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1、椭圆及其标准方程教案【学习障碍】1理解障碍(1)求椭圆标准方程可采取“先定位,后定量”的方法,如何定位是关键(2)对于直线和椭圆的位置关系,可用一元二次方程的来判定,其理论根据是交点个数,这一点应理解准确(3)直线和椭圆相交时,常常借助韦达定理解决弦长问题应深刻理解弦长公式的推导过程及各字母含义(4)给出椭圆标准方程,其焦点是在x轴还是在y轴,怎样判别,其理论依据是什么(5)理解椭圆两种形式的标准方程的统一形式,应理解为什么可以这样设2解题障碍(1)确定一个椭圆的标准方程,必须要有一个定位条件(如焦点的位置)和两个定形条件(如a、b),a、b是椭圆的定形条件,焦点是椭圆的定位条件(2)点(x0
2、,y0)在椭圆内1;点(x0,y0)在椭圆上 1;点(x0,y0)在椭圆外1(3)椭圆定义是解题的常用工具,但如何转化为定义,如何应用定义需要有明确的思维方向【学习策略】1坐标法解析几何的最大特点就是通过建立平面直角坐标系,把一个难以解决的平面问题转化为代数问题,通过坐标和计算得出结论坐标系建的好坏,直接影响到解题过程的繁简以及结果的好坏通常建立平面直角坐标系时,可利用图形的对称性,或利用图形中的垂直关系,或使尽量多的点落在坐标轴上2求椭圆方程一般采取“先定位,后定量”的方法所谓定位,就是研究一下此椭圆是不是标准形式的椭圆,其焦点到底是在x轴上还是在y轴上;所谓定量就是求出椭圆的a、b、c,从
3、而写出椭圆方程3定义是解决椭圆问题的常用工具,如果题目的条件能转化为动点到两定点距离和为常数的问题可考虑能否利用椭圆定义;或者牵扯到椭圆上的点到焦点的距离,也可考虑椭圆定义4研究直线与椭圆的位置关系,或者利用弦长公式计算弦长事先都要先把直线方程和椭圆方程联立,消去y(或x)得x(或y)的一元二次方程,再利用其或韦达定理进行5直线与椭圆相交,如果涉及到中点及直线的斜率可考虑平方差法6Ax2By2C(其中A、B、C为同号且不为零的常数,AB),它包含焦点在x轴或y轴上两种情形方程可变形为1当时,椭圆的焦点在x轴上;当时,椭圆的焦点在y轴上【例题分析】例1求适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)两个焦
4、点的坐标分别是(4,0),(4,0),椭圆上一点P到两焦点的距离的和等于10;(2)两个焦点的坐标分别是(0,2),(0,2),并且椭圆经过点(,);(3)焦点在坐标轴上,且经过点A(,2)和B(2,1)策略:根据题意,先判断椭圆的焦点位置,后设椭圆的标准方程,求出椭圆中的a、b即可若判断不出焦点在哪个轴上,可采用标准方程的统一形式解:(1)因为椭圆的焦点在x轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)2a10,2c8,a5,c4b2a2c252429所以所求的椭圆的标准方程为1(2)因为椭圆的焦点在y轴上,所以设它的标准方程为1(ab0)由椭圆的定义知,2a又c2,b2a2c21046所以所求的椭
5、圆的标准方程为1(3)解法一:若焦点在x轴上,设所求椭圆方程为1(ab0)由A(,2)和B(2,1)两点在椭圆上可得:解之得若焦点在y轴上,设所求椭圆方程为1(ab0),同上可解得,不合题意,舍去故所求的椭圆方程为1解法二:设所求椭圆方程为mx2ny21,(m0,n0且mn)由A(,2)和B(2,1)两点在椭圆上可得即,解得故所求的椭圆方程为1评注:(1)求椭圆的标准方程时,首先应明确椭圆的焦点位置,再用待定系数法求a、b(2)第(3)小题中的椭圆是存在且惟一的,为计算简便,可设其方程为mx2ny21(m0,n0),不必考虑焦点位置,直接可求得方程想一想,为什么?例2已知B、C是两个定点,|B
