[数学]北京四中网校-数学.doc
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1、实 数 一、概述:从有理数到实数,是数的范围的一次重要的扩充,对今后学习数学有着重要的意义,因此我们应学好这部分知识。在初中数学课中我们都是在实数范围内研究问题,到了高中我们还将学习复数知识。 本单元的重点和难点都是实数的有关概念。 二、知识要点:1.有理数:整数和分数统称为有理数。有理数都可以表示为有限小数或无限循环小数,如可表示为0.4,可表示为等等;所有形如(m, n为互质的整数,n0)的数都是有理数。 2.无理数:无限不循环小数叫做无理数,无理数不能表示成分数的形式。如:,-,-。 3.实数:有理数和无理数统称为实数。 我们一般用下列两种情况将实数进行分类: 4.实数与数轴上的点是一一
2、对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示;反之数轴上的每一个点又都表示一个实数。 5.实数的相反数:如果a表示一个正实数,-a就表示一个负实数。又如果a表示一个负实数,则-a表示一个正实数。a与-a互为相反数。0的相反数仍是0。如与-,与-,m与-m均互为相反数。 6.实数的绝对值:一个正数的绝对值是它本身;一个负数的绝对值是它的相反数;0的绝对值是0。即如果a是一个实数,则有|a|= 例如,|-|=,|-|=,|=,|-|=-(-)=- 注意:-a(a0)是正数,例如:-(-) 7.有理数的运算律和运算性质在实数范围内仍然适用。 三、例题分析:例1.找出下列各数中的无理数:-5,3.1
3、416, , -, ,-,0.808008,。 解:无理数是无限不循环小数。3.1416是有限小数;是无限循环小数;-5,-=-3,=-2是整数;=,是分数,所以它们都是有理数。 那么无理数有:, ,-,0.808008,因为它们都是无限不循环小数。 注意:0.808008是无限不循环小数,只是数字有规律,但不是循环小数,两者区分开。 例2.比较下列各组数的大小: (1)-与-7 (2)与(3)-与- (4)把下列各数按照由小到大的顺序,用不等号连结起来:4, -3, -4,1.414, 0, 0.8, -, , -|4|, 分析:实数比较大小是综合性较强的题目,往往需要把无理数用近似的有理数
4、代替,再用有理数比较大小的方法来进行比较;有些需要用平方的方法,平方后再比较大小;有时还需找中介值等等。 解:(1)变成统一形式 |-|=, |-7|=7= -7 (两个负数比较大小,绝对值大的反而小) (2)利用近似数 =3.14159, =3.1428 (3) 用平方的方法: (-)2=13+7-2=20-2 (-)2=20-2 20-220-2 ,即(-)20, -0 - (4) -=-1.414, =1.414, -|4|=-4, =3.14159,把所有的数在数轴上找到与它们对应的点(或者变成近似数),从左到右便可得到: -4-|4|-3-00.81.4144 例3.化简下列各式:
5、(1) |-| (2) |-3.142| (3) |-|(4) |x-|x-3| (x3) (5) |x2+6x+10| 分析:要正确去掉绝对值符号,就要弄清绝对值符号内的数是正数、负数还是零,然后根据绝对值的定义正确去掉绝对值。 解:(1)=1.414 ,|-|=- (2) =3.141593.142 ,|-3.142|=3.142- (3) 0 ,|x2+6x+10|= x2+6x+10 例4.计算下列各式: (1)(2) (3)(4)0.2-0.7 解:(1)=-4+2-3-2=-7 (2) =-+1 =-=- (3) =0.8-0.14+1.1=1.76 (4)0.2-0.7 =0.2
6、20-0.790=4-63=-59 例5.已知(x-6)2+|y+2z|=0,求(x-y)3-z3的值。 解:(x-6)2+|y+2z|=0 ,且(x-6)20, 0, |y+2z|0, 几个非负数的和等于零,则必有每个加数都为0。 解这个方程组得 (x-y)3-z3=(6-2)3-(-1)3=64+1=65 例6.已知:=0,求实数a, b的值。 分析:已知等式左边分母不能为0,只能有0,则要求a+70,分子+|a2-49|=0,由非负数的和的性质知:3a-b=0且a2-49=0,由此得不等式组从而求出a, b的值。 解:由题意得 由(2)得 a2=49,a=7 ,由(3)得 a-7,a=-
