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1、2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学(理工农医类)本试卷分第卷(选择题)和第卷(非选择题)两部分第卷1至2页,第卷3至10页考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回第卷(选择题共60分)一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 a 阿 O 阿 O 阿 O 阿 O 阿 (A)(B)(C)(D)(1)如果函数的图象与轴有两个交点,则点平面上的区域(不包含边界)为( )(2)抛物线的准线方程是,则a的值为( )(A)(B)(C)8(D)8(3)已知( )(A)(B)(C
2、)(D)(4)设函数的取值范围是( )(A)(1,1)(B)(C)(,2)(0,+)(D)(,1)(1,+)(5)是平面上一定点,是平面上不共线的三个点,动点满足的轨迹一定通过的(A)外心(B)内心(C)重心(D)垂心(6)函数的反函数为( )(A)(B)(C)(D)(7)棱长为的正方体中,连结相邻面的中心,以这些线段为棱的八面体的体积为( )(A)(B)(C)(D)(8)设,曲线在点处切线的倾斜角的取值范围为到曲线对称轴距离的取值范围为 ( ) (A) (B) (C) (D)(9)已知方程的四个根组成一个首项为的的等差数列,则 ( ) (A)1 (B) (C) (D)(10)已知双曲线中心在
3、原点且一个焦点为F(,0),直线与其相交于M、N两点,MN中点的横坐标为,则此双曲线的方程是 ( ) (A) (B) (C) (D)(11)已知长方形的四个顶点A(0,0),B(2,0),C(2,1)和D(0,1),一质点从AB的中点沿与AB的夹角的方向射到BC上的点后,依次反射到CD、DA和AB上的点、和(入射角等于反射角),设的坐标为(,0),若,则tg的取值范围是 ( ) (A)(,1) (B)(,) (C)(,) (D)(,)(12)一个四面体的所有棱长都为,四个顶点在同一球面上,则此球的表面积为( )(A)(B)4(C)(D)2003年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学(理
4、工农医类)第卷(非选择题共90分)二.填空题:本大题共4小题,每小题4分,共16分把答案填在题中横线上(13)的展开式中系数是 (14)某公司生产三种型号的轿车,产量分别为1200辆,6000辆和2000辆为检验该公司的产品质量,现用分层抽样的方法抽取46辆进行检验,这三种型号的轿车依次应抽取_,_,_辆263451(15)某城市在中心广场建造一个花圃,花圃分为6个部分(如图)现要栽种4种不同颜色的花,每部分栽种一种且相邻部分不能栽种同样颜色的花,不同的栽种方法有_种(以数字作答)(16)对于四面体ABCD,给出下列四个命题其中真命题的序号是_.(写出所有真命题的序号)三、解答题:本大题共6小
5、题,共74分,解答应写出文字说明,证明过程或或演算步骤(17)(本小题满分12分) 有三种产品,合格率分别为0.90,0.95和0.95,各抽取一件进行检验()求恰有一件不合格的概率;()求至少有两件不合格的概率(精确到0.001)(18)(本小题满分12分)已知函数上的偶函数,其图象关于点对称,且在区间上是单调函数求的值 (19)(本小题满分12分) 如图,在直三棱柱中,底面是等腰直角三角形,侧棱,D、E分别是与的中点,点E在平面ABD上的射影是ABD的重心G()求与平面ABD所成角的大小(结果用反三角函数值表示)()求点到平面AED的距离(20)(本小题满分12分)已知常数经过原点O以为方
6、向向量的直线与经过定点为方向向量的直线相交于P,其中试问:是否存在两个定点E、F,使得为定值若存在,求出E、F的坐标;若不存在,说明理由(21)(本小题满分12分)已知为正整数()设,证明;()设,对任意,证明(22)(本小题满分14分)设,如图,已知直线及曲线上的点的横坐标为作直线平行于轴,交直线作直线平行于轴,交曲线的横坐标构成数列()试求的关系,并求的通项公式;OcylxQ1Q2Q3a1a2a3r2r1()当时,证明()当时,证明2003年普通高等学校招生全国统一考试数 学 试 题(江苏卷)答案一、选择题:本题考查基本知识和基本运算,每小题5分,满分60分.1C 2B 3D 4D 5B
