[初三数学]一元二次方程复习专题讲义补课用.doc
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1、 一元二次方程全章复习讲义一、知识结构:2、 知识点:1. 一元二次方程的一般式:,为二次项系数,为一次项系数,为常数项。2. 一元二次方程的解法:(1)直接开平方法 : (也可以使用因式分解法) 解为: 解为: 解为: 解为: (2)因式分解法:提公因式分解,平方公式,平方差,十字相乘法。如: 此类方程适合用提公因式,而且其中一个根为0。 x2-4x-12=0(x-6)(x+2)=0 2x2+5x-12=0(2x-3)(x+4)=0 (3) 配方法: 二次项的系数为“1”的时候:直接将一次项的系数除于2进行配方,如下所示: 示例: 二次项的系数不为“1”的时候:先提取二次项的系数,之后的方法
2、同上: 示例: (4).公式法: 一元二次方程,用配方法将其变形为: 当时,右端是正数因此,方程有两个不相等的实根: 当时,右端是零因此,方程有两个相等的实根: 当时,右端是负数因此,方程没有实根。 3.公式法解方程的步骤: 把方程化成一般形式: 一元二次方程的一般式:,并确定出、 求出,并判断方程解的情况。 I当0时,一元二次方程有2个不相等的实数根。 II当=0时,一元二次方程有2个相同的实数根。 III当0 方程有两个不相等的实数根。 (2)a0, 方程是一元二次方程,此方程是缺少常数项的不完全的一元二次方程,将常数项视为零, =(b)2-4a0=b2, 无论b取任何关数,b2均为非负数
3、, 0,故方程有两个实数根。 题型2:根据方程根的情况,确定待定系数的取值范围。 例2k的何值时?关于x的一元二次方程x2-4x+k-5=0(1)有两个不相等的实数根;(2)有两个相等的实数根;(3)没有实数根;分析:由判别式定理的逆定理可知: (1)0;(2)=0;(3)0; 解:=(-4)2-4(k-5)=16-4k+20=36-4k (1)方程有两个不相等的实数根, 0,即36-4k0.解得k9 (2)方程有两个相等的实数根, =0,即36-4k=0.解得k=9 (3)方程无实数根, 0,即36-4k9 变式题1:试根据m的值讨论关于x的方程(m-2)x2+2mx+m+3=0的根的情况。
4、 分析:本题没有明确方程的类别(方程的次数),应分类讨论,因此,先要对二次项系数m2是否为0展开讨论。在m20的情况下再利用判别式来分析。 解:(1) 变式题2:若两个关于x的方程x2xa0与x2ax10有一个公共的实数根,求a的值。分析:首先理解公共根的意义,就是同时满足两个不同方程的根,其次利用“转化”思想,利用方程的根的定义,将公共根代入两个方程,再利用方程组求a的值。 解:设两个方程的公共根为x0,则:。a1,即a-10. x0-1=0,得:x0=1. 将代入方程(1)得a=-2。 题型3:证明字母系数方程有实数根或无实数根。 例3求证方程(m2+1)x2-2mx+(m2+4)=0没有
5、实数根。 分析:先求出关于x的方程的根的判别式,然后只需说明判别式是一个负数,就证明了该方程没有实数根。 证明:=(-2m)2-4(m2+1)(m2+4) =4m2-4(m4+5m2+4) =-4m4-16m2-16=-4(m4+4m2+4) =-4(m2+2)2 不论m取任何实数(m2+2)20, -4(m2+2)20, 即0时,关于x的方程c(x2+m)+b(x2-m)-2ax=0有两个相等的实数根。求证ABC为Rt。 证明:整理原方程: 方程c(x2+m)+b(x2-m)- 2max =0. 整理方程得:cx2+cm+bx2-bm-2ax =0 (c+b)x2-2ax +cm-bm=0
6、根据题意: 方程有两个相等的实数根, =(-2a)2-4(c+b)(cm-bm)=0 4ma2-4(c2m-bcm+bcm-b2m)=0 ma2-c2m+b2m=0 =m(a2+b2-c2)=0 又 m0,a2+b2-c2=0a2+b2=c2又a,b,c为ABC的三边,ABC为Rt。 题型5:判断当字母的值为何值时,二次三项是完全平方式 例5(1)若关于a的二次三项式16a2+ka+25是一个完全平方式则k的值可能是_ (2)若关于a的二次三项式ka2+4a+1是一个完全平方式则k的值可能是_; 分析:可以令二次三项等于0,若二次三项是完全平方式,则方程有两个相等的实数根。即=0。 解:(1)
