[信息与通信]小波分析理论及实际应用举例.doc
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1、小波变换合肥工业大学理学院 二零零七年秋季第1讲 数学预备1.1 线性空间三维向量空间R3中的点可以用从原点指向该点的向量来表示。1.1.1 定义 集合E称为一个实(复)线性空间,如果在E上定义了两种运算:一个是“+”法,使得对E中的x、y和z,都有(1) x + y = y + x;(2) x + (y + z) = (x + y) + z;(3) E存在零元素q,即q + x = x;(4) 每个E的元素x有逆元素-x,使x + (-x) = q;另一个是数乘,使得对E中的x、y和实(复)数a、b,都有(1) a(bx) = (ab)x;(2) 1x = x, 0x = q;(3) (a
2、+ b)x = ax + bx;(4) a(x + y) = ax + by.例如:设Rn为n维实向数的全体,按通常的向量加法和数乘构成线性空间。例如,有界数列的全体组成的空间l =x: supi|xi| 1,为a,b上所有p可积函数的全体,即满足。可以根据下列公式,证明Lpa,b按通常的函数加法和数乘构成线性空间。1.1.2 Hlder不等式设1/p + 1/q = 1, p1,x(t)属于Lpa,b, 和y(t)属于Lqa,b。则x(t)y(t)属于La,b,且B证明:可以假设不等式的右边的两个因子都不等于零。否则,x(t)或y(t)几乎处处等于零,从而不等式的左边也几乎处处为零,显然不等
3、式成立。1/p + 1/q = 1意味着p + q = pq,(p-1)(q-1)=1。令y = xp-1,那么x = y1/(p-1) = yq-1。假设A 0, B 0.Ay=xp-10.令,。那么和。由于,两边积分后,(此式称为Young不等式)。代入的表达式,即得证明。1.1.3 Minkowski不等式设p1,x(t)和y(t)属于Lpa,b。则x(t)+y(t)属于Lpa,b,且证明:p = 1显然。设p 1。(x+y)p (2max|x|, |y|)p 2p(|x|p + |y|p),所以x+y属于Lpa,b.因为(x+y)p属于La,b,所以(x+y)p/q属于Lqa,b。应用
4、Hlder不等式,得到,因此,.根据Minkovski不等式,Lpa,b,p 1,按通常的函数的加法和数乘构成线性空间。1.1.4 级数形式的Hlder不等式和Minkowski不等式记lp,p 1,为满足a,b上所有数列x = (x1,x2,x3,)的全体。特别记l1为 l。设数p 1和数q满足1/p + 1/q = 1。设x属于lp 和y属于lq。则xy属于l,且事实上,当上式右边等于零时,数列x或者数列y等于零数列,所以左边也等于零,即上述不等式成立。因此,可以设右边的两个因子都不等于零。所以有n使得和。取和,根据Young不等式,有,所以,即,因为此式右边是一个数或无穷大,且对任何n成
5、立,所以让左边的n趋向无穷大时不等式仍成立:。类似于积分形式的Minkowski不等式,可以证明:设数p 1,x和y属于lp。则x+y属于l,且根据Minkovski不等式,lp,p 1,按通常的数列的加法和数乘构成线性空间。1.2 距离空间1.2.1 定义 设X表示一个非空集合。如果对于X中的任何两个元素x和y, 都有一个实数r(x,y)与之相对应,而且满足以下三条性质:(距离公理)(1)r(x,y) 0,当且仅当x = y时等号成立;(正定性)(2)r(x,y) = r(y,x);(对称性)(3)对于X中的任何三个元素x、y和z, 成立r(x,z) r(x,y) + r(y,z),(三角不
6、等式)则称r(x,y)为x和y间的距离,称X为距离空间,记为(X,r)。距离空间中的元素称为点。距离实际上是一个映射r:XXR+例子 例如:设X=R,即实数的全体。距离r:RRR定义为。满足距离公理。其中,我们利用了绝对值的三角不等式:|x - z| |x - y| + |y - z|在同一个集合R上,距离又可以定义为。可以证明它也满足距离公理。事实上,正定性和对称性是显然的;由于函数t/(1+t)当t 0时是单调增加的,又由于绝对值的三角不等式,所以.这个距离的大小是有界的。一般地,在集合Rn上定义距离是,其中,容易证明它满足距离公理。例如:设Ca,b的距离是,满足距离公理。例如:设Lpa,
