[数学]【高考必备】函数导数应用问题.doc
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1、一、求单调区间问题,分类讨论1.已知函数.()当时,讨论的单调性;()设当时,若对任意,存在,使,求实数取值范围.1.本小题主要考查导数的概念以及利用导数研究函数性质的能力,考查分类讨论思想,数形结合思想、等价变化思想,以及综合运用知识解读新情境、新问题的能力。解:()因为 所以 令 (1)当时, 所以 当,函数单调递增; 当时,此时,函数单调递增 (2)当时,由, 即 ,解得 时,此时,函数单调递减;时,此时,函数单调递增;时,此时,函数单调递减当时,由于 时,此时,函数单调递减;时,此时,函数单调递增 综上所述: 当时,函数在(0,1)上单调递减; 函数在上单调递增; 当时,函数在上单调递
2、减; 当时,函数在(0,1)上单调递减; 函数在上单调递增; 函数在上单调递减,()因为,由于()知,当时, 函数单调递减;当时,函数单调递增,所以在 (0 , 2)上的最小值为 由于“对任意,存在,使”等价于 “在上的最小值不大于在(0 ,2)上的最小值” 二、极值、零点2.已知函数f(x)=(x23x+3)ex,x2,t(t2)(1)当tl时,求函数f(x)的单调区间;(2)比较f(2)与f (t)的大小,并加以证明;(3)当函数自变量的取值区间与对应函数值的取值区间相同时,这样的区间称为函数的保值区间,设g(x)=f(x)+(x2)ex,试问函数g(x)在(1,+)上是否存在保值区间?若
3、存在,请求出一个保值区间;若不存在,请说明理由解:()f(x)=(x23x+3)ex,x2,t(t2),f(x)=(2x3)ex+ex(x23x+3)=exx(x1)当2t0时,x(2,t),f(x)0,f(x)单调递增当0t1时,x(2,0),f(x)0,f(x)单调递增x(0,t),f(x)0,f(x)单调递减综上所述,当2t0时,y=f(x)单调递增区间为(2,t);当0t1时,y=f(x)单调递增区间为(2,0),减区间为(0,t)()f(t)f(2)证明:令m=f(2),n=f(t),则m=13e2,n=(t23t+3)et,设h(t)=nm=(t23t+3)et13e2,h(t)=
4、(2t3)et+et(t23t+3)=ett(t1),(t2)h(t),h(t)随t变化如下表:由上表知h(t)的极小值为h(1)=e=0又h(2)=0,当t2时,h(t)h(2)0,即h(t)0因此,nm0,即nm,所以f(t)f(2)(x),(x)随x的变化如下表:由上表知,(x0)(1)=10,(2)=e220,故y=(x)的大致图象如图,因此(x)在(1,+)只能有一个零点,这与(x)=0有两个大于1的不等根矛盾,故不存在区间a,b满足题意,即函数g(x)不存在保值区间三、求最值问题1.已知,函数()当时,求曲线在点处的切线方程;()求在区间上的最小值()因为,所以12.【北京市朝阳区
5、2013届高三上学期期末理】已知函数()若,求曲线在点处的切线方程;()求函数的单调区间;()设函数若至少存在一个,使得成立,求实数的取值范围(2)当时,()若,由,即,得或; 5分由,即,得6分所以函数的单调递增区间为和,单调递减区间为 7分()若,在上恒成立,则在上恒成立,此时 在上单调递增 8分设,定义域为,.依题意,至少存在一个,使得成立,等价于当 时,. 9分(1)当时,在恒成立,所以在单调递减,只要,则不满足题意. 10分(2)当时,令得.()当,即时,在上,所以在上单调递增,所以,由得,所以. 11分()当,即时,在上,所以在单调递减,所以,四、利用单调性求字母范围4.已知函数(
6、1)若为的极值点,求实数的值;(2)若在上为增函数,求实数的取值范围;(3)当时,方程有实根,求实数的最大值。(2)因为在区间上为增函数,所以在区间上恒成立5分当时,在上恒成立,所以上为增函数,故符合题意6分当时,由函数的定义域可知,必须有对恒成立,故只能,所以上恒成立 7分令,其对称轴为, 8分(3)若时,方程可化为,问题转化为在上有解,即求函数的值域 11分以下给出两种求函数值域的方法:方法1:因为,令,则, 12分 所以当,从而上为增函数, 当,从而上为减函数, 13分 因此而,故, 因此当时,取得最大值0 14分 ,所以上单调递减; 当,所以上单调递增; 当上单调递减; 又因为,当,则
