《[初三数学]江苏13市中考数学压轴题汇编有答案.doc》由会员分享,可在线阅读,更多相关《[初三数学]江苏13市中考数学压轴题汇编有答案.doc(53页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、江苏13市2012年中考数学试题压轴题1. (2012江苏常州9分)已知,在矩形ABCD中,AB=4,BC=2,点M为边BC的中点,点P为边CD上的动点(点P异于C、D两点)。连接PM,过点P作PM的垂线与射线DA相交于点E(如图)。设CP=x,DE=y。(1)写出y与x之间的函数关系式 ;(2)若点E与点A重合,则x的值为 ;(3)是否存在点P,使得点D关于直线PE的对称点D落在边AB上?若存在,求x的值;若不存在,请说明理由。【答案】解:(1)y=x24x。 (2)或。 (3)存在。 过点P作PHAB于点H。则 点D关于直线PE的对称点D落在边AB上, P D=PD=4x,E D=ED=
2、y=x24x,EA=ADED= x24x2,P DE=D=900。 在RtDP H中,PH=2, DP =DP=4x,DH=。 E DA=1800900P DH=900P DH=DP H,P DE=P HD =900, E DADP H。,即, 即,两边平方并整理得,2x24x1=0。解得。当时,y=,此时,点E已在边DA延长线上,不合题意,舍去(实际上是无理方程的增根)。当时,y=,此时,点E在边AD上,符合题意。当时,点D关于直线PE的对称点D落在边AB上。【考点】矩形的性质,相似三角形的判定和性质,勾股定理,折叠对称的性质,解无理方程。【分析】(1)CM=1,CP=x,DE=y,DP=4
3、x,且MCPPDE, ,即。y=x24x。(2)当点E与点A重合时,y=2,即2=x24x,x24x2=0。 解得。(3)过点P作PHAB于点H,则由点D关于直线PE的对称点D落在边AB上,可得E DA与DP H相似,由对应边成比例得得关于x的方程即可求解。注意检验。2. (2012江苏常州10分)在平面直角坐标系xOy中,已知动点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m0)。以点P为圆心,为半径的圆交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧),交y轴于C、D两点(D点在点C的上方)。点E为平行四边形DOPE的顶点(如图)。(1)写出点B、E的坐标(用含m的代数式表示);(2)连接DB、B
4、E,设BDE的外接圆交y轴于点Q(点Q异于点D),连接EQ、BQ。试问线段BQ与线段EQ的长是否相等?为什么?(3)连接BC,求DBCDBE的度数。【答案】解:(1)B(3m,0),E(m,4m)。(2)线段BQ与线段EQ的长相等。理由如下:由(1)知B(3m,0),E(m,4m),根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,D(0,3m)。,。BDE是直角三角形。BE是BDE的外接圆的直径。设BDE的外接圆的圆心为点G,则由B(3m,0),E(m,4m)得G(2m,2m)。过点G作GIDG于点I,则I(0,2m)。根据垂径定理,得DI=IQ ,Q(0,m)。BQ=EQ。(3)延长EP交x轴于点H
5、,则EPAB,BH=2m。根据垂径定理,得AH=BH=2m,AO= m。根据圆的对称性,OC=OA= m。又OB=3m,。又COB=EDB=900,COBEDB。OBC=DBE。DBCDBE=DBCOBC=DBO。又OB=OC,DBO=450。DBCDBE=450。【考点】直线上点的坐标与方程的关系,勾股定理和逆定理,圆的对称性,平行四边形的性质,中点坐标,圆周角定理,垂径定理,等腰三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。【分析】(1)过点P 作PHx轴于点H,PFy轴于点F,连接OE,BP。点P在正比例函数y=x的图象上,点P的横坐标为m(m0), P(m,m),H(m,0),F(0,m
