课标通用2018年高考数学一轮复习第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ2.8函数与方程学案理2017101.doc
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1、2.8函数与方程考纲展示1.结合二次函数的图象,了解函数的零点与方程根的联系,判断一元二次方程根的存在性及根的个数2根据具体函数的图象,能够用二分法求相应方程的近似解考点1函数零点所在区间的判定1.函数零点的定义对于函数yf(x),把使_成立的实数x叫做函数yf(x)的零点答案:f(x)02几个等价关系方程f(x)0有实数根函数yf(x)的图象与_有交点函数yf(x)有_答案:x轴零点3函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数yf(x)在区间a,b上的图象是连续不断的一条曲线,并且有_,那么函数yf(x)在区间_上有零点,即存在c(a,b),使得_,这个_也就是方程f(x)0的根答案:f(a)
2、f(b)0(a,b)f(c)0c4二分法的定义对于在区间a,b上连续不断且_的函数yf(x),通过不断地把函数f(x)的零点所在的区间_,使区间的两个端点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫做二分法答案:f(a)f(b)0一分为二函数零点理解的误区:零点的概念;零点的个数(1)函数的零点就是函数的图象与x轴的_答案:(1)交点的横坐标解析:函数的零点不是函数图象与x轴的交点,而是图象与x轴交点的横坐标,也就是说函数的零点不是一个点,而是一个实数(2)若图象连续不断的函数yf(x)在区间(a,b)上单调且f(a)f(b)0,则函数yf(x)在区间(a,b)上有_零点答案:唯一解析:根据零点存
3、在性定理可知,函数yf(x)在区间(a,b)上存在零点,再根据单调性可得零点唯一二次函数的零点(1)二次函数f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是_答案:ac0解析:数形结合知,二次函数f(x)ax2bxc(a0)存在一个正零点、一个负零点的充要条件是af(0)0,即ac0.(2)函数y(k8)x2x1至多有一个零点,则k的取值范围为_答案:解析:函数至多有一个零点,则:当k8时,令x10,即x1,有一个零点,符合题意;当k8时,令14(k8)0,解得k.故k的取值范围为.典题1(1)2017湖北四地七校联盟高三联考函数f(x)xlog2x的零点所在区间为()A.B
4、C.D答案A解析flog220,即ff0,因此在上至少有一个零点故选A.(2)2017浙江温州模拟如图是二次函数f(x)x2bxa的部分图象,则函数g(x)exf(x)的零点所在的大致区间是()A(1,0)B(0,1)C(1,2)D(2,3)答案B解析由图象知1,得1b2,f(x)2xb,所以g(x)exf(x)ex2xb,则g(1)2b0,g(0)1b0,所以g(0)g(1)0.故选B.(3)2017浙江嘉兴模拟设函数yx3与yx2的图象的交点为(x0,y0)若x0(n,n1),nN,则x0所在的区间是_答案(1,2)解析设f(x)x3x2,则x0是函数f(x)的零点,在同一坐标系下画出函数
5、yx3与yx2的图象如图所示因为f(1)1110,所以f(1)f(2)0,所以x0(1,2)点石成金确定函数f(x)的零点所在区间的两种常用方法(1)定义法:使用零点存在性定理,函数yf(x)必须在区间a,b上是连续的,当f(a)f(b)0时,函数在区间(a,b)上至少有一个零点(2)图象法:若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成,则可考虑用图象法求解,如f(x)g(x)h(x),作出yg(x)和yh(x)的图象,其交点的横坐标即为函数f(x)的零点考点2判断函数零点个数(1)教材习题改编函数f(x)ex3x的零点个数是()A0B1C2D3答案:B(2)教材习题改编用“二分法”求方
6、程x32x50在区间2,3内的实根,取区间中点为x02.5,那么下一个有根的区间是_答案:2,2.5函数零点个数的判断方法:直接求零点;零点存在性定理;图象交点个数(1)若函数f(x)axb的一个零点是2,则函数g(x)bx2ax的零点是_答案:0,解析:因为2ab0,所以g(x)2ax2axax(2x1),所以零点为0和.(2)给出三个区间,则函数f(x)xln x的零点所在的一个区间是_答案:解析:当x从1趋近于0时,ln x趋近于负无穷大,所以f(x)趋近于负无穷大,而fln10,fln20,f(1)1ln 10,所以函数的零点所在区间是.典题2(1)2017安徽合肥模拟若偶函数f(x)
7、满足f(x1)f(x1),且在x0,1时,f(x)x2,则关于x的方程f(x)x在上的根的个数是()A1B2C3D4答案C解析因为f(x)为偶函数,所以当x1,0时,x0,1,所以f(x)x2,即f(x)x2.又f(x1)f(x1),所以f(x2)f(x1)1f(x1)1f(x),故f(x)是以2为周期的周期函数,在同一坐标系中作出函数yf(x)与yx在上的图象,如图所示数形结合得两图象有3个交点,故方程f(x)x在上有3个根故选C.(2)2017湖南衡阳模拟函数f(x)的定义域为1,1,图象如图所示;函数g(x)的定义域为2,2,图象如图所示,方程f(g(x)0有m个实数根,方程g(f(x)
8、0有n个实数根,则mn()A14B12 C10D8答案A解析由题图可知,若f(g(x)0,则g(x)1或g(x)0或g(x)1,由题图可知,g(x)1时,x1或x1;g(x)0对应的x值有3个;g(x)1时,x2或x2,故m7.若g(f(x)0,则f(x)1.5或f(x)1.5或f(x)0,由题图知,f(x)1.5与f(x)1.5对应的x值各有2个,f(x)0时,x1或x1或x0,故n7,故mn14.故选A.点石成金判断函数零点个数的三种方法(1)解方程法:若对应方程f(x)0可解时,通过解方程,则有几个解就有几个零点(2)零点存在性定理法:利用定理不仅要判断函数在区间a,b上是连续不断的曲线
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