[数学]上海高一下期末数学复习全总结_教师版.doc
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1、高一下期末复习资料板块一指对幂函数【知识要求】(1)指对幂运算:指数运算、对数运算、指对互换。1.1对数恒等式:1.2对数公式:(2)指对幂函数图像:基本初等函数图像、图像变换。(3)指对幂函数性质:奇偶、单调、对称、周期。【经典例题】【例1】(1)【2010湖北文03】已知函数,则。【解析】;,。(2)【2010湖北文05】函数的定义域为。【解析】;。(3)【2010重庆文04】函数的值域是。 【解析】;,。【例2】【2010北京文06】给定函数,其中在区间上单调递减的函数的序号是。【解析】;根据函数图像可得满足题意。【例3】【2010全国文10理08】设,则。【解析】;,又,。综上,。板块
2、二三角比【知识要求】(1)角的定义与表示1.1任意角的定义:平面内由一条射线绕着其端点从初始位置(始边)旋转到终止位置(终边)所形成的图形。(动态的定义)1.2分类:正角、负角、零角;象限角、轴线角。1.3表示:与角终边一致的角:1.4弧度制1.4.1为什么引进弧度制?:以实现角度与实数的一一对应,为三角函数“正名”。1.4.2弧度制与角度制(六十进制)的互换:采用比例式互换。把弧长等于半径的弧所对的圆心角叫做。圆心角;扇形面积。;。(2)三角比的定义2.1三角比的定义用直角三角形边之比定义锐角三角比;,正割:,余割:用终边上点的坐标定义任意角的三角比;在任意角的终边上任取一点。设点的坐标为,
3、则。,。由以上定义可得任意角在各个象限中对应的三角比的正负:一全正、二正弦(余割)、三两切、四余弦(正割)。用单位圆上的有向线段定义任意角的三角比。,2.2特殊角的三角比()()()()()不存在不存在速记口诀如下:0 30 45 60 90度,正余弦及正切值。数字0 1 2 3 4 ,除以4求算术根;计算结果都存在,对应五角正弦值。数字4 3 2 1 0,除以4求算术根;计算结果都存在,对应五角余弦值。数字0 1 2 3 4 ,数字4 3 2 1 0,对应相除若有商,算术根乃正切值。(3)同角三角恒等式【注】、以上表达式只需知其一,其余的必可求解!(4)诱导公式口诀:奇变偶不变,符号看象限。
4、将所需化简的角化成的形式,然后用口诀。(5)两角和差展开公式(6)二倍角公式半角公式(7)辅助角公式(提携公式),*,【经典例题】【例4】(1)若是第二象限角,那么和都不是。第一象限角 第二象限角 第三象限角第四象限角【解析】;是第二象限角,是第一或三象限角,为第三象限角,为第四象限角,故和都不是第二象限角。(2)扇形的中心角为,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为。【解析】;设扇形半径为,内切圆半径为。,。【例5】(1)【2010山东明天中学】已知角的终边过点,且,则的值为。 【解析】;,即,又,角的终边应在第三象限,。(2)【2009重庆文06】下列关系式中正确的是。 【解析】;在单位圆中
5、画出、分别所对应的三角函数线可得。【例6】(1)【2009山东临沂】已知,则的值是。【解析】;法一:,又,。则。法二:,即,或,又,。(2)【2009安徽合肥】已知,则。 【解析】;,。【例7】(1)【2010全国02】记,那么 。 【解析】;,则,故。(2)【2009安徽皖北】若,则 。 【解析】;。【例8】(1)已知,则。【解析】;,。(2)已知为锐角,且,则。【解析】;为锐角,。【例9】(1)已知,则 。【解析】;。(2)已知,则 。【解析】;,。【例10】(1)【2008四川非延考理05】若,则的取值范围是。 【解析】;,又,。(2)若,且,则。【解析】;,又,。板块三三角函数【知识要
6、求】(1)定义:一般地,形如,的函数称为三角函数。(2)图像由单位圆上的有向线段平移所得五点法(3)图像变换同名函数之间进行变换;所有变换必须针对或;左加右减,“上正下负”。(4)三角函数性质:奇偶、单调、周期、对称【经典例题】【例11】(1)作出函数的图像。【解析】法一:用“五点法”法二:通过图像变换绘制。由的图像,向左平移个单位,纵坐标不变横坐标变为原来的,横坐标不变纵坐标变为原来的倍。(2)【2010江苏10】定义在区间上的函数的图像与的图像的交点为,过点作轴于点,直线与的图像交于点,则线段的长为。【解析】;根据题意画出函数图像,显然线段的长度为在点处所对应的函数值。记点处的横坐标为,则
7、。又有,又因为,所以(舍)或。【例12】(1)【2010天津文08】右图是函数在区间上的图像,为了得到这个函数的图像,只要将的图像上所有的点。(A)向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变(B) 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变(C) 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变(D) 向左平移个单位长度,再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍,纵坐标不变【解析】;由图像可知函数的周期为,振幅为,所以函数的表达式可以是。代入可得的一个值为,故函数的一个表达式为,所以只需将的图像上所有的点向左平移个单位长度,再把所
