[数学]课前准备之数列.doc
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1、1. 数列的一般概念(一) 数列的定义:按一定次序排列的一列数叫做数列.注意:数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么它们就是不同的数列;定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. 数列的项:数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项(或首项),第2项,第n 项,.数列的一般形式:,或简记为,其中是数列的第n项 数列的通项公式:如果数列的第n项与n之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.5数列的图像都是一群孤立的点.6数列有三种表示形式:列举法,通项公式法和图象法.7 有穷
2、数列:项数有限的数列.例如,数列是有穷数列.8 无穷数列:项数无限的数列.例1 根据下面数列的通项公式,写出前5项:(1)分析:由通项公式定义可知,只要将通项公式中n依次取1,2,3,4,5,即可得到数列的前5项解:(1) (2) 例2写出下面数列的一个通项公式,使它的前4项分别是下列各数:(1)1,3,5,7; (2)(3)-,-,. 解:(1)项1=21-1 3=22-1 5=23-1 7=24-1 序号 1 2 3 4即这个数列的前4项都是序号的2倍减去1,它的一个通项公式是: ;(2)序号:1 2 3 4 项分母:2=1+1 3=2+1 4=3+1 5=4+1 项分子: 22-1 32
3、-1 42-1 52-1即这个数列的前4项的分母都是序号加上1,分子都是分母的平方减去1,它的一个通项公式是: ; (3)序号 这个数列的前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数,且奇数项为负,偶数项为正,所以它的一个通项公式是: 2.数列的概念(二) 知识都来源于实践,最后还要应用于生活用其来解决一些实际问题 观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型 模型一:自上而下: 第1层钢管数为4;即:141+3 第2层钢管数为5;即:252+3 第3层钢管数为6;即:363+3 第4层钢管数为7;即:474+3 第5层钢管数为8;即:585+3 第6层钢管数为9;即:696+3 第7层钢管数为
4、10;即:7107+3若用表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且n7)运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立了数列模型,运用这一关系,会很快捷地求出每一层的钢管数这会给我们的统计与计算带来很多方便模型二:上下层之间的关系自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1即;依此类推:(2n7)对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项,看来,这一关系也较为重要定义:1递推公式:如果已知数列的第1项(或前几项),且任一项与它的前一项(或前n项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公 式就叫做这个数列的递推公式说明:递推公式也是给出数列的一种方法如下数字排列的一个数列:3,
5、5,8,13,21,34,55,89递推公式为:2数列的前n项和:数列中,称为数列的前n项和,记为. 表示前1项之和:= 表示前2项之和:=表示前n-1项之和:=表示前n项之和:=.当n1时才有意义;当n-11即n2时才有意义.3与之间的关系:由的定义可知,当n=1时,=;当n2时,=-,即=.说明:数列的前n项和公式也是给出数列的一种方法.三、例题讲解例1已知数列的第1项是1,以后的各项由公式给出,写出这个数列的前5项分析:题中已给出的第1项即,递推公式:解:据题意可知: 例2已知数列中,3),试写出数列的前4项解:由已知得 例3已知, 写出前5项,并猜想 法一: ,观察可得 法二:由 即
