[理学]2009概率论与数理统计试题及答案.doc
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1、考研数学冲刺概率论与数理统计一、基本概念总结1、概念网络图2、最重要的5个概念(1)古典概型(由比例引入概率)例1:3男生,3女生,从中挑出4个,问男女相等的概率? 例2:有5个白色珠子和4个黑色珠子,从中任取3个,问其中至少有1个是黑色的概率?(2)随机变量与随机事件的等价(将事件数字化) 例3:已知甲、乙两箱中装有两种产品,其中甲箱中装有3件合格品和3件次品,乙箱中仅装有3件合格品。从甲箱中任取3件产品放入乙箱后,求:(1) 乙箱中次品件数X的数学期望。 (2) 从乙箱中任取一件产品是次品的概率。 例4:将一枚均匀硬币连掷三次,以X表示三次试验中出现正面的次数,Y表示出现正面的次数与出现反
2、面的次数的差的绝对值,求(X,Y)的联合分布律。(3)分布函数(将概率与函数联系起来) (4)离散与连续的关系 例5:见“数字特征”的公式。(5)简单随机样本(将概率和统计联系在一起)样本是由n个同总体分布的个体组成的,相当于n个同分布的随机变量的组合(n维随机变量)。例6:样本的是已知的,个体(总体)的未知,矩估计:,完成了一个从样本到总体的推断过程。二、做题的18个口诀(概率15个,统计3个)1、概率(1)题干中出现“如果”、“当”、“已知”的,是条件概率。 例7:5把钥匙,只有一把能打开,如果某次打不开就扔掉,问第二次打开的概率?(2)时间上分两个阶段的,用“全概公式”或者“贝叶斯公式”
3、。例8:玻璃杯成箱出售,每箱20只,设各箱含0,1,2只残次品的概率分别为0.8, 0.1和0.1。一顾客欲购买一箱玻璃杯,由售货员任取一箱,而顾客开箱随机地察看4只;若无残次品,则买下该箱玻璃杯,否则退回。试求:(1)顾客买此箱玻璃杯的概率;(2)在顾客买的此箱玻璃杯中,确实没有残次品的概率。(3)“只知次数,不知位置”是“二项分布”。 例9:抛5次硬币,其中有3次正面朝上的概率? 例10:1对夫妇生4个孩子,2男2女的概率?(4)“先后不放回取”“任取”,是“超几何分布”。 例11:5个球,3红2白,先后不放回取2个,2红的概率? 例12:5个球,3红2白,任取2个,2红的概率? (5)“
4、先后放回取”是“二项分布”。 例13:5个球,3红2白,先后放回取5个,2红的概率?(6)求随机变量函数的分布密度,从分布函数的定义入手。 例14:设X的分布函数F(x)是连续函数,证明随机变量Y=F(X)在区间(0,1)上服从均匀分布。(7)二维随机变量的概率分布从两个事件相交的本质入手。 ,。(8)二维连续型随机变量的边缘分布由画线决定积分的上下限。例15:设二维连续型随机变量(X,Y)在区域D上服从均匀分布,其中求X的边缘密度。(9)求二维连续型随机变量的函数分布或者某个区域内的概率,由画图计算相交部分(正概率区间和所求区域的交集)的积分。例16:设随机变量(X,Y)的分布密度为试求U=
5、X-Y的分布密度。(10)均匀分布用“几何概型”计算。例17:设随机变量(X,Y)的分布密度为:,试求P(X+Y1)。(11)关于独立性:对于离散型随机变量,有零不独立;对于连续型随机变量,密度函数可分离变量并且正概率密度区间为矩形。(12)二维随机变量的期望E(X)、E(Y)和方差D(X)、D(Y),由边缘分布来求。例19:设,为两个随机事件,且, , , 令 求() 二维随机变量的概率分布;() 与的相关系数 ; () 的概率分布. (13)相关系数中的E(XY),对于离散型随机变量,根据XY的一维分布来求;对于连续型随机变量,按照函数的期望来求。例20: 连续型随机变量:E(XY)(14