7、令16a2+ka+25=0 方程有两个相等的实数根, =k2-41625=0 k=+40或者-40 (2)令ka2+4a+15=0 方程有两个相等的实数根, =16-4k=0 k=4。 题型6:可以判断抛物线与直线有无公共点 例6:当m取什么值时,抛物线与直线y=x2m只有一个公共点? 解:列方程组消去y并整理得:x2+x-m-1=0 即:=1+4(m+1)=4m+5。 抛物线与直线只有一个交点,0, 即:4m+5=0 m=-5/4 。(说明:直线与抛物线的交点问题也可归纳为方程组的解的问题。) 题型7:可以判断抛物线与x轴有几个交点 分析:抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点 ()当y=0
8、时,即有ax2+bx+c=0,要求x的值,需解一元二次方程ax2+bx+c=0。可见,抛物线y=ax2+bx+c与x轴的交点的个数是由对应的一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况确定的,而决定一元二次方程ax2+bx+c=0的根的情况的,是它的判别式的符号,因此抛物线与x轴的交点有如下三种情形: 当0时,抛物线与x轴有两个交点,若此时一元二次方程ax2+bx+c=0的两根为x1、x2,则抛物线与x轴的两个交点坐标为(x1,0)(x2,0)。 当=0时,抛物线与x轴有唯一交点,此时的交点就是抛物线的顶点,其坐标是()。 当0时,抛物线与x轴没有交点。 例7、判定下列抛物线与x轴交点的个数:(
9、)y=3x2+4x+1()y=-x2+6x-9()y=4x2-2x+1 解:()16-12=40 抛物线与x轴有两个交点。 ()36-36=0 抛物线与x轴只有一个公共点。 ()4-16=-120,即: 4m+80m2 (2)抛物线和x轴只有一个公共点, 0,即 4m+8=0 m=2 当m=2时,方程可化为x2+2x+m-1=0,解得x1=x2= -1,抛物线与x轴公共点坐标为(-1,0)。 (3)抛物线与x轴没有公共点, 0,即4m+82 当m2时,抛物线与x轴没有公共点。 题型8:利用根的判别式解有关抛物线y=ax2+bx+c(0)与x轴两交点间的距离的问题。 分析:抛物线y=ax2+bx
10、+c (0)与x轴两交点间的距离,是对应的一元二次方程 ax2+bx+c=0的两根差的绝对值。它有以下表示方 法: 例9: 求当a为何值时?二次函数y=x2-2ax+2a+3图象与x轴的两个交点间的距离是3。 解:令y=0,得方程x2-2ax+2a+3=0,设这个一元二次方程的两根分别为x1和x2,则由得,即。进而得4a2-8a-12=9a=或a=。当时,图象与x轴两个交点间的距离是3。 二、一元二次方程的解的应用: 例10、已知是一元二次方程的一个解,且,求的值. 解:因为是一元二次方程的一个解,所以,可知. 所以 例11.(09荆门)关于x的方程ax2(a2)x2=0只有一解(相同解算一解
11、),则a的值为( ) (A)a=0 (B)a=2 (C)a=1 (D)a=0或a=2 解:(1)当,方程为一元一次方程 此时有实数根; (2)当,方程为二次方程.由相同解算一解得: ,解得 此时方程有实数根 综合(1)、(2),选D 例12(09年烟台市)设是方程的两个实数根,则的值为( ) A2006B2007C2008D2009 解:因为是方程的两个实数根,所以 ,所以。3、 一元二次方程解法的选择:例13.对于方程 把最适宜解法的序号填在下面的横线上。(1)直接开平方法_;(2)因式分解法_;(3)配方法_;(4)求根公式法_。 解:(1)(1)(5)(6); (2)(1)(2)(4)(
12、7); (3)(3)(8); (4)(3)(8). 点评:规律总结:一元二次方程的常用解法有(1)开平方法,(2)配方法,(3)求根公式法,(4)因式分解法,。 通常可以这样选择合适的解法:(1)当方程一边为含有未知数的完全平方式,另一边为非负数时,可用直接开平方法。(2)当方程的一边为0,而另一边可以分解为两个一次因式的乘积的形式时,运用因式分解法求解。(3)当方程的一边较易配成含未知数的完全平方式,另一边为非负数时,常用配方法。(4)当不便用上面三种方法时,就用求根公式法。例14(09新疆)解方程:解法一: 或解法二: 四.韦达定理的应用: 1.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a0)