6、C|6,且ABC的周长等于16,求顶点A的轨迹方程策略:在解析几何里,求符合某种条件的点的轨迹方程,要建立适当的坐标系为选择适当的坐标系,常常需要画出草图如图811所示,由ABC的周长等于16,|BC|6可知,点A到B、C两点的距离的和是常数,即|AB|AC|16610,因此,点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,据此可建立坐标系并画出草图解:如图811所示,建立坐标系,使x轴经过点B、,原点与BC的中点重合由已知|AB|AC|BC|16,|BC|6,有|AB|AC|10,即点A的轨迹是以B、C为焦点的椭圆,且2c6,2a10,c3,a5,b2523216由于点A在直线BC上时,即y0时,A、B、
7、C三点不能构成三角形,所以点A的轨迹方程是1(y0)评注:椭圆的定义在解题中有着广泛的应用另外,求出曲线的方程后,要检查一下方程的曲线上的点是否都符合题意,如果有不符合题意的点,应在方程后注明,常用限制条件来注明例3一动圆与已知圆O1:(x3)2y21外切,与圆O2:(x3)2y281内切,试求动圆圆心的轨迹方程策略:两圆相切时,圆心之间的距离与两圆的半径有关,可以找到动圆圆心满足的条件解:两定圆的圆心和半径分别为O1(3,0),r11;O2(3,0),r29设动圆圆心为M(x,y),半径为R,则由题设条件可得|MO1|1R,|MO2|9R|MO1|MO2|10由椭圆的定义知:M在以O1、O2
8、为焦点的椭圆上,且a5,c3b2a2c225916故动圆圆心的轨迹方程为1评注:正确地利用两圆内切、外切的条件,合理地消去变量R,运用椭圆定义是解决本题的关键,这种求轨迹方程的方法叫做定义法例4已知P是椭圆1上的一点,F1、F2是两个焦点,且F1PF230,求PF1F2的面积策略:如图812所示,已知P30,要求PF1F2的面积,如用|F1F2|yP|,因为求P点坐标较繁,所以用S|PF1|PF2|sin30较好,为此必须先求出|PF1|PF2|,从结构形式可看出用余弦定理可得出夹30角的两边的乘积解:由方程1,得a5,b4,c3,|F1F2|2c6|PF1|PF2|2a10F1PF230在F
9、1PF2中,由余弦定理得|F1F2|2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos30即62|PF1|22|PF1|PF2|PF2|22|PF1|PF2|PF1|PF2|(2)|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)2361003664,|PF1|PF2|64(2)|PF1|PF2|sin3064(2)16(2)评注:在解答解析几何的习题中要善于根据曲线和图形的性质,用平面几何的知识加以解答,本题用余弦定理和椭圆的定义,从而简化了运算,达到化繁为简的目的例5椭圆ax2by21与直线xy1相交于P、Q两点,若|PQ|2且PQ的中点C与椭圆中心连线的斜率为,求椭圆方程策略:该题是求椭圆方程,
10、即利用题设中的两个独立条件,求出a、b之值即可解:由得(ab)x22bxb10设P(x1,y1),Q(x2,y2),则x1x2,x1x2|PQ|ab 又PQ的中点C(,1),即C(,)kOC 由得a,b所求椭圆方程为1评注:本题是一个小型综合题,此类问题一般先将两个独立的条件都用待定系数a,b表示出来,再联立解方程组,可得所求椭圆方程例6中心在原点的椭圆C的一个焦点是F(0,),又这个椭圆被直线l:y3x2截得的弦的中点的横坐标是,求该椭圆方程策略:本题中涉及到弦的中点及弦所在直线的斜率,故可采用“平方差法”解:据题意,此椭圆为焦点在y轴上的标准形式的椭圆,设其方程为1(ab0)设直线l与椭圆