7、b(p1)的距离是,满足距离公理。但是,距离空间不必是附加上距离的线性空间。1.2.2 定义 设(X,r)是距离空间,x1,x2,是X中的点列,xX。如果当n时r(xn,x) 0,那么称点列xn按距离r收敛于x。x为xn的极限。记为或xnx, n。“当n时r(xn,x) 0”的含义是:对任意给定的e 0,总存在着数N,使得对所有的n N,r(xn,x) 0,则计算停止,而且用xn作为极限的近似值。这样的作法有其根据,也有不足之处。现在我们从数学的角度来考虑这个问题。1.2.5 定义 设(X,r)是距离空间,x1,x2,是X中的点列。如果对任给的e 0,存在数N,使得对所有的m, n N,r(x
8、n,xm) 0,存在数N,使得对所有的n N,r(xn,x) N时r(xm,x) e/2。因此,r(xn,xm) r(xn,x)+ r(x,xm) 1)的范数。1.3.2 定义 若赋范线性空间X按距离r(x,y) = |x-y|, x,yX,是完备的距离空间,则称X是Banach空间。1.4 Hilbert空间1.4.1 定义 设X为实(或复)K上的线性空间。若对任意x, yX,都有唯一的数(x, y) K与之对应,且满足(1)zX;(2), aK;(3);(4),且。则称为x,y的内积,称X为内积空间。特别地,例如,定义,x, yRn。则(x,y)定义了内积空间Rn上的内积。例如,定义,x,
9、 yL2a,b。则(x,y)定义了内积空间L2a,b上的内积。例如,定义,x, yl2。则(x,y)定义了内积空间l2上的内积。1.4.2 性质 定义。则|x|构成赋范线性空间X的范数。事实上,(4)表明|x|满足范数的正定性条件。(2)表明|x|满足范数的正齐性条件。为了证明三角不等式,先证Cauchy不等式。首先,当y=0时由于,这个不等式是成立的。其次,假设|y|=1。即。最后,对于一般的非零的y,。这就证明了Cauchy不等式。因此,这蕴涵着。所以,是一个范数。例如,x, yL2a,b,容易验证这是一个内积空间L2a,b上的内积。根据Cauchy不等式,即这相当于证明了p = 2时的H
10、lder不等式。1.4.7 Hilbert空间 按范数完备的内积空间称为Hilbert空间。l 正交分解与投影定理1.4.8 定义 设U为内积空间。(1)若x,yU使得(x,y)=0,则称x与y正交。记为xy。(2)若xU,MU使得yM蕴涵了(x,y)=0,则称x与M正交, 记为xM。(3)若M,NU使得xM和yN蕴涵了(x,y)=0,则称M与N正交,记为MN。(4)若MU。U中与M正交的所有元素的全体称为M的正交补,记M。注意MM=0不是空集,即元素既可以属于M又可以属于M。(5)设M是U的线性子空间和xU。如果存在着x0M和x1M使得x = x0 + x1,则称x0为x在M上的投影,称x
11、= x0 + x1为x关于M的正交分解。1.4.9 勾股定理 设U为内积空间。若x,yU使得xy,则|x+y|2 = |x|2 + |y|2.证明:1.4.10 性质 设U为内积空间,xU和L是一个U中稠密子集。若xL,则x=0。1.4.11 性质 设U为内积空间和MU,则M是U中的闭线性子空间。1.4.12 变分原理 设M是U的线性子空间和xU。若x0为x在M上的投影,则。证明:,再对所有的y取下确界。1.4.13 投影定理 设M是Hilbert空间H的闭子空间,则对任何的xH。必存在唯一的x0M,x1M使得x = x0 + x1。1.4.14 最佳逼近元的一般提法设x1,x2,xn是内积空
12、间U中的n个线性无关元。令M=spanx1,x2,xn。对U中的任一元素x,求出一组数,使得。解法:设为最佳逼近元。根据性质1.4.12,x0-xM。,对i = 1, 2, , n,有第j列令误差。因为,所以,。,。l Hilbert空间中的Fourier分析1.4.15 定义 若在Hilbert空间中有一组两两正交的非零元素x1, x2, x3, ,则称它们为正交系。进一步,如果其中每个元素的范数都是一,那么称它们为规范正交系。例如,l2中的元素组e1=(1,0,0,0,), e2=(0,1,0,0,), e3=(0,0,1,0,), 是规范正交系。例如,中定义内积,则它的一个规范正交系是例
13、如,中定义内积,则它的一个规范正交系是1.4.16 性质 设e1, e2, e3, en是Hilbert空间的一个规范正交系。则x在e1, e2, e3, en的线性组合所生成的子空间M的投影是,且。证明:显然,x0在M中。因为,所以。因此x-x0ei,得到x-x0M和分解式x = x0+(x-x0).。1.4.17 Bessel不等式 设e1, e2, e3, en是Hilbert空间H的一个规范正交系。则对任一xH,。证明:1.4.8 Rn上的Fourier变换 假设,Rn上的f(t)的傅立叶变换定义为。1.4.9 Plancherel定理:设f, g L2(Rn). 则有下列等式。(1)
