[理学]GCT数学考试历年试卷分析7-10.doc
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1、2003年GCT数学基础能力测试题11000m大道两侧从起点开始每隔10m各种一棵树,相邻两棵树之间放一盆花,这样需要。A树200棵,花200盆 B树202棵,花200盆 C树202棵,花202盆 D树200棵,花202盆解:注意大道两头均需种树,且大道两侧对等,故需种树(棵);道路两侧花盆数显然比种树数各少一盆。又:若想到摆花盆数比种树数少,则直接看出正确答案B。2已知,则。A B C D解:,显然选D。 设 ,则,故函数单调增加。3。A B C D解:。此题硬做亦可,选B。4记不超过10的素数的算术平均数为,则与最接近的整数是。A B C D解:不超过10的素数为2,3,5,7,(注意1不
2、是素数),故选C。5某工厂产值三月份比二月份增加10%,四月份比三月份减少10%,那么。A四月份与二月份产值相等 B四月份比二月份产值增加 C四月份比二月份产值减少 D四月份比二月份产值减少解:根据题意二、三、四月份产值依次为,。选D。6五支篮球队相互进行循环赛,现已知队已赛过4场,队已赛过3场,队已赛过2场,队已赛过1场,则此时队已赛过。A场 B场 C场 D场解:相互比赛,没有排序问题,且进行一场比赛则比赛双方的比赛场次各增加1,故五支篮球队的比赛场次之和必为偶数。现条件告诉我们四支篮球队的比赛场次之和为10,队只能赛过偶数场。若选D则队必须与队、队均赛过,与题设不符,只能选B。7函数在上单
3、调增加的充要条件是。A B C D解:若,则二次函数的图象开口向下,在上不可能单调增加;进一步考虑题目要求在整个正半轴,二次函数都要求单调增加,则此二次函数的对称轴必须在轴的左侧(否则,在区间上二次函数单调减少)。这样必须,或为。选C。8函数与的图形关于。A关于直线对称 B关于直线对称 C关于轴对称 D关于轴对称解:解法一:考虑函数最简单的形式(直线) ; 两条直线相交于,斜率相反,显然关于轴对称,选D。注:若则这两条直线既关于轴对称也关于轴对称。解法二:,此即函数曲线上的点关于轴的对称点恰在函数曲线上;反之亦然。当然两个函数图形关于轴对称。9已知实数和满足条件和,则。A B C D解:;。由
4、此而得;于是。选C。10一批产品的次品率为,每件检测后放回,在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为。A B C D 解: 这是一道典型的独立重复试验题(注意每件检测后放回)在连续三件检测中都是正品的概率为,那么在连续三件检测中至少有一件是次品的概率为 。选A。若分成连续三件检测中分别有一件是次品、两件是次品和三件是次品这样三种独立试验考虑,则较繁复。11过点作圆的切线和,是两个切点,则所在的直线方程为。A B C D 解:解法一:点在轴正上方,单位圆,一眼看出选D。解法二:设点坐标为,切线满足,即。这里点是圆的圆心坐标,于是,联立(切点在圆上),得,由对称性,无须再求。12如题12图,正方形
5、的面积为1,和分别是和的中点,则图中阴影面积为。A B C D 解:先计算,(显然这两个三角形全等)和的面积为宜,而与全等,与同底等高,故,面积相等,的面积为,得每个小三角形面积为;的面积为的面积减去的面积。, 和的面积和为,阴影部分面积是。答案选C。13已知两平行平面之间的距离为,是平面内的一条直线,则在平面内与直线平行且距离为的直线有条。A B C D 解:由于(保证两平行平面不重合),对称性保证为2条。选C。14正圆锥的全面积是侧面积的倍,则该圆锥侧面展开后的扇形所对应的圆心角为。A B C D 解:设圆锥的的底面半径为,母线长为,则该圆锥的全面积为,依题意可得,该圆锥侧面展开后的扇形所
