[数学]第二章 基本初等函数.doc
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1、数学(必修1) 第二章 基本初等函数 (I) 第二章 基本初等函数()一、教学内容教材把指数函数,对数函数,幂函数当作三种重要的函数模型来学习,强调通过实例和图象的直观,揭示这三种函数模型增长的差异及其关系,体会建立和研究一个函数模型的基本过程和方法,学会运用具体函数模型解决一些实际问题.1. 了解指数函数模型的实际背景.2. 理解有理数指数幂的意义,通过具体实例了解实数指数幂的意义,掌握幂的运算.3. 理解指数函数的概念和意义,掌握f(x)=ax的符号、意义,能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象,探索并理解指数函数的有关性质(单调性、值域、特别点).4. 通过应用实例的教学,体会指数函
2、数是一种重要的函数模型.5. 理解对数的概念及其运算性质,了解对数换底公式及其简单应用,能将一般对数转化为常用对数或自然对数,通过阅读材料,了解对数的发现历史及其对简化运算的作用.6. 通过具体函数,直观了解对数函数模型所刻画的数量关系,初步理解对数函数的概念,掌握f(x)=logax符号及意义,体会对数函数是一类重要的函数模型,能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象,探索并了解对数函数的有关性质(单调性、值域、特殊点).7. 知道指数函数y=ax与对数函数y=logax互为反函数(a0, a1),初步了解反函数的概念和f- -1(x)的意义.8. 通过实例,了解幂函数的概念,结合五种具体
3、函数的图象,了解它们的变化情况 .二、教学内容与课时安排的建议本章教学时间约为15课时.2.1 指数函数: 6课时2.2 对数函数: 6课时2.3 幂函数: 1课时 小结: 2课时21指数函数2.1.1 指数与指数幂的运算(三课时)教学目标:1.理解n次方根、根式、分数指数幂的概念;2.正确运用根式运算性质和有理指数幂的运算性质;3.培养学生认识、接受新事物和用联系观点看问题的能力。教学重点:根式的概念、分数指数幂的概念和运算性质教学难点:根式概念和分数指数幂概念的理解教学方法:学导式教学过程: 第一课时:(I)复习回顾 引例:填空(1); a0=1(a; (2) (m,nZ); (m,nZ)
4、; (nZ)(3); -;(4); (II)讲授新课1.引入:(1)填空(1),(2)复习了整数指数幂的概念和运算性质(其中:因为可看作,所以可以归入性质;又因为可看作,所以可以归入性质(nZ)),这是为下面学习分数指数幂的概念和性质做准备。为了学习分数指数幂,先要学习n次根式()的概念。(2)填空(3),(4)复习了平方根、立方根这两个概念。如:22=4 ,(-2)2=4 2,-2叫4的平方根23=8 2叫8的立方根; (-2)3=-8-2叫-8的立方根25=32 2叫32的5次方根 2n=a 2叫a的n次方根分析:若22=4,则2叫4的平方根;若23=8,2叫做8的立方根;若25=32,则
5、2叫做32的5次方根,类似地,若2n=a,则2叫a的n次方根。由此,可有:2.n次方根的定义:(板书)一般地,如果,那么x叫做a的n次方根( th root),其中,且。 问题1:n次方根的定义给出了,x如何用a表示呢?是否正确?分析过程:例1根据n次方根的概念,分别求出27的3次方根,-32的5次方根,a6的3次方根。(要求完整地叙述求解过程)解:因为33=27,所以3是27的3次方根;因为=-32,所以-2是-32的5次方根;因为,所以a2是a6的3次方根。结论1:当n为奇数时(跟立方根一样),有下列性质:正数的n次方根是正数,负数的n次方根是负数,任何一个数的方根都是唯一的。此时,a的n
6、次方根可表示为。从而有:,例2根据n次方根的概念,分别求出16的4次方根,-81的4次方根。解:因为,所以2和-2是16的4次方根;因为任何实数的4次方都是非负数,不会等于-81,所以-81没有4次方根。结论2:当n为偶数时(跟平方根一样),有下列性质:正数的n次方根有两个且互为相反数,负数没有n次方根。此时正数a的n次方根可表示为:其中表示a的正的n次方根,表示a的负的n次方根。例3根据n次方根的概念,分别求出0的3次方根,0的4次方根。解:因为不论n为奇数,还是偶数,都有0n=0,所以0的3次方根,0的4次方根均为0。结论3:0的n次方根是0,记作当a=0时也有意义。这样,可在实数范围内,