8、得各点的横坐标缩短到原来的倍,纵坐标不变。(2)【2005天津理08】要得到的图像,只需将函数的图像上所有的点的。A、横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度B、横坐标缩短到原来的倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度C、横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向左平行移动个单位长度D、横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变),再向右平行移动个单位长度【解析】 ;的周期是的周期的2倍,从周期的变化上知道横坐标应该伸长。排除A、B。的横坐标伸长2倍后变成了,将化成正弦形式为,根据口诀“左加右减”得由向右移动。【例13】(1)【2010重庆理06】已知函数的部分图像如图所示,则
9、。A B C D 【解析】;,所以,又因为,所以。(2)【2009浙江理08】已知是实数,则函数的图像不可能是。【解析】;选项:,而由图像的振幅可得两者相互矛盾。【例14】(1)【2010浙江理11】函数的最小正周期是_。【解析】;,故最小正周期为。(2)【2010北京理15改编】函数的最大值为_,最小值为_。【解析】,;,。因为,所以,当时,取最大值;当时,取最小值。(3)【自编】函数,的值域为_。【解析】;令,当时,则。又有,则原函数可化为,当时,故函数的值域为。【例15】(1)【自编】已知函数,()求函数的值域;()求函数的最小正周期;()求函数的单调性;()求函数的对称轴和对称中心;【
10、解析】(),即值域为。(),即最小正周期为。()函数的增区间为函数的减区间为【注】在下列区间内函数单调递减的是_。ABCD【解析】;此题的函数为复合函数,在考查单调性时严格采用“同增异减”的口诀。特别需要注意函数的复合形式。令,可见函数单调递减,单调递增,则要求整个函数的减区间,只要单调递增即可。所以,即,。显然备选答案是上述区间的一个子区间。()对称轴:,对称中心:,所以对称中心为,。(2)【自编】下列命题函数的最小正周期是;函数在(,)上是递增的;函数的图像关于点中心对称;函数是奇函数。其中正确命题的序号为。【解析】;,故最小正周期;,函数的递增区间为,即,而,;对称中心:,当,所以点为函
11、数的对称中心;,所以函数为奇函数。【例16】(1)【2003天津文21】已知函数是上的偶函数,其图像关于点对称,且在区间上是单调函数。求的值。【解析】函数是上的偶函数,即,又,则;函数关于点对称,函数,;在区间上是单调函数,又,;综上,或,经检验以上两组答案均满足题意。【注】此题为逆向问题,告诉三角函数的相关性质,求解参量。对于此类问题总结如下:1、 已知直接代入;2、 已知奇偶性:3、 已知对称轴对称:关于轴对称或在同一周期内 中心对称:关于点中心对称或在同一周期内 4、 已知周期5、 已知单调特性6、 已知最值或最值分布情况振幅或周期提醒:因为以上结论均非充要条件,故解完此类问题,需代回原
12、函数进行检验。(2)【2008辽宁理16】已知,且在区间有最小值,无最大值,则_。【解析】;因为,且在区间有最小值,无最大值,所以 ,;进一步挖掘函数在区间有最小值,无最大值,有,又因为,所以;综上,。经检验满足题意。板块四反函数【知识要求】1.1定义:若函数的定义域为,值域为,对于中每一个元素在中有唯一确定的元素与之对应,则函数存在反函数,即为,否则不存在反函数。1.2存在反函数的前提条件:一一映射。1.3求反函数的步骤:求值域;反解;互换1.4互为反函数的两函数的性质:奇偶性:原函数奇函数,反函数奇函数;原函数偶函数,反函数一般情况下不存在,但若为单点函数可存在反函数。单调性:原函数在某一
13、区间上的增减性与反函数在对应区间上的增减性一致。原函数与反函数关于直线对称。1.5反三角:反三角公式:,当时,当时,当时,当时,反三角函数的图像和性质名称定 义定义域值 域图 像xy1O5-1反正弦函数y=arcsinx(y=sinx, x-,的反函数)-1,1-,xy1O5-1p反余弦函数y=arccosx(y=cosx, x0,p的反函数)-1,10,pxyO5反正切函数y=arctanx(y=tanx, x(-,)的反函数)(-,+)(-,)【经典例题】【例17】(1)函数的反函数为。【解析】,;,当时,函数的值域为。,则,反函数为,。(2)【1992全国理】函数的反函数为。奇函数,且在
14、单调递减偶函数,且在单调递奇函数,且在单调递增偶函数,且在单调递增【解析】;原函数定义域为关于原点对称,且有,故原函数为奇函数,反函数也为奇函数。函数在单调递增,函数在单调递减,函数在在单调递增,反函数在上也单调递增。(3)【2004全国理15】已知函数是奇函数。当时,设的反函数是,则。【解析】;原函数为奇函数,则反函数也为奇函数,故,令,解得,。【例18】(1)【2008上海第三女子中学高一下期末试题13】已知:,则等于。【解析】;(2)【2008上海南模中学高一下期末试题05】若,则的取值范围是。【解析】;,根据的图像可得。板块五解三角【知识要求】(1)解三角工具1.1解三角问题:、,已知
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