高中数学第二章圆锥曲线与方程2.3.2抛物线的几何性质课堂探究新人教B版选修1_1201711012.doc
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1、2.3.2 抛物线的几何性质课堂探究探究一 由抛物线的性质求标准方程确定抛物线的标准方程时,从形式上看,只需求一个参数p,但由于标准方程有四种类型,因此,还应确定开口方向,当开口方向不确定时,应进行分类讨论,有时也可设标准方程的统一形式,避免讨论,如焦点在x轴上的抛物线标准方程可设为y22mx(m0),焦点在y轴上的抛物线标准方程可设为x22my(m0)【典型例题1】 求适合下列条件的抛物线的标准方程(1)过点(3,2);(2)对称轴为x轴,顶点与焦点的距离为6;(3)抛物线上点(5,2)到焦点F(x,0)的距离是6.思路分析:在求抛物线标准方程时,首先要确定标准方程的类型,即定型,也就是判断
2、焦点的位置,然后根据条件求出p值,即定量解:(1)设所求的抛物线方程为y22p1x(p10)或x22p2y(p20),由过点(3,2),知42p1(3)或92p22,得p1,p2,故所求的抛物线方程为y2x或x2y.(2)设抛物线方程为y22px(p0)或y22px(p0)依题意6,所以2p24.所以抛物线方程为y224x.(3)由已知6,整理得x210x90,即(x1)(x9)0,所以x1或x9.所以F(1,0),p2,y24x;或F(9,0),p18,y236x.显然,若抛物线为y236x,则它的准线方程为x9.由抛物线的定义,点A(5,2)到F(9,0)的距离是6,而点A(5,2)到x9
3、的距离为14,矛盾所以所求抛物线的标准方程为y24x.探究二 抛物线的实际应用涉及桥的高度、隧道的高低问题,通常用抛物线的标准方程解决,在建立坐标系时,常以抛物线的顶点为坐标原点,对称轴为一条坐标轴,这样使标准方程不仅具有对称性,而且形式更为简单,便于应用,但要注意点的坐标有正负之分,与实际问题中的数据并不完全相同【典型例题2】 河上有一座抛物线形拱桥,当水面距拱顶5 m时,水面宽为8 m,一条小船宽4 m,高2 m,载货后船露出水面的部分高m,问水面上涨到与抛物线拱顶相距多高时,小船不能通航?思路分析:当小船上货物两侧与抛物线拱顶接触时,船不能通航由于抛物线与小船均是轴对称图形,可设出公共对
4、称轴建立抛物线方程,将已知数据转化为点的坐标求解解:如图,建立直角坐标系,设拱桥抛物线方程为x22py(p0)由题意,将B(4,5)代入方程得p1.6.所以x23.2y.当船两侧和抛物线相接触时,船不能通航,设此时船面宽为AA,则A(2,yA)由223.2yA,得yA.又知船面露出水面部分为 m,所以h|yA|2(m)答:水面上涨到距抛物线拱顶2 m时,小船不能通航探究三 直线与抛物线相交问题直线ykxb与抛物线y22px(p0)的位置关系判断,通常是将直线方程与抛物线方程联立,整理成关于x(或y)的一元二次方程形式,根据其解的个数进行判断,直线和抛物线相交于A(x1,y1),B(x2,y2)
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