课标通用2018年高考数学一轮复习第五章平面向量5.4平面向量应用举例学案理20171014272.doc
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1、5.4平面向量应用举例考纲展示1.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题2会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题考点1向量在平面几何中的应用 向量在几何中的应用a(x1,y1),b(x2,y2),A(x1,y1),B(x2,y2)(1)证明线线平行或点共线问题,常用共线向量定理:abab_(b0)(2)证明垂直问题,常用数量积的运算性质:abab0_.(3)平面几何中夹角与线段长度计算:cos a,b_;|AB|_.答案:(1)x1y2x2y10(2)x1x2y1y20(3)典题1已知O是平面上的一定点,A,B,C是平面上不共线的三个动点,若动点P满足(),(0,),则点P的轨迹一定
2、通过ABC的()A内心 B外心C重心 D垂心答案C解析由(),得(),即()根据平行四边形法则知,是ABC的中线AD(D为BC的中点)所对应向量的2倍,所以点P的轨迹必过ABC的重心题点发散1在本例中,若动点P满足,(0,),则如何选择?答案:A解析:由条件,得,即.而和分别表示平行于,的单位向量,故平分BAC,即平分BAC,所以点P的轨迹必过ABC的内心题点发散2在本例中,若动点P满足,(0,),则如何选择?答案:D解析:由条件,得,从而0,则动点P的轨迹一定通过ABC的垂心点石成金向量与平面几何综合问题的解法(1)坐标法:把几何图形放在适当的坐标系中,则有关点与向量就可以用坐标表示,这样就
3、能进行相应的代数运算和向量运算,从而使问题得到解决(2)基向量法:适当选取一组基底,利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解已知菱形ABCD的边长为2,BAD120,点E,F分别在边BC,DC上,BC3BE,DCDF.若1,则的值为_答案:2解析:解法一:如图,2222cos 1201,解得2.解法二:建立如图所示平面直角坐标系由题意知,A(0,1),C(0,1),B(,0),D(,0)由BC3BE,DCDF可求,点E,F的坐标分别为E,F,21,解得2.考点2平面向量在三角函数中的应用典题2在ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知向量m,n,且2mn|m|,1.(1)求角A
4、的大小;(2)求ABC的面积S.解(1)因为2mn2sin cos 2cos2sin A(cos A1)sin1,又|m|1,所以2mn|m|sin,即sin.因为0A,所以A,所以A,即A.(2)cos Acos coscos cos sin sin ,因为bccos A1,所以bc.又sin Asin sin,所以ABC的面积Sbcsin A().点石成金1.解决平面向量与三角函数的交汇问题,关键是准确利用向量的坐标运算化简已知条件,将其转化为三角函数中的有关问题解决2熟练掌握向量数量积的坐标运算公式、几何意义、向量的模、夹角的坐标运算公式以及三角恒等变换、正余弦定理等知识.1.已知a,b
5、,c为ABC的三个内角A,B,C的对边,向量m(,1),n(cos A,sin A)若mn,且acos Bbcos Acsin C,则角A,B的大小分别为()A., B.,C., D.,答案:C解析:由mn,得mn0,即cos Asin A0,即2cos0.A,A,即A.又acos Bbcos A2Rsin Acos B2Rsin Bcos A2Rsin(AB)2Rsin Cc,且acos Bbcos Acsin C,即ccsin C,sin C1,又C(0,),C,B.2ABC的三个内角A,B,C所对的边长分别是a,b,c,设向量m(ab,sin C),n(ac,sin Bsin A),若m
6、n,则角B的大小为_答案:解析:mn,(ab)(sin Bsin A)(ac)sin C0,又,化简,得a2c2b2ac,cos B.0B,B.考点3向量在解析几何中的应用典题3已知平面上一定点C(2,0)和直线l:x8,P为该平面上一动点,作PQl,垂足为Q,且0.(1)求动点P的轨迹方程;(2)若EF为圆N:x2(y1)21的任意一条直径,求的最值解(1)设P(x,y),则Q(8,y)由0,得|2|20,即(x2)2y2(x8)20,化简得1.所以点P在椭圆上,其方程为1.(2)因为()()()()2221,P是椭圆1上的任意一点,设P(x0,y0),则有1,即x16,又N(0,1),所以
7、2x(y01)2y2y017(y03)220.因为y02,2 ,所以当y03时,2取得最大值20,故的最大值为19;当y02时,2取得最小值为134(此时x00),故的最小值为124.点石成金向量在解析几何中的作用(1)载体作用:向量在解析几何问题中出现,多用于“包装”,解决此类问题的关键是利用向量的意义运算脱去“向量外衣”,导出曲线上点的坐标之间的关系,从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题(2)工具作用:利用abab0;abab(b0),可解决垂直、平行问题特别地,向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较可行的方法.如图所示,直线x2与双曲线C:y21的
8、渐近线交于E1,E2两点记e1,e2,任取双曲线C上的点P,若ae1be2(a,bR),则ab()A. B1 C. D.答案:A解析:由题意易知,E1(2,1),E2(2,1),e1(2,1),e2(2,1),故ae1be2(2a2b,ab)又点P在双曲线上,(ab)21,整理可得,4ab1,ab. 方法技巧1.用向量解决问题时,应注意数形结合思想和转化与化归思想的应用一般是先画出向量示意图,把问题转化为向量问题解决2牢记以下4个结论(1)重心:若点G是ABC的重心,则0或()(其中P为平面内任意一点);反之,若0,则点G是ABC的重心(2)垂心:若点H是ABC的垂心,则或222222;反之,
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