11、C的交点分别为A(x1,y1),B(x2,y2),则有:1,两式相减得:0即3 a23b2 又因为椭圆焦点为F(0,) c则a2b250 由解得:a275,b225该椭圆方程为1评注:此题也可以把直线方程与椭圆方程联立后,得到x的一元二次方程,利用x1x21来求,但过程较繁,利用平方差法简便易行【同步达纲练习】1如果方程x2ky22表示焦点在y轴上的椭圆,那么实数k的取值范围是A(0,) B(0,2) C(1,) D(0,1)2已知椭圆1,F1、F2分别为它的两焦点,过F1的焦点弦CD与x轴成角(0),则F2CD的周长为A10 B12 C20 D不能确定3椭圆1的一个焦点为F1,点P在椭圆上,
12、如果线段PF1的中点M在y轴上,那么点M的纵坐标是A B C D4设椭圆1的两焦点分别是F1和F2,P为椭圆上一点,并且PF1PF2,则|PF1|PF2|等于A6 B2 C D5直线yx与椭圆y21相交于A、B两点,则|AB|等于A2 B C D6点P是椭圆1上一点,F1、F2是其焦点,且F1PF260,则F1PF2的面积为_7ABC的两顶点B(8,0),C(8,0),AC边上的中线BM与AB边上的中线CN的长度之和为30,则顶点A的轨迹方程为_8F1、F2为定点,|F1F2|6,动点M满足|MF1|MF2|6,则M点的轨迹是_9以两坐标轴为对称轴的椭圆过点P(,4)和Q(,3),则此椭圆的方
13、程是_10在椭圆1内,过点(2,1)且被这点平分的弦所在的直线方程是_11ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,6),另两边AB、AC的斜率的乘积是,求顶点A的轨迹方程12在面积为1的PMN中,tanM,tanN2,建立适当的坐标系,求出以M、N为焦点并且过点P的椭圆方程参考答案【同步达纲练习】1解析:将方程x2ky22化为椭圆的标准方程为1,又焦点在y轴上,2,解之得0k0,n0,mn)把P(,4),Q(,3)代入得解得m1,n,故椭圆方程为x21答案:x2110解析:设弦的两端点分别为A(x1,y1)、B(x2,y2),则有1,1两式相减得即弦所在直线的斜率为,又弦过(2,1)点
14、,故弦所在直线的方程是x2y40答案:x2y4011解:设顶点A的坐标为(x,y),由题意得:顶点A的轨迹方程为: 1(y6)12解:以直线MN为x轴,以线段MN的中垂线为y轴建立平面直角坐标系,如图24所示设所求椭圆方程为1(ab0),分别记M、N、P点的坐标为(c,0)、(c,0)和(x0,y0)tantan(N)2由题设知解得即P在MNP中,|MN|2c,MN上的高为,SMNP1,解得c即P(),由此得|PM|,|PN|a (|PM|PN|),从而b2a2c23故所求的椭圆方程为1椭圆的简单几何性质学习目标:1 掌握椭圆的范围、对称性、顶点、离心率、理解a,b,c,e的几何意义2 通过对
15、椭圆标准方程的讨论,理解在解析几何中是怎样用代数方法研究几何问题的。3 初步利用椭圆的几何性质解决问题。学习重点:椭圆的几何性质学习难点:椭圆的几何性质的探讨以及a,b,c,e的关系思想方法:数形结合的方法、分类讨论的思想一 、复习1 、椭圆的定义2 、椭圆的标准方程 焦点在x轴上时:,焦点在y轴上时:3、椭圆中a,b,c的关系是二 、新授课探究一 观察椭圆的形状,你能从图形上看出它的范围吗?它具有怎样的对称性?椭圆上哪些点比较特殊?1 、范围 : (1)从图形上看,椭圆上点的横坐标的范围是。 椭圆上点的纵坐标的范围是。(2)由椭圆的标准方程知 1,即 ; 1;即 因此位于直线和围成的矩形里。
16、2 、对称性 (1)从图形上看,椭圆关于,对称 (2)在椭圆的标准方程中 把x换成-x方程不变,说明图像关于轴对称把y换成-y方程不变,说明图像关于轴对称把x换成-x,同时把y换成-y方程不变,说明图形关于对称,因此是椭圆的对称轴,是椭圆的对称中心,椭圆的对称中心叫做3 、顶点 (1)椭圆的顶点: 椭圆与对称轴有个交点,分别为: ( , ) ( , ) ( , ) ( , ) (2)线段叫做椭圆的,其长度为 线段叫做椭圆的,其长度为 a和b分别叫做椭圆的和及时反馈:(1) 椭圆的长轴长是:短轴长是;焦距是:焦点坐标是:顶点坐标是:(2) 在下列方程表示的曲线中,关于x, y轴都对称的是 ( )