7、6B 7C 8B 9C 10D 11C 12A二、填空题:本题考查基本知识和基本运算,每小题4分,满分16分.13 146,30,10 15120 16三、解答题17本小题要主考查相互独立事件概率的计算,运用数学知识解决问题的能力,满分12分.解:设三种产品各抽取一件,抽到合格产品的事件分别为A、B和C.(), 因为事件A,B,C相互独立,恰有一件不合格的概率为答:恰有一件不合格的概率为0.176.解法一:至少有两件不合格的概率为 解法二:三件产品都合格的概率为由()知,恰有一件不合格的概率为0.176,所以至有两件不合格的概率为答:至少有两件不合的概率为0.012.(18)在小题主要考查三角
8、函数的图象和单调性、奇偶性等基本知识,以及分析问题和推理计算能力,满12分分。解:由19本小题主要考查线面关系和直棱柱等基础知识,同时考查空间想象能力和推理运算能力. 满分12分.解法一:()解:连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即EBG是A1B与平面ABD所成的角.设F为AB中点,连结EF、FC,()连结A1D,有, 设A1到平面AED的距离为h,则 解法二:()连结BG,则BG是BE在面ABD的射影,即A1BG是A1B与平ABD所成的角.如图所示建立坐标系,坐标原点为O,设CA=2a,则A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) ()由()有A(2,0,0)A1(2,0
9、,2),E(1,1,1),D(0,0,1)()当时,方程是圆方程,故不存在合乎题意的定点E和F;()当时,方程表示椭圆,焦点()当方程也表示椭圆,焦点为合乎题意的两个定点.(21)本小题主要考查导数、不等式证明等知识,考查综合运用所数学知识解决问题的能力,满分12分.证明:()因为,所以()对函数求导数: 即对任意22本小题主要考查二次函数、数列、不等式等基础知识,综合运用数学知识分析问题和解决问题的能力,满分14分. ()解: , ()证明:由a=1知 当 ()证明:由()知,当a=1时,因此 = 2004年普通高等学校招生全国统一考试数学(江苏卷)一、选择题(5分12=60分)1.设集合P
10、=1,2,3,4,Q=,则PQ等于 ( )(A)1,2 (B) 3,4 (C) 1 (D) -2,-1,0,1,22.函数y=2cos2x+1(xR)的最小正周期为 ( )(A) (B) (C) (D)3.从4名男生和3名女生中选出4人参加某个座谈会,若这4人中必须既有男生又有女生,则不同的选法共有 ( )(A)140种 (B)120种 (C)35种 (D)34种4.一平面截一球得到直径是6cm的圆面,球心到这个平面的距离是4cm,则该球的体积是 ( )(A) (B) (C) (D) 5.若双曲线的一条准线与抛物线的准线重合,则双曲线离心率为 ( )(A) (B) (C) 4 (D)0.5人数
11、(人)时间(小时)2010501.01.52.0156.某校为了了解学生的课外阅读情况,随机调查了50名学生,得到他们在某一天各自课外阅读所用时间的数据,结果用右侧的条形图表示. 根据条形图可得这50名学生这一天平均每人的课外阅读时间为 ( )(A)0.6小时 (B)0.9小时 (C)1.0小时 (D)1.5小时7.的展开式中x3的系数是 ( )(A)6 (B)12 (C)24 (D)488.若函数的图象过两点(-1,0)和(0,1),则 ( )(A)a=2,b=2 (B)a=,b=2 (C)a=2,b=1 (D)a=,b=9.将一颗质地均匀的骰子(它是一种各面上分别标有点数1,2,3,4,5
12、,6的正方体玩具)先后抛掷3次,至少出现一次6点向上和概率是 ( )(A) (B) (C) (D)10.函数在闭区间-3,0上的最大值、最小值分别是 ( )(A)1,-1 (B)1,-17 (C)3,-17 (D)9,-1911.设k1,f(x)=k(x-1)(xR) . 在平面直角坐标系xOy中,函数y=f(x)的图象与x轴交于A点,它的反函数y=f -1(x)的图象与y轴交于B点,并且这两个函数的图象交于P点. 已知四边形OAPB的面积是3,则k等于 ( )(A)3 (B) (C) (D)12.设函数,区间M=a,b(a0的解集是_.14.以点(1,2)为圆心,与直线4x+3y-35=0相