7、7不合题意舍去, 只取a=7 把a=7代入(1)得b=3a=21 ,a=7, b=21为所求。 例7.有一个边长为11cm的正方形和一个长为13cm,宽为8cm的矩形,要作一个面积为这两个图形的面积之和的正方形,问边长应为多少cm。 解:设新正方形边长为xcm, 根据题意得 x2=112+138 , x2=225 , x=15 边长为正,x=-15不合题意舍去, 只取x=15(cm) 答:新的正方形边长应取15cm。 四、练习: (一)判断正误: (1)带根号的数都是无理数( ) (2)不带根号的数一定是有理数( ) (3)无限小数都是无理数( ) (4)无理数一定是无限不循环小数( ) (5
8、)有理数与数轴上的点一一对应( ) (6)最小的实数是零,最大的实数不存在( ) (7)无理数加无理数的和是无理数( ) (8)有理数加无理数的和是无理数( ) (9)有理数乘无理数的积是无理数( ) (10)无理数乘无理数的积是无理数( ) (二)填空:(1) |x-y+2|与互为相反数,则x=_, y=_。 (2) |x|=, 则x=_。 (3) =2, 则x=_;若=3, 则x=_。 (4) 若0x1, 则+=_。 (5) 如果分式有意义,则x的取值范围是_。 (三)已知=0,试求x2-y2的值。 (四)已知:x2+y2+4x-6y+13=0,求x2+y的平方根。 练习参考答案: (一)
9、判断正误: (1)(反例:=2) (2) (反例:) (3)(4) (5) (6) (7)(反例:+(-)=0) (8) (9) (反例:0=0) (10) (反例:=5) (二)填空: (1)-; (2)()(3)2;3(4)1(5)x3且x-3 (三)解:x2+y2-2xy-14x+14y+49=(x-y)2-14(x-y)+49=(x-y-7)2 根据题意得 ,即 解这个方程组得 x2-y2=(x+y)(x-y)=(26+19)(26-19)=457=315 (四)解:x2+y2+4x-6y+13=0 ,而x2+y2+4x-6y+13=x2+4x+4+y2-6y+9=(x+2)2+(y-
10、3)2 ,(x+2)2+(y-3)2=0 (x+2)20, (y-3)20 , ,x2+y=4+3=7 x2+y的平方根为。第二章检测题 一、填空题 1. 49的平方根是_,36的算术平方根是_,-8的立方根是_。 2. 若=4,则a=_;若,则b=_。 3. 在实数0,0.73,中,无理数有_。 4. 的倒数是_,的负倒数是_。 5. 如果正数x的平方根为a+2与3a-6,则=_。 6. 若,且ab0,则a+b=_。 7. 比较大小:,-3.14_-。 8. 点A在数轴上和原点相距个单位,点B在数轴上和原点相距3个单位,且点B在点A左边,则AB之间的距离为_。 二、选择题 1. 若aaB、|
11、a|b|C、-a-bD、-ba 9. 用科学计算器求的按键顺序正确的是( )。 A、 B、 C、 D、 三、解答题 1. 用计算器求下列各式的值: (1)(2)(3) 2. 化简计算: (1) (2) 3. 已知,求a2003+b2003的值。 4. 阅读下列解题过程: 。 请回答下列问题: (1)观察上面解题过程,请直接写出的结果为_。 (2)利用上面所提供的解法,请化简的值。 答案: 一. 1、76-22、443、, 4、-45、46、 7、8、 3-或3+ 二. 1、A 2、D 3、A 4、D 5、B 6、C 7、B 8、D 9、C 三. 1. (1) -53.6656(2) -0.24
12、879(3) -1.048 2. (1) -19.8(2) 3. 0 (提示:依题意有:b+1=0,a-1=0)4. (1)(2) 9 (提示:原式=) 平行四边形强化训练 一、基础训练 1、在下列性质中,矩形有而平行四边形不一定具有的性质是( ) A、对边相等B、对角相等C、对角线相等D、对边平行 2、已知:菱形的周长等于它的较短对角线长的4倍,则它的各个角是 ( ) A、60或120B、45或135 C、30或150D、以上答案都不对 3、同学们都玩过万花筒,它是由三块等宽等长的玻璃片围成的。如图,看到的是万花筒的一个图案, 图中所有的小三角形均是完全一样的等边三角形,其中的菱形AEFG可
13、以看成是把菱形ABCD以A为旋转中心() A、顺时针旋转60得到的B、顺时针旋转120得到的 C、逆时针旋转60得到的D、逆时针旋转120得到的 4、如图,O是正方形ABCD内的一点,如果AOB是一个等边三角形,那么DCO的度数为_。 5、天河宾馆在重新装修后,准备在大厅的主楼梯铺上某种红色的地毯,已知这种地毯每平方米的售价30元,主楼梯道宽2米,其侧面如图所示,则购买地毯至少需要_元。 6、如图,在梯形ABCD中,AB=AD=DC,BDCD,则C=_。 7、已知,如图,梯形ABCD中,AD/BE,DM=MC,AFBC,B=45,AF=3,EF=5,则梯形ABCD的面积为_。 8、有一条长为1