17、A B C D 探究二 圆的形状都是相同的,而椭圆却有些比较“扁”,有些比较接近于圆,用什么样的量来刻画椭圆的“扁平”程度呢?4 、椭圆的离心率 (1)定义: 叫做椭圆的离心率,用表示,即 (2)由于ac0,所以离心率e的取值范围是 (3)若e越接近1,则c越接近a,从而越,因而椭圆越.若e越接近0,则c越接近0,从而越,因而椭圆越接近于.及时反馈:下列两个椭圆中,哪一个更接近于圆? 与 下面把焦点在x轴和在y轴上的两种标准方程的几何性质作以比较:标准方程图形范围对称性顶点坐标焦点坐标轴长短轴长,长轴长.离心率三、综合跃升例1 求适合下列条件的椭圆的标准方程(1)一焦点坐标为(-3,0),一顶
18、点坐标为(0,5);(2)长轴长等于20,离心率为。例2 .若椭圆的离心率为,求k的值.例3设椭圆的中心在原点,坐标轴为对称轴,一个焦点与短轴两端点的连线互相垂直,且此焦点与长轴上较近的端点的距离为4(1),求此椭圆方程及它的离心率、焦点坐标、顶点坐标解设所求的椭圆方程为1或1(ab0),则解得所以所求的椭圆方程为1,或1.离心率e,当焦点在x轴上时,焦点为(4,0),(4,0),顶点(4,0),(4,0),(0,4),(0,4),当焦点在y轴上时,焦点为(0,4),(0,4),顶点(4,0),(4,0),(0,4),(0,4)已知F1,F2是椭圆1(ab0)的两个焦点,P为椭圆上一点,F1P
19、F260.(1)求椭圆离心率的取值范围;(2)求证:F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关解设|PF1|m,|PF2|n,(1)在PF1F2中,由余弦定理得cosF1PF2,即cos6011112()212e2(当且仅当mn时取“”号)所以e2,又e(0,1),所以e,1)(2)证明在PF1F2中,由余弦定理可知|PF1|2|PF2|22|PF2|PF1|cosF1PF2|F1F2|2,即cos60因为m2n2(mn)22mn4a22mn所以1,所以mnb2,所以SPF1F2mnsin60b2,即F1PF2的面积只与短轴长有关练习:1椭圆上点p(x,y)的横坐标的范围为2若点p(2,4)在椭圆上
20、,下列在椭圆上的点有(1) p ( -2, 4 ) (2) p ( -4, 2 ) (3) p ( -2, -4 ) (4) p ( 2, -4 )3求中心在原点,焦点在x轴上,长轴、短轴的长分别为8和6的椭圆方程4写出椭圆的长轴长,短轴长,离心率,顶点和焦点坐标.课时作业 一、选择题1椭圆长轴上两端点为A1(3,0),A2(3,0),两焦点恰好把长轴三等分,则该椭圆的标准方程是()A.1 B.y21C.1 D.y21答案A解析由题意知a3,2c62,c1,b2,故椭圆的方程为1.2椭圆x2my21的焦点在y轴上,长轴长是短轴长的两倍,则m的值是()A. B. C2 D4答案A解析由题意可得2
21、22,解得m.3P是长轴在x轴上的椭圆1上的点,F1、F2分别为椭圆的两个焦点,椭圆的半焦距为c,则|PF1|PF2|的最大值与最小值之差一定是()A1 Ba2 Cb2 Dc2答案D解析由椭圆的几何性质得|PF1|ac,ac,|PF1|PF2|2a,所以|PF1|PF2|2a2,当且仅当|PF1|PF2|时取等号|PF1|PF2|PF1|(2a|PF1|)|PF1|22a|PF1|(|PF1|a)2a2c2a2b2,所以|PF1|PF2|最大值与最小值之差为a2b2c2.4. 已知F1、F2是椭圆的两个焦点.满足 = 0的点M总在椭圆内部,则椭圆离心率的取值范围是 ()A(0,1) B.C.
