[数学]导数综合题1.doc
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1、导数综合题1、若函数,。 (1)求函数的单调区间; (2)若对所有的都有成立,求实数的取值范围。 解:(1)的定义域为,设,则。当时,则,在上;当时,(),即时,则,在上;(),即时,有两根,。,即,的图像如图,则时,则,在上,时,则,在上,时,则,在上。综上所述:当时,在上为增函数;当时,在与为增函数,在上为减函数。(2),令,则,又令,则,在,则,故,从而在,则,。2、已知函数,(为常数),若直线与,的图像相切的切点的横坐标为。 (1)求直线的方程及的值; (2)当时,求在上的最大值。解:(1),切点为,故的方程为,联立,由。(2),。当时,由得,显然,故,。令,其草图如图,当时,单调增,
2、当时,单调减,故。3、已知函数,(),且在处取得极值。 (1)求的值和的极小值; (2)规定:一个函数在区间上有意义,且对任意,都有,则称是区间上的凹函数。试依此规定证明是上的凹函数; (3)已知的三个顶点、都在函数的图像上,且横坐标依次成等差数列,求证:是钝角三角形,但不可能是等腰三角形。解:(1)(),由,则(),由或。当变化时,、的变化情况如下表:极大值极小值时,。(2),即,是上的凹函数。(3)恒成立,在上单调递减。设、,且,则。,故为钝角,是钝角三角形。若是等腰三角形,则只可能是,则,整理得,即与是上的凹函数矛盾,故是不可能是等腰三角形。4、定义函数(,)。 (1)求证:; (2)是
3、否存在区间(),使函数在区间上的值域为?若存在,求出最小的值及相应的区间;若不存在,说明理由。解:(1)设,则,当时,;当时,故在,在,即,故。(2),。令,得或。当变化时,的情况如下表:极大值极小值作出的草图如图所示:方法1:下面考察直线与曲线相交的情况。当时,在,则,解得(舍)或(舍)或。,此时,。若,如图,过极小值点作直线与交于另外一点,如果存在满足条件的区间,则只须,解得,令,解得,由,解得,此时。综上,存在,相应区间为。方法2:在时,的最小值为,;在时,的最小值为,;在时,的最小值为,。综上,存在,相应区间为。5、(1)已知函数在上是单调函数,求实数的取值范围。 (2)若函数在单调递
4、增,求实数的取值范围。解:(1),若在,则即在恒成立,则,当时,故。若在,则即在恒成立,则,当时,故。综上所述,或。(2)在时恒成立,故,的取值范围是。6、设函数,。 (1)若在上是增函数,求实数的取值范围; (2)求在上的最大值。解:(1)在时恒成立,而,故。(2)由(1)知,当时,在,此时;当时,令,解得,当时,在,当时,在,则。综上,当时,;当时,。7、(1)已知函数,(,),求函数的最小值; (2)定理:若,均为正数,则成立(其中,为常数)。请你构造一个函数,证明:当,均为正数时,成立。解:(1)令,则,当时,故在,当时,故在,。(2)设,则,令,得。当时,在单调递减,当时,在,由定理
5、知:,故,故,即。8、已知函数。 (1)求函数的最小值; (2)已知,求证:。解:(1),故,在,故。(2)设,则,则,在,当时,故。9、已知函数。 (1)当时,求的单调性; (2)数列,且,求证:,并比较与的大小关系; (3)在(2)的前提下,是否存在正实数,使得对一切恒成立?若存在,求出的取值范围;否则说明理由。解:(1),当时,在。(2),假设,由(1)知,故,因此。,。(3)由(2)知是单调递增的正项数列,又,故只须即恒成立,而,。10、若存在正实数,使不等式成立,求实数的取值范围。解:显然,故只须存在正实数使不等式成立,只须比的最大值小即可。,当时,当时,故,从而,因此。11、已知函
6、数的图像过点,且在点处的切线方程为。 (1)求函数的解析式; (2)求函数的单调区间。解:(1),依题意有,故。(2)或,在与上为增函数,在为减函数。12、设,是函数的两个极值点。 (1)求证:; (2)若,求证:。解:,故,是方程的两个根。(1)。(2)由于,故,由得:,由于,。13、已知定义在上的函数的图像与轴的交点到原点的距离小于等于。 (1)求实数的取值范围; (2)是否存在这样的区间,对任意的的可能取值,函数在该区间上都是单调递增?若存在,求出这样的区间;若不存在,则说明理由。解:(1)函数图像与轴的交点为,则,故。(2),依题意即对任意的恒成立。令,则或,存在区间与对任意的,函数在
7、该区间上都是单调递增。14、已知函数。(1)若函数的图像上任意不同两点连线的斜率都小于,求证:;(2)若时,函数的图像上任意一点的切线的斜率为,试确定的充要条件。解:(1)设、是的图像上任意不同两点,则,即,整理得,即恒成立,又,。(2),。则,的充要条件为。15、已知函数。 (1)函数在区间上是增函数还是减函数?证明你的结论。 (2)若当时,恒成立,求正整数的最大值。解:(1),因此函数在区间上是减函数。(2)方法1:恒成立,即对恒成立。,记(),则,在上单调递增,又,存在唯一实根,则,当时,;当时,。在上单调递减,在上单调递增,因此正整数的最大值为。方法2:对恒成立,则当时,有,又为正整数