6、例4 已知数列的前n项和,求数列的通项公式: =n+2n; =n-2n-1.解:当n2时,=-=(n+2n)-(n-1)+2(n-1)=2n+1;当n=1时,=1+21=3;经检验,当n=1时,2n+1=21+1=3,=2n+1为所求.当n2时,=-=(n-2n-1)-(n-1)+2(n-1)-1=2n-3;当n=1时,=1-21-1=-2;经检验,当n=1时,2n-3=21-3=-1-2,=为所求.四、练习:1根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项,并归纳出通项公式(1) 0, (2n1) (nN);(2) 1, (nN);(3) 3, 32 (nN). 解:(1) 0, 1, 4,
7、9, 16, (n1);(2) 1, , , ;(3) 31+2, 71+2, 191+2, 551+2, 1631+2, 123; 2 已知下列各数列的前n项和的公式,求的通项公式(1) 2n3n; (2) 2. 解:(1) 1, =-2n3n2(n1)3(n1)4n5, 又符合415, 4n5;(2) 1, =-2(2)2, 六、课后作业:1根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前五项=1, =+(n2)解:由=1, =+(n2),得=1, =+=2, =+,=+,=+2已知=an+bn+c,求数列的通项公式答案:=3.等差数列的性质1等差数列:一般地,如果一个数列从第二项起,每一项与它前
8、一项的差等于同一个常数,即=d ,(n2,nN),这个数列就叫做等差数列,这个常数就叫做等差数列的公差(常用字母“d”表示) 2等差数列的通项公式: (或=pn+q (p、q是常数)或等差数列定义是由一数列相邻两项之间关系而得若一等差数列的首项是,公差是d,则据其定义可得:即:即:即:由此归纳等差数列的通项公式可得:已知一数列为等差数列,则只要知其首项和公差d,便可求得其通项如数列1,2,3,4,5,6; (1n6)数列10,8,6,4,2,; (n1)数列 (n1)由上述关系还可得:即:则:=即的第二通项公式 d=如:注:若p=0,则是公差为0的等差数列,即为常数列q,q,q,若p0, 则是
9、关于n的一次式,从图象上看,表示数列的各点均在一次函数y=px+q的图象上,一次项的系数是公差,直线在y轴上的截距为q.数列为等差数列的充要条件是其通项=pn+q (p、q是常数)称其为第3通项公式判断数列是否是等差数列的方法是否满足3个通项公式中的一个3有几种方法可以计算公差d d= d= d=例1在等差数列中,若+=9, =7, 求 , .分析:要求一个数列的某项,通常情况下是先求其通项公式,而要求通项公式,必须知道这个数列中的至少一项和公差,或者知道这个数列的任意两项(知道任意两项就知道公差),本题中,只已知一项,和另一个双项关系式,想到从这双项关系式入手解: an 是等差数列 +=+
10、=9=9=97=2 d=72=5 =+(94)d=7+5*5=32 =2, =32例2 等差数列中,+=12, 且 =80. 求通项 分析:要求通项,仍然是先求公差和其中至少一项的问题而已知两个条件均是三项复合关系式,欲求某项必须消元(项)或再弄一个等式出来解:+=2 =10, =2 或 =2, =10 d= d=3或3 =10+3 (n1) = 3n 13 或 =2 3 (n1) = 3n+5例3在等差数列中, 已知450, 求及前9项和. 解:由等差中项公式:2, 2由条件450, 得5450, 90, 2180. ()()()()9810.例4已知a、b、c的倒数成等差数列,求证:, 的
11、倒数也成等差数列分析:给定的是三个数的倒数成等差数列故应充分利用三个数x、y、z成等差数列的充要条件:x+y=2z 证明:因为a、b、c的倒数成等差数列 ,即2ac=b(a+c) 又+=-2=-2=-2=-2=-2=-2=所以,的倒数也成等差数列例5梯子最高一级宽33cm,最低一级宽为110cm,中间还有10级,各级的宽度成等差数列,计算中间各级的宽度解:设表示梯子自上而上各级宽度所成的等差数列,由已知条件,可知:=33, =110,n=12,即10=33+11 解得: 因此,答:梯子中间各级的宽度从上到下依次是40cm,47cm,54cm,61cm,68cm,75cm,82cm,89cm,9
12、6cm,103cm.例6 已知数列的通项公式,其中、是常数,那么这个数列是否一定是等差数列?若是,首项与公差分别是什么? 分析:由等差数列的定义,要判定是不是等差数列,只要看(n2)是不是一个与n无关的常数解:当n2时, (取数列中的任意相邻两项与(n2)为常数是等差数列,首项,公差为p四、练习:1.在等差数列中若 , 求 解: 6+6=11+1 7+7=12+2 +2 =2- =280-30=130 六、课后作业:1.在等差数列中,为公差,若且求证:1 2 证明:1设首项为, 2 2.成等差数列的四个数之和为26,第二数和第三数之积为40,求这四个数 解:设四个数为 则: 由: 代入得: 四