7、得到n次方根的性质:3.n次方根的性质:(板书) 其中 叫根式,n叫根指数,a叫被开方数。注意:根式是n次方根的一种表示形式,并且,由n次方根的定义,可得到根式的运算性质。4.根式运算性质:(板书),即一个数先开方,再乘方(同次),结果仍为被开方数。问题2:若对一个数先乘方,再开方(同次),结果又是什么?例4:求 , , , 由所得结果,可有:(板书)性质的推导如下:性质推导过程:当n为奇数时,当n为偶数时,综上所述,可知:性质推导过程: 当n为奇数时,由n次方根定义得:当n为偶数时,由n次方根定义得:则综上所述:注意:性质有一定变化,大家应重点掌握。例题讲解例1求下列各式的值: (4)(ab
8、)注意:根指数n为奇数的题目较易处理,要侧重于根指数n为偶数的运算。(III)课堂练习:求下列各式的值(1) (2) (3) (4)(IV)课时小结通过本节学习,大家要能在理解根式概念的基础上,正确运用根式的运算性质解题。(V)课后作业1、书面作业:a.求下列各式的值 b.书P59习题2.1 A组题第1题。2、预习作业:a.预习内容:课本P50P53。b.预习提纲:(1)根式与分数指数幂有何关系?(2)整数指数幂运算性质推广后有何变化?第二课时:(I)复习回顾1.填空(1) (2);(3) (4)(5); (6)(II)讲授新课分析:对于“填空”中的第四题,既可根据n次方根的概念来解:;也可根
9、据n次方根的性质来解:。问题1:观察,结果的指数与被开方数的指数,根指数有什么关系?,即:当根式的被开方数的指数能被根指数整除时,根式可以写成分数指数幂的形式。问题2:当根式的被开方数的指数不能被根指数整除时,根式是否可以写成分数指数幂的形式?如:是否可行?分析:假设幂的运算性质对于分数指数幂也适用,那么,这说明也是的3次方根,而也是a2的3次方根(由于这里n=3,a2的3次方根唯一),于是。这说明可行。由此可有:1.正数的正分数指数幂的意义:)注意两点:一是分数指数幂是根式的另一种表示形式;二是要注意被开方数an的幂指数n与根式的根指数n的一致性。根式与分数指数幂可以进行互化。问题3:在上述
10、定义中,若没有“a0”这个限制,行不行?分析:正例:等等;反例:;又如:。这样就产生了混乱,因此“a0”这个限制不可少。至于,这是正确的,但此时不能理解为分数指数幂,不能代表有理数(因为不能改写为),这只表示一种上标。而,那是因为,负号内部消化了。问题4:如何定义正数的负分数指数幂和0的分数指数幂?分析:正数的负分数指数幂的定义与负整数指数幂的意义相仿;0的分数指数幂与0的非0整数幂的意义相仿。2.负分数指数幂:3.0的分数指数幂:(板书)0的正分数指数幂为0,0的负分数指数幂无意义(为什么?)。说明:(1)分数指数幂的意义只是一种规定,前面所举的例子只表示这种规定的合理性;(2)规定了分数指
11、数幂的意义以后,指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数;(3)可以验证整数指数幂的运算性质,对于有理数幂也同样适用,即(板书); (4) 根式与分数指数幂可以进行互化:分式指数幂可以直接化成根式计算,也可利用来计算;反过来,根式也可化成分数指数幂来计算。(5)同样可规定 ap表示一个确定的实数; 上述有理指数幂的运算性质,对于无理数指数幂都适用,有关念和证明从略; 指数概念可以扩充到实数指数(为下一小节学习指数函数作铺垫)。(III)例题讲解例2求值:分析:此题主要运用有理指数幂的运算性质。解:例3用分数指数幂的形式表示下列各式:分析:此题应结合分数指数幂意义与有理指数幂运算性质。解:(IV
12、)课堂练习课本P54练习:1、2、3(V)课时小结通过本节学习,要求大家理解分数指数幂的意义,掌握分数指数幂与根式的互化,熟练运用有理指数幂的运算性质。()课后作业1、书面作业:课本P59习题2.1A组题第2.(2)(3) 4.(7)(8)2、预习作业(1)预习内容:课本P52例题5。(2)预习提纲:a.根式的运算如何进行?b.利用有理指数幂运算性质进行化简、求值,有哪些常用技巧? 第三课时教学目标1.掌握根式与分数指数幂的互化;2.熟练运用有理指数幂运算性质进行化简、求值;3.培养学生的数学应用意识。教学重点:有理指数幂运算性质运用。教学难点:化简、求值的技巧教学方法:启发引导式教学过程 (
13、I)复习回顾1.分数指数幂的概念,以及有理指数幂的运算性质分数指数幂概念 有理指数幂运算性质 ; 2.用分数指数幂表示下列各式(a0,x0) (II)讲授新课例1计算下列各式(式中字母都是正数) 分析:(1)题可以仿照单项式乘除法进行,首先是系数相乘除,然后是同底数幂相乘除,并且要注意符号。(2)题先按积的乘方计算,后按幂的乘方计算,等熟练后可简化计算步骤。对于计算的结果不强求统一用什么形式来表示,没有特别要求,就用分数指数幂的形式表示。如果有特殊要求,可根据要求给出结果,但: 结果不能同时含有根式和分数指数;不能同时含有分母和负指数; 根式需化成最简根式。 例2计算下列各式: 分析:(1)题