6、),OH=OF=HP= m。PB=,。OB=3 m。B(3m,0)。根据圆的对称性,点D点B关于y=x对称,D(0,3m)。四边形DOPE是平行四边形,PE=OD=3m,HE=4m。E(m,4 m)。(2)由勾股定理和逆定理,易知BDE是直角三角形,从而根据圆周角定理和垂径定理可得点Q的坐标,从而根据勾股定理可求出BQ和EQ的长比较即得。(3)求出有关线段的长,可得,从而证得COBEDB,得到OBC=DBE。因此DBCDBE=DBCOBC=DBO=450。3. (2012江苏淮安12分)如图,矩形OABC在平面直角坐标系中,O为坐标原点,点A(0,4),C(2,0),将矩形OABC绕点O按顺时
7、针方向旋转1350,得到矩形EFGH(点E与O重合).(1)若GH交y轴于点M,则FOM ,OM= (2)矩形EFGH沿y轴向上平移t个单位。直线GH与x轴交于点D,若ADBO,求t的值;若矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为S个平方单位,试求当0t时,S与t之间的函数关系式。【答案】解:(1)450;。 (2)如图1,设直线HG与y轴交于点I。四边形OABC是矩形,ABDO,AB=OC。 C(2,0),AB=OC=2。又ADBO, 四边形ABOD是平行四边形。DO=AB=2。 由(1)易得,DOI是等腰直角三角形,OI=OD=2。 t=IM=OMOI=2。 如图2,过点F,G分别作x轴
8、,y轴的垂线,垂足为R,T,连接OC。则由旋转的性质,得,OF=OA=4,FOR450,OR=RF=,F(,)。由旋转的性质和勾股定理,得OG=,设TG=MT=x,则OT=OMMT=。在RtOTG中,由勾股定理,得,解得x=。G(,)。用待定系数法求得直线FG的解析式为。当x=2时,。当t=时,就是GF平移到过点C时的位置(如图5)。当0t时,几个关键点如图3,4,5所示: 如图3 ,t=OE=OC=2,此时,矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边EF经过点C;如图4,t=OE=OM=,此时,矩形EFGH沿y轴向上平移过程中边HG经过点O;如图5,t=OE=,此时,矩形EFGH沿y轴向上平移过程中
9、边FG经过点C。 (I)当0t2时,矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为OCS的面积(如图6)。此时,OE=OS= t, 。 (II)当2t时,矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为直角梯形OEPC的面积(如图7)。此时OE= t,OC=2。 由E(0,t),FFO=450,用用待定系数法求得直线EP的解析式为。 当x=2时,。CP=。 (III)当t时,矩形EFHG与矩形OABC重叠部分的面积为五边形EQCUV的面积(如图8),它等于直角梯形EQCO的面积减去直角三角形VOU的的面积。 此时,OE= t,OC=2,CQ= ,OU=OV= t。 。 综上所述,当0t时,S与t之间的函
10、数关系式为。【考点】旋转的性质,矩形的性质,勾股定理,平移的性质,平行四边形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质,待定系数法,直线上点的坐标与方程的关系。【分析】(1)由旋转的性质,得AOF1350,FOM450。 由旋转的性质,得OHM450,OH=OC=2,OM=。 (2)由矩形的性质和已知ADBO,可得四边形ABOD是平行四边形,从而DO=AB=2。又由DOI是等腰直角三角形可得OI=OD=2。从而由平移的性质可求得t=IM=OMOI=2。 首先确定当0t时,矩形EFGH沿y轴向上平移过程中关键点的位置,分0t2,2t,C)之间的等量关系。根据以上内容猜想:若经过n 次折叠BAC是A
11、BC的好角,则B与C不妨设BC)之间的等量关系为 应用提升(3)小丽找到一个三角形,三个角分别为150,600,1050,发现600和1050的两个角都是此三角形的好角,请你完成,如果一个三角形的最小角是40,试求出三角形另外两个角的度数,使该三角形的三个角均是此三角形的好角【答案】解:(1)是。(2)B=3C。如图所示,在ABC中,沿BAC的平分线AB1折叠,剪掉重复部分;将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠,剪掉重复部分,将余下部分沿B2A2C的平分线A2B3折叠,点B2与点C重合,则BAC是ABC的好角。证明如下:根据折叠的性质知,B=AA1B1,C=A2B2C,A1 B1C=A1