14、(2)(3)特别在实数域R上的傅立叶变换的傅立叶变换是,w R.而傅立叶逆变换是,t R.由Flancherel定理,即。定义 设f(t)L2(R)。,其中,称为f的Fourier变换。称为g的Fourier逆变换。那么,.Fourier积分的性质:(1)对称性(2)线性(3)平移性质(4)伸缩性质(5)微分性质(6)乘积定理定义为f和g的卷积。(7)卷积性质。和假设f(t)的支集是0,2p,即集合t:f(t) 0的闭包。1.4.10 离散的傅里叶变换(DFT)和快速傅里叶变换(FFT)首先我们推导傅里叶变换和逆变换的离散形式。一个函数的傅里叶变换和逆变换分别定义为,u R;,t R.为了计算
15、傅里叶变换式,对函数从t = 0开始每隔Dx采样,共采集N个样,即让t = xDx,x = 0,1,N-1。相应地令u = wDw,和w = 0,1,N-1。根据采样理论,应取Dw = 1/(NDx),那么,Dx Dw = 1/N,傅里叶变换及其逆变换可以分别写成,(1)。(2)用Dw乘以(1)的两边,并注意到DxDw = 1/N,我们有。(3)在(2)和(3)中,简记和分别为和,那么,(3)和(2)分别可以写成:和。这就是离散形式的傅里叶变换及其逆变换。令,则在已知WN的条件下,计算每一个F(w)至少需要作N次乘法和一次除法,计算所有的F(w)共需要作不少于N2次乘法。其次,我们推导快速傅里
16、叶变换公式。假设N是2的幂,即N = 2n。记N = 2M。容易看出WN有“折半”的性质:。利用这些公式和性质,得到定义,w = 0,1,M-1., w = 0,1,M-1.则, w = 0,1,M-1.(4)我们还需要计算在w = M,M+1,N-1处的值。为此,注意到,因此,(5)其中,w = 0,1,M-1。根据上面分析,我们只需要在M个点w = 0,1,M-1处分别求出和的值,并且每次用乘以,就可以用上面的公式(4)和(5)来计算在2M个点w = 0,1,2M-1处的值。公式(4)和(5)就是一维的快速傅里叶变换公式。最后,我们证明FFT算法的时间复杂性是Q(NlogN)。设计算一个有
17、N个点的FFT算法的时间复杂性是T(N)。根据以上的公式,一个有N个点的FFT运算分成两个各有N/2点的FFT运算,并且,其中的一个每次要与作一次乘法,共有Q(N)次乘法,所以,T(N) = 2T(N/2) + Q(N)。依此可得T(N) = T(2n) = 2T(2n-1) + Q(2n) = 22T(2n-2) + 2Q(2n) = = nQ(2n) = Q(NlogN)。第二讲 连续小波变换2.2 连续小波的定义2.1.1 定义 设f(t), y(t) L2(R),即从数域K到数域K的平方可积函数,而且:,则称,a,bR,a 0,是f(t)的连续小波变换,记为,或。称y(t)为小波母函数
18、,a为尺度因子,b为平移因子。记。,a,bR,a 0. 上面是L2(R)的内积。注意满足容许条件意味着:,即。我们知道,假设周期函数的周期是1,那么 的周期是a。因此, a越大,频率越低。可见小波变换中的a相当于周期的作用,b相当于相位(时间位移)。2.1.2 在上面的定义中的是有意义的。事实上,。在整个实轴上定义的一个变元的函数经过一元连续小波变换以后是在半平面上定义的两个变元的函数。注意:,其中,u = (t-b)/a.%例:在信号加上噪音后,用FFT进行分析。% Fourier分析t=0:0.001:1.3;x=sin(2*pi*50*t)+sin(2*pi*300*t);f=x+3.5
19、*randn(1,length(t);subplot(321);plot(f);Ylabel(幅值);Xlabel(时间);title(原始信号);y=fft(f,1024); % DFT有1024个采样点p=y.*conj(y)/1024; % 计算功率谱密度);ff=1000*(0:511)/1024; % 计算各点对应的频率值subplot(322);plot(ff,p(1:512);Ylabel(功率谱密度);Xlabel(频率);title(信号功率谱图);现在用连续小波变换来处理同样的信号。% 连续小波变换figure% 用db3小波作母小波函数(如下图形),尺度a分别为1, 1.
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