6、)应用题:设Y为题干中要求期望的随机变量,a为最后题目所求,然后找Y与X的函数关系,再求E(Y)。 例21:市场上对商品需求量为XU(2000,4000),每售出1吨可得3万元,若售不出而囤积在仓库中则每吨需保养费1万元,问需要组织多少货源,才能使收益的期望最大?(15)切比雪夫大数定律要求“方差有界”,辛钦大数定律要求“同分布”。2、统计(1)似然函数是联合密度或者联合分布律。连续型:离散型:例22:设总体X的概率分别为其中(0)是未知参数,利用总体X的如下样本值:3, 1, 3, 0, 3, 1, 2, 3求的矩估计值和最大似然估计值。(2)“无偏”求期望,“有效”求方差,“一致”不管它。
7、 例23:设是总体的一个样本,试证(1)(2)(3)都是总体均值u的无偏估计,并比较有效性。(3)标准正态、分布区间估计和假设检验取关于y轴对称的分位数,、分布取面积对称的分位数。三、选择题常考的5个混淆概念1、乘法公式和条件概率例24:100个学生,60个男生,40个女生,棕色头发30个,棕色头发的男生10个,任取一个学生,是棕色头发的男生的概率?已知取了一个男生,是棕色头发的概率?2、独立和互斥设A, B,则A和B相互独立与A和B互斥矛盾。例25:对于任意二事件A和B,(A) 若AB=,则A,B一定不独立。(B) 若AB=,则A,B一定独立。(C) 若AB,则A,B一定独立。(D) 若AB
8、,则A,B有可能独立。3、独立和不相关 独立是不相关的充分条件。 (X,Y)为二维正态分布时,独立和不相关互为充分必要条件。4、X,Y分别为正态分布,不能推出(X,Y)为二维正态分布;也不能推出 X+Y 为一维正态分布。例26:已知随机变量X和Y分别服从正态分布N(1,32)和N(0,42),且X与Y的相关系数,设(1)求Z的数学期望E(Z)和方差D(Z);(2)求X与Z的相关系数;(3)问X与Z是否相互独立?为什么?例27:设随机变量X和Y都服从正态分布,且它们不相关,则(A)X与Y一定独立。(B)(X,Y)服从二维正态分布。(C)X与Y未必独立。(D)X+Y服从一维正态分布。5、几个大数定
9、律的区别 切比雪夫大数定律要求“方差有界”,辛钦大数定律要求“同分布”。例28:设X1,X2,Xn,是相互独立的随机变量序列,Xn服从参数为n的指数分布(n=1,2, ),则随机变量序列 X1,22X2,n2Xn,:(A) 服从切比雪夫大数定律。(B) 服从辛钦大数定律。(C) 同时服从切比雪夫大数定律和辛钦大数定律。(D) 既不服从切比雪夫大数定律,也不服从辛钦大数定律。四、解答题常考的6个题型1、全概和贝叶斯公式 例29:在电源电压不超过200V、在200240V和超过240V三种情形下,某种电子元件损坏的概率分别为0.1、0.001和0.2,设电源电压XN(220,252),试求(1)
10、该电子元件损坏的概率;(2) 该电子元件损坏时,电源电压在200240V的概率。表中(x)是标准正态分布函数。2、二项分布例30:设测量误差XN(0,102)。试求在100次独立重复测量中,至少有三次测量误差的绝对值大于19.6的概率,并用泊松分布求出的近似值(要求小数点后取两位有效数字)。附表:3、二维随机变量例31:设二维随机变量(X,Y)的概率分布为YX 0 10 0.4a1 b0.1若随机事件X=0与X+Y=1互相独立,则A、a=0.2, b=0.3B、a=0.1, b= C、a=0.3, b=0.2D、a=0.4, b=0.1 例32:设随机变量在区间上服从均匀分布,在的条件下,随机