12、A2B2,根据三角形的外角定理知,A1A2B2=C+A2B2C=2C。根据四边形的外角定理知,BAC+B+AA1B1A1 B1C=BAC+2B2C=180,根据三角形ABC的内角和定理知,BAC+B+C=180,B=3C。故若经过n次折叠BAC是ABC的好角,则B与C(不妨设BC)之间的等量关系为B=nC。(3)由(2)知,B=nC,BAC是ABC的好角,C=nA,ABC是ABC的好角,A=nB,BCA是ABC的好角。如果一个三角形的最小角是4,三角形另外两个角的度数是88、88。【考点】分类归纳(图形的变化类),新定义,翻折变换(折叠问题),折叠的性质,三角形的内角和外角定理。【分析】(1)
13、理由如下:小丽展示的情形二中,如图3,沿BAC的平分线AB1折叠,B=AA1B1。又将余下部分沿B1A1C的平分线A1B2折叠,此时点B1与点C重合,A1B1C=C。AA1B1=C+A1B1C(外角定理),B=2C。故答案是。(2)根据折叠的性质、根据三角形的外角定理知A1A2B2=C+A2B2C=2C;根据四边形的外角定理知BAC+2B2C=180,根据三角形ABC的内角和定理知BAC+B+C=180,由可以求得B=3C。由小丽展示的情形一知,当B=C时,BAC是ABC的好角;由小丽展示的情形二知,当B=2C时,BAC是ABC的好角;由小丽展示的情形三知,当B=3C时,BAC是ABC的好角;
14、利用数学归纳法,根据小丽展示的三种情形得出结论:B=nC。(3)利用(2)的结论知B=nC,BAC是ABC的好角,C=nA,ABC是ABC的好角,A=nB,BCA是ABC的好角,然后三角形内角和定理可求得另外两个角的度数可以是88、88。5. (2012江苏连云港12分)如图,甲、乙两人分别从A(1,)、B(6,0)两点同时出发,点O为坐标原点,甲沿AO方向、乙沿BO方向均以4km/h的速度行驶,th后,甲到达M点,乙到达N点(1)请说明甲、乙两人到达O点前,MN与AB不可能平行(2)当t为何值时,OMNOBA?(3)甲、乙两人之间的距离为MN的长,设sMN2,求s与t之间的函数关系式,并求甲
15、、乙两人之间距离的最小值【答案】解:(1)A坐标为(1,),OA2,AOB60。 甲达到O点时间为t,乙达到O点的时间为t,甲先到达O点,所以t或t时,O、M、N三点不能连接成三角形。当t时,OM24t,ON64t,假设MNAB。则OMNOAB。,解得t0。即在甲到达O点前,只有当t0时,OMNOAB。MN与AB不可能平行。当t时,如图,PMNPONPABMN与AB不平行。综上所述,在甲、乙两人到达O点前, MN与AB不可能平行。(2) 由(1)知,当t时,OMN不相似OBA。当t时,OM4t 2,ON4t 6,由解得t2,当t2时,OMNOBA。(3)当t时,如图1,过点M作MHx轴,垂足为
16、H,在RtMOH中,AOB60,MHOMsin60(24t)(12t),OH0Mcos60(24t)12t,NH(64t)(12t)52t。s(12t)2(52t)216t232t28。当t时,如图2,作MHx轴,垂足为H,在RtMNH中,MH(4t2)(2t1),NH(4t2)(64t)52t,s(12t)2(52t)216t232t28。当t时,同理可得s16t232t28。综上所述,s16t232t28。s16t232t2816(t1)212,当t1时,s有最小值为12,甲、乙两人距离最小值为(km)。【考点】反证法,坐标与图形性质,平行的判定和性质,相似三角形的判定和性质,三角形外角性
17、质,勾股定理,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值,二次函数的最值。【分析】(1)用反证法说明根据已知条件分别表示相关线段的长度,根据三角形相似得比例式说明。(2)根据两个点到达O点的时间不同分段讨论解答。(3)在不同的时间段运用相似三角形的判定和性质分别求解析式,运用函数性质解答问题。6. (2012江苏连云港12分)已知梯形ABCD,ADBC,ABBC,AD1,AB2,BC3,问题1:如图1,P为AB边上的一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ,DC的长能否相等,为什么?问题2:如图2,若P为AB边上一点,以PD,PC为边作平行四边形PCQD,请问对角线PQ的长是否存在