22、D.答案C解析 0,M点轨迹方程为x2y2c2,其中F1F2为直径,由题意知椭圆上的点在圆x2y2c2外部,设点P为椭圆上任意一点,则|OP|c恒成立,由椭圆性质知|OP|b,其中b为椭圆短半轴长,bc,c22c2,2,e.又0e1,0e.5设0k9,则椭圆1与1具有相同的()A顶点 B长轴与短轴C离心率 D焦距答案D解析由0k9,知09k1时,半焦距为,所以,解得a2,方程为y21.当a2b0)上的一点,F1、F2为椭圆的两焦点,若PF1PF2,试求:(1)椭圆的方程;(2)PF1F2的面积解方法一(1)令F1(c,0),F2(c,0),则b2a2c2.因为PF1PF2,所以kPF1kPF2
23、1,即1,解得c5.所以椭圆方程为1.因为点P(3,4)在椭圆上,所以1.解得a245或a25.又ac,所以a25舍去故所求椭圆方程为1. 方法二因为PF1PF2,所以PF1F2为直角三角形所以|OP|F1F2|c.又|OP|5,所以c5.所以椭圆方程为1(以下同方法一)(2)由椭圆定义知|PF1|PF2|6,又|PF1|2|PF2|2|F1F2|2100,2得2|PF1|PF2|80,所以SPF1F2|PF1|PF2|20.10在平面直角坐标系xOy中,点P到两点(0,)、(0,)的距离之和等于4,设点P的轨迹为C.(1)写出C的方程;(2)设直线y=kx+1与C交于A、B两点,k为何值时?
24、此时|的值是多少? 解(1)设P(x,y),由椭圆的定义可知,点P的轨迹C是以(0,)、(0,)为焦点,长半轴长为2的椭圆,它的短半轴长b1,故曲线C的方程为x21.(2)设A(x1,y1)、B(x2,y2),其坐标满足消去y并整理得(k24)x22kx30,故x1x2,x1x2.若,则x1x2y1y20.而y1y2k2x1x2k(x1x2)1,于是x1x2y1y210,化简得4k210,所以k.当k时,x1x2,x1x2, ,而(x1x2)2(x1x2)24x1x224.抛物线及其标准方程【基础知识导引】1抛物线的轨迹定义是什么?2如何建立抛物线的标准方程?它有几种不同形式?标准方程中参数P
25、的几何意义是什么?3如何求抛物线上一点到它的焦点的距离?4如何判断直线与抛物线的位置关系?【重点难点解析】1抛物线的定义平面上到定点F和到点直线1距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线1叫做抛物线的准线。这里,点F不在直线1上,否则其轨迹是过点F且与1垂直的直线。与椭圆和双曲线不同的是,在抛物线中,只有一个焦点和一条准线。2抛物线的标准方程将抛物线的顶点放在原点,焦点放在坐标轴上,可以得到抛物线的标准方程,它共有四种不同形式,即,其中p0,它的几何意义是焦点F到准线1的距离。3直线与抛物线的位置关系判断直线与抛物线的位置关系可采用方程讨论法,特别提醒的是,与抛物线的对称轴平行