13、个数为2,5,8,11或11,8,5,23.在等差数列中,若 求 解: 4. 等差数列的前n项和(一) “小故事”:高斯是伟大的数学家,天文学家,高斯十岁时,有一次老师出了一道题目,老师说: “现在给大家出道题目:1+2+100=?”过了两分钟,正当大家在:1+2=3;3+3=6;4+6=10算得不亦乐乎时,高斯站起来回答说:“1+2+3+100=5050教师问:“你是如何算出答案的?高斯回答说:因为1+100=101;2+99=101;50+51=101,所以10150=5050” 这个故事告诉我们:(1)作为数学王子的高斯从小就善于观察,敢于思考,所以他能从一些简单的事物中发现和寻找出某些
14、规律性的东西(2)该故事还告诉我们求等差数列前n项和的一种很重要的思想方法,这就是下面我们要介绍的“倒序相加”法1等差数列的前项和公式1:证明: +: 由此得: 从而我们可以验证高斯十岁时计算上述问题的正确性 2 等差数列的前项和公式2: 用上述公式要求必须具备三个条件: 但 代入公式1即得: 此公式要求必须已知三个条件: (有时比较有用)总之:两个公式都表明要求必须已知中三个公式二又可化成式子:,当d0,是一个常数项为零的二次式例1 一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔,往上每一层都比它下面一层多放一支,最上面一层放120支,这个V形架上共放着多少支铅笔?解:由题意可知,这个V形架上共放
15、着120层铅笔,且自下而上各层的铅笔成等差数列,记为,其中,根据等差数列前n项和的公式,得答:V形架上共放着7260支铅笔例2 等差数列-10,-6,-2,2,前多少项的和是54?解:设题中的等差数列为,前n项为则 由公式可得解之得:(舍去)等差数列-10,-6,-2,2前9项的和是54例3 .已知等差数列中=13且=,那么n取何值时,取最大值.解法1:设公差为d,由=得:313+32d/2=1113+1110d/2d= -2, =13-2(n-1), =15-2n,由即得:6.5n7.5,所以n=7时,取最大值.解法2:由解1得d= -2,又a1=13所以 = - n+14 n = -(n-
16、7)+49当n=7,取最大值对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(1) 利用:当0,d0,前n项和有最大值可由0,且0,求得n的值当0,前n项和有最小值可由0,且0,求得n的值(2) 利用:由利用二次函数配方法求得最值时n的值练习:1求集合的元素个数,并求这些元素的和 解:由得 正整数共有14个即中共有14个元素 即:7,14,21,98 是 答:略 2. 已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220, 求其前项和的公式. 解:由题设: 得: 六、课后作业:已知等差数列的前项和为,前项和为,求前项和解:由题设 而5.等差数列的前n项和(二)1.等差数列的前项和公式1: 2.
17、等差数列的前项和公式2: 3.,当d0,是一个常数项为零的二次式4.对等差数列前项和的最值问题有两种方法:(3) 利用:当0,d0,前n项和有最大值可由0,且0,求得n的值当0,前n项和有最小值可由0,且0,求得n的值(4) 利用:由二次函数配方法求得最值时n的值例1 .求集合M=m|m=2n1,nN*,且m60的元素个数及这些元素的和.解:由2n160,得n,又nN*满足不等式n的正整数一共有30个.即 集合M中一共有30个元素,可列为:1,3,5,7,9,59,组成一个以=1, =59,n=30的等差数列.=,=900.答案:集合M中一共有30个元素,其和为900.例2.在小于100的正整
18、数中共有多少个数能被3除余2,并求这些数的和分析:满足条件的数属于集合,M=m|m=3n+2,m100,mN*解:分析题意可得满足条件的数属于集合,M=m|m=3n+2,m100,nN*由3n+2100,得n32,且mN*,n可取0,1,2,3,32.即 在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2.把这些数从小到大排列出来就是:2,5,8,98.它们可组成一个以=2,d=3, =98,n=33的等差数列.由=,得=1650.答:在小于100的正整数中共有33个数能被3除余2,这些数的和是1650.例3已知数列是等差数列,是其前n项和,求证:,-,-成等差数列;设 ()成等差数列证明:设首项
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