18、最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由问题3:若P为AB边上任意一点,延长PD到E,使DEPD,再以PE,PC为边作平行四边形PCQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由问题4:如图3,若P为DC边上任意一点,延长PA到E,使AEnPA(n为常数),以PE、PB为边作平行四边形PBQE,请探究对角线PQ的长是否也存在最小值?如果存在,请求出最小值,如果不存在,请说明理由【答案】解:问题1:对角线PQ与DC不可能相等。理由如下:四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,DPC90。AD1,AB2,
19、BC3,DC2。设PBx,则AP2x,在RtDPC中,PD2PC2DC2,即x232(2x)2128,化简得x22x30,(2)241380,方程无解。不存在PBx,使DPC90。对角线PQ与DC不可能相等。问题2:存在。理由如下:如图2,在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,则G是DC的中点。过点Q作QHBC,交BC的延长线于H。ADBC,ADCDCH,即ADPPDGDCQQCH。PDCQ,PDCDCQ。ADPQCH。又PDCQ,RtADPRtHCQ(AAS)。ADHC。AD1,BC3,BH4,当PQAB时,PQ的长最小,即为4。问题3:存在。理由如下:如图3,设PQ与DC相
20、交于点G,PECQ,PDDE,。G是DC上一定点。作QHBC,交BC的延长线于H,同理可证ADPQCH,RtADPRtHCQ。AD1,CH2。BHBGCH325。当PQAB时,PQ的长最小,即为5。问题4:如图3,设PQ与AB相交于点G,PEBQ,AEnPA,。G是DC上一定点。作QHPE,交CB的延长线于H,过点C作CKCD,交QH的延长线于K。ADBC,ABBC,DQHC,DAPPAGQBHQBG90PAGQBG,QBHPAD。ADPBHQ,AD1,BHn1。CHBHBC3n1n4。过点D作DMBC于M,则四边形ABND是矩形。BMAD1,DMAB2。CMBCBM312DM。DCM45。K
21、CH45。CKCHcos45 (n4),当PQCD时,PQ的长最小,最小值为 (n4)。【考点】反证法,相似三角形的判定和性质,一元二次方程根的判别式,全等三角形的判定和性质,勾股定理,平行四边形、矩形的判定和性质,等腰直角三角形的判定和性质。【分析】问题1:四边形PCQD是平行四边形,若对角线PQ、DC相等,则四边形PCQD是矩形,然后利用矩形的性质,设PBx,可得方程x232(2x)218,由判别式0,可知此方程无实数根,即对角线PQ,DC的长不可能相等。 问题2:在平行四边形PCQD中,设对角线PQ与DC相交于点G,可得G是DC的中点,过点Q作QHBC,交BC的延长线于H,易证得RtAD
22、PRtHCQ,即可求得BH4,则可得当PQAB时,PQ的长最小,即为4。问题3:设PQ与DC相交于点G,PECQ,PDDE,可得,易证得RtADPRtHCQ,继而求得BH的长,即可求得答案。问题4:作QHPE,交CB的延长线于H,过点C作CKCD,交QH的延长线于K,易证得与ADPBHQ,又由DCB45,可得CKH是等腰直角三角形,继而可求得CK的值,即可求得答案。7. (2012江苏南京9分)“?”的思考下框中是小明对一道题目的解答以及老师的批阅。题目:某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室,要求长与宽的比为2:1,在温室内,沿前侧内墙保留3m的空地,其他三侧内墙各保留1m的通道,当温室的长与宽
23、各为多少时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?解:设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm,根据题意,得x2x=288解这个方程,得x1=-12(不合题意,舍去),x2=12所以温室的长为212+3+1=28(m),宽为12+1+1=14(m)答:当温室的长为28m,宽为14m时,矩形蔬菜种植区域的面积是288m2?我的结果也正确小明发现他解答的结果是正确的,但是老师却在他的解答中划了一条横线,并打开了一个“?”结果为何正确呢?(1)请指出小明解答中存在的问题,并补充缺少的过程:变化一下会怎样 (2)如图,矩形ABCD在矩形ABCD的内部,ABAB,ADAD,且AD:AB=2:1,设AB与