13、的两个根是x1、x2,那么 :x1+x2=-, x1.x2=。 特别地,若x1,x2是方程x2+px+q=0的两个根,那么:x1+x2=p、 x1.x2=q。 2.两个数x1,x2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是: x2(x1+x2)x+x1.x2=0. 3.补充公式 4.利用求根公式在实数范围内分解因式: 5.利用一元二次方程的根与系数的关系解决如下问题: 不解方程,求一些代数式的值; 求方程的根; 确定方程中字母系数的值; 求以已知两数为根的一元二次方程; 已知两个数的和与积,求这两个数; 不解方程求作新方程,使其根与原方程的根有某种关系; 证明某些等式; 与根的判别式相结合,解某些
14、综合题。 例15.关于x的方程x2-(5k+1)x+k2-2=0,是否存在负数k,使方程的两个根的倒数和等于4?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,请说明理由。 分析:先假设存在,由根和系数的关系求出k的值,再将k的值代入原方程,若方程有实数根,则k就是所求的值;若方程无实数根,则就不是所求的值。 解:假设存在这样的负数k,使方程的两个根的倒数和等于4。 设方程x2-(5k+1)x+k2-2=0的两个根为x1、x2。则:由根和系数的关系可得:x1+x2=5k+1、x1x2=k2-2。 所以,1/x1+1/x2=4,即:(5k+1)/(k2-2)=4,解得:k1=-1、k2=9/4.当k1=
15、-1时,b2-4ac=(5k+1)2-4(k2-2)=21k2+10k+9=20. 所以存在这样的负数k,使得方程的两个根的倒数和等于4。 变式题1:已知关于x 的方程k2x2+(2k-1)x+1=0有两个不相等的实数根,(1)求k的取值范围。(2)是否存在实数k,使得两个实数根互为相反数?若存在,求出满足条件的k的值;若不存在,请说明理由。 (答案:(1)k小于1/4,且k不等于0.(2)不存在) 例16.若是方程的两个根,试求下列各式的值:(1) ;(2) ; (3) ;(4) 解:由题意,根据根与系数的关系得: (1) (2) (3) (4) 点评: 利用根与系数的关系求值,要熟练掌握以
16、下等式变形:,等等韦达定理体现了整体思想。 变式题1.已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值。 (1)方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足 分析:(1) 由韦达定理即可求之;(2) 有两种可能,一是,二是,所以要分类讨论 解:(1) 方程两实根的积为5 所以,当时,方程两实根的积为5 (2) 由得知: 当时,所以方程有两相等实数根,故; 当时,由于 ,故不合题意,舍去综上可得,时,方程的两实根满足 点评:根据一元二次方程两实根满足的条件,求待定字母的值,务必要注意方程有两实根的条件,即所求的字母应满足 变式题2. 不解方程,求方程2x2+3x-1=0的两个根的(1)平方和 。(2)
17、倒数和。 变式题3.已知是一元二次方程的两个实数根 (1)是否存在实数,使成立?若存在,求出k的值;若不存在,请您说明理由。 (2) 求使的值为整数的实数的整数值。 解:(1) 假设存在实数,使成立 一元二次方程的两个实数根 , 又是一元二次方程的两个实数根 ,但 不存在实数,使成立 (2) 要使其值是整数,只需能被4整除,故,注意到,要使的值为整数的实数的整数值为 点评:(1) 存在性问题的题型,通常是先假设存在,然后推导其值,若能求出,则说明存在,否则即不存在(2) 本题综合性较强,要学会对为整数的分析方法 变式题4.设x1.x2是方程2x2+4x-3=0的两个根,利用根与系数的关系,求下
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