14、000m的路基,它的横截面是一个等腰梯形ABCD,已知路基基顶AB=6m,路基的高为2.3m,路基基底比基顶宽0.5m,则要建造这样的一段路基一共需要的土石方数位_。 9、下列说法不正确的是( ) A、等腰梯形的对角线相等 B、平行四边形的对角线互相平分 C、菱形的对角线相等 D、矩形的对角线相等 二、判定一个四边形是特殊的四边形的方法有许多,小明在一次学习时又发现了一种方法,即“有一条对角线平分一个内角的平行四边形是菱形”,但他还没有验证出这个结论是正确的,你能帮他说明白吗? 三、迎宾大酒楼准备将一个大厅隔成两个小厅,隔屏的正面形态如图所示,阴影部分全是用宽为10cm的木条拼成,木条的数量如
15、图所示,请计算图中阴影部分的面积。 四、按要求画一个图形:所画的图形中同时要有正方形和圆,并且这个图形既是轴对称图形又是中心对称图形。通过画图,你能总结出正确的画出图形的规律吗? 五、如图,平行四边形ABCD中,AQ、BN、CN、DQ分别是DAB、ABC、BCD、CDA的平分线,AQ与BN交于P,CN与DQ角与M。在不添加其他条件的情况下,试写出一个由上述条件推出的结论,并说明其正确性(要求:推导过程中用到“平行四边形”和“角平分线”这两个条件)。 六、有一位小朋友想剪一个等边三角形,可是手上只有一张正方形的纸,如图,你能帮他得到等边三角形吗?如果能,写出你的操作步骤。 七、用一张矩形的纸,不
16、用其他工具,只用双手,你能将直角三等分吗?徐老师是按以下的步骤进行的(如图): (1)现将矩形纸对折,设折痕为MN; (2)再把D点叠在折痕MN上,折痕为AE,点D在MN上的对应点为H,得RtAHE;(3)延AH折叠,得到折痕AH。这样,AE、AH就是直角BAD的三等分线,你能说明这个结论吗? 八、在一次数学课堂上,王老师随意的拿出了一张梯形纸片,然后问学生:“我想不改变这张纸片的面积,而将其形状变化成平行四边形,你能否办到呢?”请画图说明。 九、要剪切如图(尺寸单位:mm)所示甲、乙两种直角梯形零件,且使两种零件的数量相同,有两种面积相等的矩形铝板,第一种长600mm,宽250mm,第二种长
17、500mm,宽300mm可供选用。 (1)填空:为了充分利用材料,应选用第_种铝板,这是一块铝板最多能剪甲、乙零件共_个,(2)剪下这些零件后,剩余的边角余料的面积是多少平方厘米? (3)画图:选出你要用的铝板,在上面画出剪切线,并把边角余料用阴影表示出来。 十、如图,把边长为2cm的正方形剪成四个完全相同的直角三角形。请用这四个完全相同的直角三角形拼成符合下列要求的图形(全部用上,互不重叠且不留空隙),并把你的拚法仿照题中所给的图按实际大小画出: (1)不是正方形的菱形(一个); (2)不是正方形的矩形(一个); (3)梯形(两个); (4)不是矩形和菱形的平行四边形(一个); (5)不是梯
18、形和平行四边形的凸四边形; 十一、如图,在矩形ABCD中,横向阴影部分是矩形,另一阴影部分是平行四边形,依照图中标注的数据,计算图中空白部分的面积。 答案提示: 一、1、C2、A3、D 4、15(提示:BC=AB =BO ,所以三角形BOC为等腰三角形,利用等腰三角形底角相等,求出BCO,再求DCO) 5、420(提示:地毯的总长度等于楼梯的水平长度和垂直高度的和,所以地毯的面积为(5+2)2=14m2 ,总价为1430=420元)6、60 7、12(提示:由条件知道梯形ABCD的面积等于三角形ABE的面积) 8、14375m2 9、C 二、提示连接一条对角线,由条件知道1=3,又1=2,则可
19、得2=3,则有一组邻边相等的平行四边形是菱形。 三、122平方米(提示:将空白的小方格平移连接成一块互不重叠且不留缝隙的长方形,长为(2-0.17)m,宽为(1-0.14)m,可以求出空白面积,用总面积减去空白面积即可) 四、图形参考如下 解题的规律是要使正方形的中心和圆的中心重合。 五、可以写出ABP是直角三角形或四边形PQMN是矩形等结论。 六、作法(1)将正方形沿一组对边对折,折痕为MN,(2)如图,把B落在折痕MN上,对应点为P,则三角形PBC为等边三角形 七、证1=2,2=3 八、 九、(1)选第二种,4 (2)略解:剩余的边角余料的面积=500300-(100+300)200-(1
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