24、AB、BC与BC、CD与CD、DA与DA之间的距离分别为a、b、c、d,要使矩形ABCD矩形ABCD,a、b、c、d应满足什么条件?请说明理由【答案】解:(1)小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由。在“设矩形蔬菜种植区域的宽为xm,则长为2xm”前补充以下过程:设温室的宽为ym,则长为2ym。则矩形蔬菜种植区域的宽为(y11)m,长为(2y31)m。,矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1。(2)a+c b+d =2。理由如下:要使矩形ABCD矩形ABCD,就要,即,即 ,即a+c b+d =2。【考点】一元二次方程的应用(几何问题),相似多边形的性质,比例的性质。【分析】(1
25、)根据题意可得小明没有说明矩形蔬菜种植区域的长与宽之比为2:1的理由,所以由已知条件求出矩形蔬菜种植区域的长与宽的关系即可。(2)由使矩形ABCD矩形ABCD,利用相似多边形的性质,可得 ,然后利用比例的性质。8. (2012江苏南京10分)如图,A、B为O上的两个定点,P是O上的动点(P不与A、B重合),我们称APB为O上关于A、B的滑动角。(1)已知APB是上关于点A、B的滑动角。 若AB为O的直径,则APB= 若O半径为1,AB=,求APB的度数(2)已知为外一点,以为圆心作一个圆与相交于A、B两点,APB为上关于点A、B的滑动角,直线PA、PB分别交于点M、N(点M与点A、点N与点B均
26、不重合),连接AN,试探索APB与MAN、ANB之间的数量关系。【答案】解:(1)900。如图,连接AB、OA、OB在AOB中,OA=OB=1AB=,OA2+OB2=AB2。AOB=90。当点P在优弧 AB 上时(如图1),APB=AOB=45;当点P在劣弧 AB 上时(如图2),APB=(360AOB)=135。(2)根据点P在O1上的位置分为以下四种情况第一种情况:点P在O2外,且点A在点P与点M之间,点B在点P与点N之间,如图3,MAN=APB+ANB,APB=MAN-ANB。第二种情况:点P在O2外,且点A在点P与点M之间,点N在点P与点B之间,如图4,MAN=APB+ANP=APB+
27、(180ANB),APB=MAN+ANB180。第三种情况:点P在O2外,且点M在点P与点A之间,点B在点P与点N之间,如图5,APB+ANB+MAN=180,APB=180MANANB。第四种情况:点P在O2内,如图6,APB=MAN+ANB。【考点】圆周角定理,勾股定理逆定理,三角形内角和定理和外角性质。【分析】(1)根据直径所对的圆周角等于90即可得APB=900。根据勾股定理的逆定理可得AOB=90,再分点P在优弧上;点P在劣弧上两种情况讨论即可。(2)根据点P在O1上的位置分为四种情况得到APB与MAN、ANB之间的数量关系。9. (2012江苏南通12分)如图,在ABC中,ABAC
28、10cm,BC12cm,点D是BC边的中点点P从点B出发,以acm/s(a0)的速度沿BA匀速向点A运动;点Q同时以1cm/s的速度从点D出发,沿DB匀速向点B运动,其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停止运动,设它们运动的时间为ts(1)若a2,BPQBDA,求t的值;(2)设点M在AC上,四边形PQCM为平行四边形若a,求PQ的长;是否存在实数a,使得点P在ACB的平分线上?若存在,请求出a的值;若不存在,请说明理由【答案】解:(1)ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,BD=CD=BC=6。a=2,BP=2t,DQ=t。BQ=BDQD=6t。BPQBDA,即,解得:
29、。(2)过点P作PEBC于E,四边形PQCM为平行四边形,PMCQ,PQCM,PQ=CM。PB:AB=CM:AC。AB=AC,PB=CM。PB=PQ。BE=BQ=(6t)。a=,PB=t。ADBC,PEAD。PB:AB=BE:BD,即。解得,t=。PQ=PB=t=(cm)。不存在理由如下:四边形PQCM为平行四边形,PMCQ,PQCM,PQ=CM。PB:AB=CM:AC。AB=AC,PB=CM,PB=PQ。若点P在ACB的平分线上,则PCQ=PCM,PMCQ,PCQ=CPM。CPM=PCM。PM=CM。四边形PQCM是菱形。PQ=CQ。PB=CQ。PB=at,CQ=BD+QD=6+t,PM=C
30、Q=6+t,AP=ABPB=10at,且 at=6+t。PMCQ,PM:BC=AP:AB,化简得:6at+5t=30。把代入得,t=。不存在实数a,使得点P在ACB的平分线上。【考点】等腰三角形的性质,相似三角形的判定和性质,平行四边形的性质,平行的性质,菱形的判定和性质,反证法。【分析】(1)由ABC中,AB=AC=10,BC=12,D是BC的中点,根据等腰三角形三线合一的性质,即可求得BD与CD的长,又由a=2,BPQBDA,利用相似三角形的对应边成比例,即可求得t的值。(2)首先过点P作PEBC于E,由四边形PQCM为平行四边形,易证得PB=PQ,又由平行线分线段成比例定理,即可得方程,
31、解此方程即可求得答案。用反证法,假设存在点P在ACB的平分线上,由四边形PQCM为平行四边形,可得四边形PQCM是菱形,即可得PB=CQ,PM:BC=AP:PB,及可得方程组,解此方程组求得t值为负,故可得不存在。10. (2012江苏南通14分)如图,经过点A(0,4)的抛物线yx2bxc与x轴相交于点B(0,0)和C,O为坐标原点(1)求抛物线的解析式;(2)将抛物线yx2bxc向上平移个单位长度、再向左平移m(m0)个单位长度,得到新抛物线若新抛物线的顶点P在ABC内,求m的取值范围;(3)设点M在y轴上,OMBOABACB,求AM的长 【答案】解:(1)将A(0,4)、B(2,0)代入
32、抛物线y=x2+bx+c中,得: ,解得,。 抛物线的解析式:y=x2x4。源:学科网ZXXK(2)由题意,新抛物线的解析式可表示为:,即:。它的顶点坐标P(1m,1)。由(1)的抛物线解析式可得:C(4,0)。直线AB:y=2x-4;直线AC:y=x4。当点P在直线AB上时,2(1m)4=1,解得:m=;当点P在直线AC上时,(1m)4=1,解得:m=2;又m0,当点P在ABC内时,0m 。(3)由A(0,-4)、B(4,0)得:OA=OC=4,且OAC是等腰直角三角形。如图,在OA上取ON=OB=2,则ONB=ACB=45。ONB=NBA+OAB=ACB=OMB+OAB,即ONB=OMB。
33、如图,在ABN、AM1B中,BAN=M1AB,ABN=AM1B,ABNAM1B,得:AB2=ANAM1;由勾股定理,得AB2=(2)2+42=20,又AN=OAON=42=2,AM1=202=10,OM1=AM1OA=104=6。而BM1A=BM2A=ABN,OM1=OM2=6,AM2=OM2OA=64=2。综上,AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,平移的性质,二次函数的性质,等腰直角三角形的判定和性质,勾股定理。【分析】(1)该抛物线的解析式中只有两个待定系数,只需将A、B两点坐标代入即可得解。(2)首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式,从而用m表示出该
34、函数的顶点坐标,将其代入直线AB、AC的解析式中,即可确定P在ABC内时m的取值范围。(3)先在OA上取点N,使得ONB=ACB,那么只需令NBA=OMB即可,显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点;以y轴正半轴上的点M为例,先证ABN、AMB相似,然后通过相关比例线段求出AM的长。11. (2012江苏苏州9分)如图,正方形ABCD的边AD与矩形EFGH的边FG重合,将正方形ABCD以1cm/s的速度沿FG方向移动,移动开始前点A与点F重合.在移动过程中,边AD始终与边FG重合,连接CG,过点A作CG的平行线交线段GH于点P,连接PD.已知正方形ABCD的边长为1cm,矩形EFGH的边