13、切的圆的方程是_.15.设数列an的前n项和为Sn,Sn=(对于所有n1),且a4=54,则a1的数值是_.16.平面向量中,已知=(4,-3),=1,且=5,则向量=_.三、解答题(12分5+14分=74分)17.已知00且A1)的图象可以看作把正弦曲线上的所有点的纵坐标伸长(A1)或缩短(0A0且1)的图象,可看作把正弦曲线上所有点的横坐标缩短(1)或伸长(01)到原来的倍(纵坐标不变)(3)函数ysin(x),xR(其中0)的图象,可以看作把正弦曲线上所有点向左(当0时)或向右(当0时平行移动个单位长度而得到 (用平移法注意讲清方向:“加左”“减右”)可以先平移变换后伸缩变换,也可以先伸
14、缩变换后平移变换,但注意:先伸缩时,平移的单位把x前面的系数提取出来 5【思路点拨】本题主要考查二项式展开通项公式的有关知识. 【正确解答】的展开式通项为,因此含x的正整数次幂的项共有2项.选B【解后反思】多项式乘法的进位规则.在求系数过程中,尽量先化简,降底数的运算级别,尽量化成加减运算,在运算过程可以适当注意令值法的运用,例如求常数项,可令.在二项式的展开式中,要注意项的系数和二项式系数的区别.6【思路点拨】本题主要考查平面向量的数量积运算,抛物线的定义.【正确解答】设,则由,则,化简整理得 所以选B【解后反思】向量的坐标表示和数量积的性质在平面向量中的应用是学习的重点和难点.也是高考常常
15、考查的重要内容之一.在平时请多多注意用坐标如何来表示向量平行和向量垂直,既要注意它们联系,也要注意它们的区别. 7【思路点拨】本题主要考查.集合的并集与交集运算,集合之间关系的理解 【正确解答】因为由题意得所以选A【解后反思】对集合的子、交、并、补运算,以及集合之间的关系要牢固掌握 本题考查三个抽象集合之间的关系,可以考虑借助与文氏图 8【思路点拨】本题主要考查.不等式恒成立的条件,由于给出的是不完全提干,必须结合选择支,才能得出正确的结论 【正确解答】运用排除法,C选项,当a-b0时不成立 【解后反思】运用公式一定要注意公式成立的条件如果如果a,b是正数,那么9【思路点拨】本题主要考查空间想
16、象能力,以及正四棱锥的体积【正确解答】由于两个正四棱锥相同,所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心,有对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半,影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积,问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种,所以选D.【解后反思】正方体是大家熟悉的几何体,它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力,要学会将空间问题向平面问题转化 10【思路点拨】本题主要考查平均分组问题及概率问题.【正确解答】将六个接线点随机地平均分成三组,共有种结果,五个接收器能同时接收到信号必须全部在同一个串联线路中,有种结果,这五个接收器能同时接收到信号的概率是,选D
17、【解后反思】概率问题的难点在于分析某事件所有可能出现的结果及其表示方法,而运用概率部分的性质、公式求某事件概率只是解决问题的工具而已11【思路点拨】本题主要考查解三角形的基本知识【正确解答】由正弦定理得,解得【解后反思】解三角形:已知两角及任一边运用正弦定理,已知两边及其夹角运用余弦定理12【思路点拨】本题主要考查线性规划问题,由线性约束条件画出可行域,然后求出目标函数的最大值.【正确解答】画出可行域,得在直线2x-y=2与直线x-y=-1的交点A(3,4)处,目标函数z最大值为18【解后反思】本题只是直接考查线性规划问题,是一道较为简单的送分题 近年来高考线性规划问题高考数学考试的热点,数形结合是数学思想的重要手段之一,是连接代数和几何的重要方法 随着要求数学知识从书本到实际生活的呼声不断升高,线性规划这一类新型数学应用问题要引起重视 13【思路点拨】本题考查排列组合的基本知识.【正确解答】由题意可知,因同色球不加以区分,实际上是一个组合问题,共有【解后反思】分步计数原理与分类计数原理是排列组合中解决问题的重要手段,也是基础方法,在高中数学中,只有这两个原理,尤其是分类计数原理与分类讨论有很多相通之处,当遇到比较复杂的问题时,用分类的方法可以有效的
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