课标通用2018年高考数学一轮复习第十二章推理与证明算法复数12.3数学归纳法学案理20171014.doc
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1、12.3数学归纳法考纲展示1.了解数学归纳法的原理2能用数学归纳法证明一些简单的数学命题考点1用数学归纳法证明等式 数学归纳法的定义及框图表示(1)定义:证明一个与正整数n有关的命题,可按下列步骤进行:证明当n取第一个值n0(n0N*)时命题成立,这一步是归纳奠基假设nk(kn0,kN*)时命题成立,证明当_时命题也成立,这一步是归纳递推完成这两个步骤,就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立(2)框图表示:答案:(1)nk1典题1用数学归纳法证明:(nN*)证明(1)当n1时,左边,右边,左边右边,所以等式成立(2)假设nk(kN*)时等式成立,即有,则当nk1时,.所以当nk1时,等
2、式也成立由(1)(2)可知,对于一切nN*等式都成立点石成金用数学归纳法证明恒等式时应注意的问题(1)明确初始值n0的取值并验证nn0时等式成立(2)由nk证明nk1时,弄清左边增加的项,且明确变形目标(3)掌握恒等变形常用的方法:因式分解;添拆项;配方法考点2用数学归纳法证明不等式 典题2 用数学归纳法证明:12(nN*,n2)证明(1)当n2时,12,命题成立(2)假设nk时命题成立,即12.当nk1时,12222,命题成立由(1)(2)知,原不等式在nN*,n2时均成立点石成金用数学归纳法证明不等式应注意的两个问题(1)当遇到与正整数n有关的不等式证明时,应用其他办法不容易证,则可考虑应
3、用数学归纳法(2)用数学归纳法证明不等式的关键是由nk成立,推证nk1时也成立,证明时用上归纳假设后,可采用分析法、综合法、作差(作商)比较法、放缩法等证明.已知数列an,当n2时,an1,又a10,aan11a,求证:当nN*时,an1an.证明:(1)当n1时,a2是aa210的负根,a2a1.(2)假设当nk(kN*)时,ak1ak,aa(ak2ak1)(ak2ak11),ak10,又ak2ak111(1)11,ak2ak10,ak2ak1,即当nk1时,命题成立由(1)(2)可知,当nN*时,an10,nN*.(1)求a1,a2,a3,并猜想an的通项公式;(2)证明通项公式的正确性(
4、1)解当n1时,由已知,得a11,则a2a120.a11(a10)当n2时,由已知,得a1a21,将a11代入并整理得a2a220.a2(a20)同理可得a3.猜想an(nN*)(2)证明由(1)知,当n1,2,3时,通项公式成立假设当nk(k3,kN*)时,通项公式成立,即ak.由于ak1Sk1Sk,将ak代入上式,整理得a2ak120,ak1,即nk1时通项公式成立由可知,对所有nN*,an都成立点石成金 “归纳猜想证明”的基本步骤是“观察归纳猜想证明”高中阶段与数列结合的问题是最常见的问题角度二证明存在性问题典题4设a11,an1b(nN*)(1)若b1,求a2,a3及数列an的通项公式
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