26、的直线与抛物线也只有一个公共点,从而“直线与抛物线只有一个公共点”是“直线与抛物线相切”的必要非充分条件。4弦长公式设直线1的斜率为k,它与抛物线交于两点,则弦长,特别地,如果1过抛物线的焦点F,由抛物线的定义可知,焦点弦长。【难题巧解点拨】例1 已知抛物线的方程为,求它的焦点坐标和准线方程。分析 本题考查抛物线的焦点坐标和准线方程的求法,先将其化为标准方程,求出参数p的值,再根据开口方向确定焦点坐标和准线方程。解 抛物线方程即当a0时,且开口向上,焦点坐标是,准线方程是;当a0时,得;当x0)或0(x0)到焦点F的距离是5,求抛物线的方程。分析 可根据点A在抛物线上及|AF|=5两个条件联系
27、解得m和p的值。解 若设抛物线方程为,则由若设抛物线方程为,则由所求抛物线方程是或或点评 (1)条件|AF|=5应根据定义将其转化为点A到准线的距离。(2)若不限定m0,则当m0”这一前提条件,在解第(2)小题时,由于F在抛物线内,过抛物线内一点的任何直线(除与对称轴平行外)与抛物线都有两个不同交点,即“0”一定成立,但在解(3)小题时,若不考虑“0”这一条件,将得出轨迹是一条直线y=3这一错误结果。例3 过点P(0,4)作圆的切线1;若1与抛物线交于两点A、B,且OAOB,求抛物线方程。分析 本题是直线,圆与抛物线的综合问题,由直线与圆相切的条件求出直线1的方程,将其与抛物线方程联立消元后,
28、利用韦达定理及直线方程可求出的值,而OAOB,等价于,从而求出参数p的值。解 设直线1:y=kx+4,1与圆相切,解得,由图可知,应取,代入得,设由OAOB得,即,即,又,代入上式得,解得所求抛物线方程是点评 (1)求圆的切线方程时,应根据圆心到切线的距离等于半径来求斜率,而不必利用方程讨论法;(2)条件“OAOB”应等价地转化为“”来处理,从而为韦达定理的利用提供了可能。例4 如图24,直线和相交于点M,点,以A、B为端点的曲线段C上的任一点到距离与到点N的距离相等,若AMN为锐角三角形,|AN|=3,|BN|=6,建立适当的坐标系,求曲线段C的方程。分析 本题主要考查抛物线的概念和性质,曲
29、线与方程的关系及综合运用知识能力,根据题意可知,曲线段C是抛物线的一段,通过建立适当的坐标系,设出其方程,然后由题中所给条件求出参数p的值即可。解 由题意,曲线段C是以点N为焦点,以为准线的抛物线的一段,以直线为x轴,线段MN的中垂线为y轴建立直角坐标系,则抛物线的方程可设为,其中p=|MN|,设,由抛物线的定义, 又即 ,以及 由、联立,消去得,或在AMN中,为最大边,当p=4时,AMN是锐角三角形。而当p=2时,AMN为钝角三角形。p=4,抛物线方程是。又,且曲线段C在x轴上方,方程为。点评 (1)求曲线方程首先应建立恰当的坐标系,由于N是抛物线的焦点,是其准线,故如此建立坐标系使所得方程为标准方程,从而使问题简单化;(2)在解题中,注意利用抛物线的焦半径公式,将点到焦点的距离转化为点到准线的距离来处理;(3)求得两组解后应根据AMN为锐角三角形进行取舍;(4)因所求为抛物线的一段,故应在方程中注明其取值范围。 抛物线的简单几何性质 【自学导引】1已知抛物线的标准方程y2
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