成立,得k13x.3x2,k12,即kf(x)恒成立af(x)max,af(x)恒成立a0) ,若f(x)在(1,)上的最小值为4,则实数p()A2 B. C4 D.答案:B解析:由题意,得x10,f(x)x1121,当且仅当x1时等号成立因为f(x)在(1,)上的最小值为4,所以214, 解得p. 考点3基本(均值)不
5、等式的实际应用(1)教材习题改编现有一段长为18 m的铁丝,要把它围成一个底面一边长为另一边长2倍的长方体形状的框架,当长方体体积最大时,底面的较短边长是()A1 m B1.5 mC0.75 m D0.5 m答案:A(2)教材习题改编将一根铁丝切割成三段做一个面积为2 m2、形状为直角三角形的框架,选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为_m.答案:42解析:设两直角边分别为a m,b m,框架的周长为l,则ab2,即ab4, lab242,当且仅当ab2时取等号,故选用最合理(够用且浪费最少)的铁丝的长为(42)m.(3)教材习题改编建造一个容积为8立方米,深为2米的长方体无盖水池,若池底的
6、造价为每平方米120元,池壁的造价为每平方米80元,则这个水池的最低造价为_元答案:1 760解析:池底一边长为x米,则另一底边为米,则总造价y41204801 760,当且仅当x2时取得最小值典题5某项研究表明:在考虑行车安全的情况下,某路段车流量F(单位时间内经过测量点的车辆数,单位:辆/时)与车流速度v(假设车辆以相同速度v行驶,单位:米/秒)、平均车长l(单位:米)的值有关,其公式为F.(1)如果不限定车型,l6.05,则最大车流量为_辆/时;(2)如果限定车型,l5,则最大车流量比(1)中的最大车流量增加_辆/时答案(1)1 900(2)100解析(1)当l6.05时,F,F1 90
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