35、FG、GH的长分别为4cm、3cm.设正方形移动时间为x(s),线段GP的长为y(cm),其中0x2.5. 试求出y关于x的函数关系式,并求出y =3时相应x的值;记DGP的面积为S1,CDG的面积为S2试说明S1S2是常数;当线段PD所在直线与正方形ABCD的对角线AC垂直时,求线段PD的长.【答案】解:(1)CGAP,CGD=PAG,则。GF=4,CD=DA=1,AF=x,GD=3x,AG=4x。,即。y关于x的函数关系式为。当y =3时,解得:x=2.5。(2),为常数。(3)延长PD交AC于点Q.正方形ABCD中,AC为对角线,CAD=45。PQAC,ADQ=45。GDP=ADQ=45
36、。DGP是等腰直角三角形,则GD=GP。,化简得:,解得:。0x2.5,。在RtDGP中,。【考点】正方形的性质,一元二次方程的应用,等腰直角三角形的性质,矩形的性质,解直角三角形,锐角三角函数定义,特殊角的三角函数值。【分析】(1)根据题意表示出AG、GD的长度,再由可解出x的值。(2)利用(1)得出的y与x的关系式表示出S1、S2,然后作差即可。(3)延长PD交AC于点Q,然后判断DGP是等腰直角三角形,从而结合x的范围得出x的值,在RtDGP中,解直角三角形可得出PD的长度。12. (2012江苏苏州10分)如图,已知抛物线(b是实数且b2)与x轴的正半轴分别交于点A、B(点A位于点B的
37、左侧),与y轴的正半轴交于点C. 点B的坐标为 ,点C的坐标为 (用含b的代数式表示);请你探索在第一象限内是否存在点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形?如果存在,求出点P的坐标;如果不存在,请说明理由;请你进一步探索在第一象限内是否存在点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似(全等可看作相似的特殊情况)?如果存在,求出点Q的坐标;如果不存在,请说明理由.【答案】解:(1)B(b,0),C(0,)。(2)假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形。 设点P坐标(x,y),连接OP
38、, 则。过P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,PEO=EOD=ODP=90。四边形PEOD是矩形。EPD=90。PBC是等腰直角三角形,PC=PB,BPC=90。EPC=BPD。PECPDB(AAS)。PE=PD,即x=y。由 解得,。由PECPDB得EC=DB,即,解得符合题意。点P坐标为(,)。(3)假设存在这样的点Q,使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似. QAB=AOQ+AQO,QABAOQ,QABAQO.要使得QOA和QAB相似,只能OAQ=QAB=90,即QAx轴。b2,ABOA. QOAQBA,QOA=AQB,此时OQB =90。由QAx轴知QAy轴,COQ=
39、OQA。要使得QOA和OQC相似,只能OCQ=90或OQC=90。()当OCQ=90时,QOAOQC,AQ=CO=。 由 得:,解得:。b2,。点Q坐标为(1,).()当OQC=90时,QOAOCQ,即。又,即,解得:AQ=4此时b=172符合题意。点Q坐标为(1,4)。综上可知:存在点Q(1,)或(1,4),使得QCO、QOA和QAB中的任意两个三角形均相似。【考点】二次函数综合题,曲线上点的坐标与方程的关系,等腰直角三角形的判定和性质,矩形的判定和性质,全等三角形的判定和性质,相似三角形的判定和性质。【分析】(1)令y=0,即,解关于x的一元二次方程即可求出A,B横坐标,令x=0,求出y的值即C的纵坐标。(2)存在,先假设存在这样的点P,使得四边形PCOB的面积等于2b,且PBC是以点P为直角顶点的等腰直角三角形设点P的坐标为(x,y),连接OP,过P作PDx轴,PEy轴,垂足分别为D、E,利用已知条件证明PECPDB,进而求出x和y的值,从而求出P的坐标。(3)存在,假设存在这样的点Q,使得QCO,QOA和QAB中的任意两个三角形均相似,由条件可知:要使QOA与QAB相似,只能QAO=BAQ=90,即QAx轴;要使QOA与OQC相似,只能QCO=90或OQC=90。再分别讨论求出满足题意Q的坐标即可。13. (2012江苏宿迁12分)(1)如图1,在ABC中,BA=BC,
链接地址:https://www.31doc.com/p-1971900.html