8、,的最大值不超过。下面证明当时,对恒成立。即证当时,恒成立。令,则,当时,;当时,。在上单调增,在上单调减,。当时,恒成立,因此正整数的最大值为。16、已知函数,过曲线上一点作曲线的切线交、轴于、两点,为坐标原点。(1)求在时的切线的方程;(2)求面积的最小值记此时点的坐标。 解:(1),则(),当时,的方程为。(2)在()中,令,得,令,得,令,则,由,当时,;当时,。在,在,当即时,取最小值,此时。17、设函数是定义在上的偶函数,与的图像关于直线对称,当时,(为常数)。 (1)求的表达式; (2)当时,求在上取得最大值时,对应的值;猜想在上的单调增区间,并给予证明; (3)当时,是否存在使
9、的图像的最高点落在直线上?若存在,求出的值;若不存在,说明理由。解:(1)与的图像关于直线对称,则当时,当时,而当时,故。(2),时,由。当时,;当时,在,在,在时的最大值时。(3)依题意,时,的最大值为。为偶函数,故只须考虑它在时的情况,由(2)知,当时,在,此时,故存在满足条件。18、从边长为的正方形铁皮的四个角各截一个边长为的正方形,然后折成一个无盖的长方体盒子,要求长方体的高度与底面正方形边长的比不超过正常数。 (1)把铁盒的容积表示为的函数,并指出其定义域; (2)为何值时,容积有最大值。解:(1)长方体的底面边长为,又,。(2),则,令,则或(舍去)。()若,即时,的变化情况如下表
10、:当时,。()若,即时,在上为增函数,当时,取最大值。故时,在处取最大值,时,在处取最大值。19、设函数。 (1)求的单调区间; (2)若时,当时,恒成立,求实数的取值范围。解:(1),令 ()、当,即,又,故时,()恒成立,此时在上为单调增函数。、当,即或,又,故时,()的解集为,在与上为单调增函数,在为单调减函数。(2),在上为单调增函数,则或。20、已知函数(为实常数)。 (1)已知的展开式中的系数为,求常数; (2)已知在内是减函数,求的取值范围; (3)是否存在的值,使在定义域中取任意值时,恒成立?如存在,求出所有的值;如不存在,说明理由。解:(1)的展开式的通项,则。(2)在内是减
11、函数,即在内是减函数,则在上恒成立,即在上恒成立,。(3)当时,在时,不满足,当时,显然也不能恒成立,当时,。21、设函数与数列满足关系:,其中是方程的实数根;的导数。 (1)证明:,; (2)判断与的大小,并证明你的结论。解:(1)证明:,在定义域上为单调增函数,由,则,若,则当时,故,。(2)设,在定义域上为单调减函数,即,。22、已知,在上是单调函数。 (1)求函数的最大值、最小值; (2)设,且,求证:。解:(1),若在上是单调减函数,则,即在上恒成立,这是不可能的。在上是单调增函数,则,即在上恒成立,。而,由,在上单调减,在单调增,无最大值。(2)证明:若,则,由在上是单调增,则,即
12、,与假设矛盾,故不成立;若,则,由在上是单调增,则,即,与假设矛盾,故不成立,综上所述,。23、对于函数,若存在,使成立,则称为的不动点。如果函数有且仅有两个不动点、,且。(1)试求函数的单调区间;(2)已知各项不为零的数列满足,求证:;(3)设,为数列的前项和,求证:。解:(1)设 , , 由,又 ,为偶数,于是。 由得或;由得或, 故函数的单调递增区间为和,单调减区间为和。(2)由已知可得,当时,两式相减得,或。当时,若,则这与矛盾,。于是,待证不等式即为。为此,我们考虑证明不等式,令则,再令,由知,当时,单调递增,于是,即 令,由知,当时,单调递增,于是,即 由、可知。所以,即。(3)由
13、(2)可知,则, 在中令,并将各式相加得 即。24、设函数。 ()求函数的极值点; ()当时,若对任意的,恒有,求的取值范围;()证明:。 解:(1),的定义域为,当时,在上无极值点,当时,令,则,、的变化情况如下表:+0极大值从上表可以看出:当时,有唯一的极大值点 ()当时在处取得极大值,此极大值也是最大值,要使恒成立,只需,的取值范围为。()令,由()知,。, ,结论成立。25、已知函数。(1)若函数的导函数在上是增函数,求实数的最大值;(2)求证:,。解:(1)在上是增函数,故在上恒成立,而,故,实数的最大值为。(2)当时,在上是增函数,在上是增函数,即。故,故。26、已知函数是在上每一
14、点处可导得函数,若在上恒成立。 (1)求证:函数在上单调递增; (2)求证:当,时,有; (3)已知不等式在且时恒成立,求证:()。证明:(1),函数在上单调递增。(2)函数在上单调递增,又,从而,。(3)方法一:由(2)可知:当,时,有,容易用数学归纳法证明:当()时,有()恒成立。取,(,)则(),令,记,由,故,则,即。方法二:设,易证数列是单调递增数列,数列满足,(),。即。27、函数(、)。 (1)若,过两点、的中点作与轴垂直的直线,此直线与函数的图像交于点。求证:函数在点处的切线过点; (2)若(),且当时恒成立,求实数的取值范围。解:(1)显然,而,在点处的切线斜率为,其切线方程
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