7、,又 因此当时,取得最大值0 14分五、证明不等式问题2.已知函数(为常数,是自然对数的底数),曲线在点处的切线与轴平行.()求的值;()求的单调区间;()设,其中为的导函数.证明:对任意.六、零点问题6.设函数(I)若曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,求的值;(II)当时,若函数在区间内恰有两个零点,求的取值范围;(III)当时,求函数在区间上的最大值解:(I).因为曲线与曲线在它们的交点处具有公共切线,所以,且,即,且,解得.3分(II)记,当时,令,得.当变化时,的变化情况如下表:00极大值极小值所以函数的单调递增区间为;单调递减区间为,6分当时,即时,在区间上单调递增,所以在区间上
8、的最大值为;当且,即时,在区间上单调递增,在区间上单调递减,所以在区间上的最大值为;当且,即时,t+30,即, 4分当时,g(x)0 ,即, 6分所以的单调增区间是(-3,0),单调减区间是(-,-3),(0,+)7分16.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】已知函数(I) 当时,求曲线在处的切线方程;()求函数的单调区间.【答案】解:当时, 2分又,所以在处的切线方程为 4分(II)当时,又函数的定义域为 所以 的单调递减区间为 6分当 时,令,即,解得7分当时,所以,随的变化情况如下表无定义0极小值所以的单调递减区间为,单调递增区间为 10分当时,所以,随的变化情况如下表:0无定义极
9、大值所以的单调递增区间为,单调递减区间为, 13分17.【北京市石景山区2013届高三上学期期末理】已知函数是常数()求函数的图象在点处的切线的方程;()证明函数的图象在直线的下方; ()讨论函数零点的个数()令, . 令 , 则在上单调递增,在上单调递减,当时,的最大值为. 所以若,则无零点;若有零点,则10分若,由()知有且仅有一个零点.19.【北京市通州区2013届高三上学期期末理】(本小题满分13分)已知函数()若函数在处有极值为10,求b的值;()若对于任意的,在上单调递增,求b的最小值【答案】(), 1分于是,根据题设有 解得 或 3分当时,所以函数有极值点; 4分当时,所以函数无
10、极值点5分所以6分()法一:对任意,都成立,7分所以 对任意,都成立8分因为 ,所以 在上为单调递增函数或为常数函数, 9分所以 对任意都成立 10分即 . 11分又,所以当时,12分所以,所以的最小值为 13分20.【北京市西城区2013届高三上学期期末理】 已知函数,其中()求的单调区间;()设若,使,求的取值范围【答案】()解: 当时, 故的单调减区间为,;无单调增区间 1分 当时, 3分令,得,和的情况如下:故的单调减区间为,;单调增区间为5分 当时,的定义域为 因为在上恒成立,21.【北京市海淀区2013届高三上学期期末理】(本小题满分13分)已知函数的定义域为,若在上为增函数,则称
11、为“一阶比增函数”;若在上为增函数,则称为“二阶比增函数”.我们把所有“一阶比增函数”组成的集合记为,所有“二阶比增函数”组成的集合记为. ()已知函数,若且,求实数的取值范围;()已知,且的部分函数值由下表给出, 求证:;()定义集合请问:是否存在常数,使得,有成立?若存在,求出的最小值;若不存在,说明理由. 三式相加得 所以 6分因为所以而, 所以所以 8分() 因为集合下面我们证明在上无解 假设存在,使得,则因为是二阶增函数,即是增函数一定存在,这与上面证明的结果矛盾 所以在上无解综上,我们得到,对成立所以存在常数,使得,有成立又令,则对成立,又有在上是增函数 ,所以,而任取常数,总可以
12、找到一个,使得时,有所以的最小值 为0 13分22. 【河北省唐山市20122013学年度高三年级期末考试】已知函数 (I)讨论函数f(x)单调性; ()当时,证明:曲线与其在点处的切线至少有两个不同的公共点解:()f(x)的定义域为(0,),f(x)2ax(1)若a0,则f(x)0,f(x)在(0,)是减函数;2分(2)若a0,则当x(0,)时,f(x)0,f(x)在(0,)是减函数;当x(,)时,f(x)0,f(x)在(,)是增函数4分23【湖北武汉武昌2013届高三期末调研考试】 已知函数f(x)=lnx+ ()求函数f(x)的单调区间;()设mR,对任意的a(-l,1),总存在xo1,
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