14、把根式化成分数指数幂的形式,再计算。(2)题先把根式化成分数指数幂的最简形式,然后计算。解:例3求值:分析:(1)题需把各项被开方数变为完全平方形式,然后再利用根式运算性质;解:要求:例3学生先练习,后讲评,讲评时需向学生强调求值过程中的变形技巧。(III)课堂练习计算下列各式:要求:学生板演练习,做完后再讲评。(IV)课时小结通过本节学习,要求大家能够熟练运用有理数幂运算性质进行化简、求值,并掌握一定的解题技巧,如凑完全平方、寻求同底幂等方法。(V)课后作业完成P59 习题2.1 A 组和B组2.1.2 指数函数及其性质(第一课时)教学目标:1、理解指数函数的概念 2、根据图象分析指数函数的
15、性质 3、应用指数函数的单调性比较幂的大小教学重点:指数函数的图象和性质教学难点:底数a对函数值变化的影响教学方法:探究法 教学过程:()复习:(提问)引例1:某种细胞分裂时,由1个分裂成2个,2个分裂成4个1个这样的细胞分裂次后,得到的细胞个数与的函数关系式是:这个函数便是我们将要研究的指数函数,其中自变量作为指数,而底数2是一个大于0且不等于1的常量。 ()新课讲解:1指数函数定义:一般地,函数(且)叫做指数函数,其中是自变量,函数定义域是说明:定义域为什么是实数集? 因为在a0前提下,x可以取任意实数。 在函数解析式中为什么要规定a0,a1 ? 因为 练习:判断下列函数是否为指数函数。
16、(且) 指数函数有 注:判断一个函数是否是一个指数函数一是看底数是否是一个大于零的常数;二是看自变量是否是一个x且在指数位置上;的系数要为1. .2.指数函数(且)的图象:例1画的图象(图(1)解:列出的对应表,用描点法画出图象-3-2-1.5-1-0.500.511.5230.130.250.350.50.7111.422.848图(1) 例2画的图象(图(1)-3-2-1.5-1-0.500.511.523842.821.410.710.50.350.250.13指出函数与图象间的关系?说明:一般地, 函数与的图象关于轴对称。3指数函数在底数及这两种情况下的图象和性质: 图象性质(1)定义
17、域:(2)值域:(3)过点,即时(4)在上是增函数(4)在上是减函数 例3已知指数函数的图象经过点,求的值(教材第56页例6)。 例4比较下列各题中两个值的大小: ; (教材第57页例7)()小结:学习了指数函数的概念及图象和性质;()练习:教材第58页练习1、3题。()作业:教材第59页习题2。1A组题 第5、7、8题 2.1.2 指数函数及其性质(第二课时)教学目标:1.熟练掌握指数函数概念、图象、性质;2.能求由指数函数复合而成的函数定义域、值域;3.掌握比较同底数幂大小的方法;4. 培养学生数学应用意识。教学重点:指数函数性质的运用教学难点:指数函数性质的运用教学方法:学导式教学过程:
18、()复习:(提问)1指数函数的概念、图象、性质2练习:(1)说明函数图象与函数图象的关系;(2)将函数图象的左移2个单位,再下移1个单位所得函数的解析式是 ;(3)画出函数的草图。 ()新课讲解:例1(P57例8)截止到1999年底,我们人口哟13亿,如果今后,能将人口年平均均增长率控制在1%,那么经过20年后,我国人口数最多为多少(精确到亿)?分析:可以先考试一年一年增长的情况,再从中发现规律,最后解决问题:1999年底 人口约为13亿经过1年 人口约为13(1+1%)亿经过2年 人口约为13(1+1%)(1+1%)=13(1+1%)2亿经过3年 人口约为13(1+1%)2(1+1%)=13
19、(1+1%)3亿经过年 人口约为13(1+1%)亿经过20年 人口约为13(1+1%)20亿解:设今后人口年平均增长率为1%,经过年后,我国人口数为亿,则当=20时,答:经过20年后,我国人口数最多为16亿.小结:类似上面此题,设原值为N,平均增长率为P,则对于经过时间后总量,0且1)的函数称为指数型函数 .思考:P58探究:(1)如果人口年均增长率提高1个平分点,利用计算器分别计算20年后,33年后的我、国人口数 .(2)如果年平均增长率保持在2%,利用计算器20202100年,每隔5年相应的人口数 .(3)你看到我国人口数的增长呈现什么趋势?(4)如何看待计划生育政策?例2 说明下列函数的
20、图象与指数函数的图象的关系,并画出它们的示意图:(1); (2)解:(1)比较函数与的关系:与相等, 与相等,与相等 , 由此可以知道,将指数函数的图象向左平移1个单位长度,就得到函数的图象。(2)比较函数与的关系:与相等, 与相等,与相等 , 由此可以知道,将指数函数的图象向右平移2个单位长度,就得到函数的图象。说明:一般地,当时,将函数的图象向左平移个单位得到的图象;当时,将函数的图象向右平移个单位,得到的图象。练习:说出下列函数图象之间的关系:(1)与; (2)与;(3)与例3求下列函数的定义域、值域:(1) (2) (3) (4)解:(1) 原函数的定义域是, 令 则 得,所以,原函数
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