11、变量在区间上服从均匀分布,求() 随机变量和的联合概率密度;() 的概率密度; () 概率4、数字特征例33:一辆送客汽车,载有m位乘客从起点站开出,沿途有n个车站可以下车,若到达一个车站,没有乘客下车就不停车。设每位乘客在每一个车站下车是等可能的,试求汽车平均停车次数。例34:今有两封信欲投入编号为I、II、III的3个邮筒,设X,Y分别表示投入第I号和第II号邮箱的信的数目,试求(1)(X,Y)的联合分布;(2)X与Y是否独立;(3)令U=max (X,Y), V=min(X,Y),求E(U)和E(V)。例35:设为独立同分布的随机变量,且均服从N(0,1)。记 求:(I) (II) (I
12、II) 5、应用题例36:设由自动线加工的某种零件的内径X(毫米)服从正态分布N(,1),内径小于10或大于12为不合格品,其余为合格品。销售每件合格品获利,销售每件不合格品亏损。已知销售利润T(单元:元)与销售零件的内径X有如下关系。,问平均内径取何值时,销售一个零件的平均利润最大?6、最大似然估计例37:设随机变量的分布函数为, 其中参数. 设为来自总体的简单随机样本,() 当时, 求未知参数的矩估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量;() 当时, 求未知参数的最大似然估计量。 五、考试的2个技巧1、填空题和选择题的答题技巧例38:设随机变量独立同分布,则行列式,的数学期望。例3
13、9:将一枚硬币独立地掷两次,引进事件:=掷第一次出现正面,=掷第二次出现正面,=正、反面各出现一次,=正面出现两次,则事件(A)相互独立。(B)相互独立。(C)两两独立。(D)两两独立。自测题(第一章)一、选择题(毎小题3分,共15分):1. 在某学校学生中任选一名学生,设事件表示“选出的学生是男生”,表示“选出的学生是三年级学生”,表示“选出的学生是篮球运动员”,则的含义是().(A)选出的学生是三年级男生;(B)选出的学生是三年级男子篮球运动员;(C)选出的学生是男子篮球运动员; (D)选出的学生是三年级篮球运动员;2. 在随机事件中,和两事件至少有一个发生而事件不发生的随机事件可表示为(
14、).(A)(B)(C)(D)3甲乙两人下棋,甲胜的概率为0.6,乙胜的概率为0.4,设为甲胜,为乙胜,则甲胜乙输的概率为().(A)(B)(C)(D)0.64下列正确的是().(A)若,则(B)若,则(C)若,则 (D)若10次试验中发生了2次,则5设、互为对立事件,且,则下列各式中错误的是().(A) (B) (C)(D)解:1. 由交集的定义可知,应选(B)2. 由事件间的关系及运算知,可选(A)3. 基本事件总数为,设A表示“恰有3个白球”的事件,A所包含的基本事件数为=5,故P(A)=,故应选(D)。4. 由题可知A1、A2互斥,又0P(B)1,0P(A1)1,0P(A2)0, 所以=
15、A,因而P(|A)=P(A|A)=1,故选(A)二、填空题(毎小题3分, 共15分):1、代表三件事,事件“、至少有二个发生”可表示为 2已知,则= 3、二个事件互不相容,则 4对同一目标进行三次独立地射击,第一、二、三次射击的命中率分别为,则在三次射击中恰有一次击中目标的概率为 5设、两两相互独立,满足,且已知,则 解:1. AB+BC+AC2. A、B相互独立, P(AB)=P(A)P(B) P(AB)=P(A)+P(B)P(AB)=0.2+0.50.1=0.63. A、B互不相容,则P(AB)=0,P(AB)=P(A)P(AB)=0.84. 设A、B、C分别表示事件“第一、二、三次射击时
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