6、对应的圆心角为。选B。15设点在圆的内部,则直线和圆。A不相交 B有一个交点 C有两个交点且两交点间的距离小于2D. 有两个交点且两交点间的距离大于2解:点在圆的内部,故;而单位圆的圆心到直线的距离为,即直线在圆外,故不可能相交。选A。或用特殊值代入法做。16设函数,则的极值点个数是。A B C D 解:先考虑必要条件,令;。是极小值点,但在的两侧,故单调下降,不是极值点。选B。注:函数没有不可导的点。17如果函数在处可导,则极限。A B C D不存在解:依定义 。选C。18甲、乙两人百米赛跑成绩一样,那么。A甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定一样 B甲、乙两人每时刻的瞬时速度必定不一样 C甲、乙
7、两人至少某时刻的速度一样 D甲、乙两人到达终点的速度必定一样解:设甲、乙两人的速度分别为,到达终点所用时间为,百米赛跑成绩一样则 ,再由积分中值定理得,必,即甲、乙两人至少某时刻的速度一样,当然选C。19方程的实根个数是。A个 B个 C个 D个解:构造函数,考察这个函数与轴的交点究竟有多少(就是实根个数)。若注意到是偶函数,则只需考虑正半轴的情形。显然成立,于是零点存在定理保证在之间至少有一个根。但,此即在正半轴上单调增加,只能有一个根,再有偶函数知负半轴上亦有一根。选B。20设,则。A B C D 解:, 而这里。显然,选D。21展开式中的系数是。A B C D解:的系数是2。选A。22设,
8、则必有。A B C D解:,但是的矩阵,必。选D。进一步的解释:A不对实因是的矩阵,而是的矩阵;B不对实因只有; C不对则需要计算。四选一的考试方式只要看出一个是正确的,立即就能定下来。23设为四阶非零方阵,其伴随矩阵的秩,则。A或 B或 C或 D或解:为四阶非零方阵则;必是零方阵。由元素的组成知的所有三阶子式均为零,故只能选A。24设为的非零矩阵,方程组只有零解的充分必要条件是。A的列向量线性无关 B. 的列向量线性相关C. 的行向量线性无关 D. 的行向量线性相关解:设,则,方程组只有零解意即,故选A。25已知三阶矩阵的特征值,它们所对应的特征向量为,则矩阵是A B C D解:由 ,得选D
9、。2004年GCT数学基础能力测试题1设,则。A B C D解:;显然 ,当然 ,选B。2在一条3600m的公路一边,从一端开始等距竖立电线杆,每隔40m原已挖好一个坑,现改为每隔60m立一根电线杆,则需重新挖坑和填坑的个数分别是。A和 B和 C和 D和解:;。注意头尾均需竖立电线杆,则原需竖立电线杆91根,现需竖立电线杆61根。40与60的最小公倍数是120,则在每120m的区间内,原已有0m处,40m处,80m处,120m处各一个坑,现需改为0m处,60m处,120m处各一个坑,则需要重新挖一个坑和填两个坑,分析至此,对照四个答案,选D即可。进一步 ,则挖坑数为,填坑数为。若改为植树或树广
10、告牌等需公路两边都要做的问题,则数目通常要乘以2。3某校有若干女生住校,若每间房住4人,则还剩20人未住下,若每间房住8人,则仅有一间未住满,那么该校原安排女生房间数为。A B C D解:设原安排女生房间数为,依题意;。当然,只能选C。4甲、乙两种茶叶以(重量比)混合配制成一种成品茶,甲种茶,乙种茶。现甲种茶价格上涨,乙种茶价格下降后,成品茶的价格恰好保持不变,则等于。A B C D解:两种茶叶价格变化前后成品茶价格的变化应为与,现品茶的价格保持不变得 。选C。5在一条公路上,汽车分别以的速度匀速行驶,汽车从甲站开向乙站,同时汽车从乙站出发与汽车相向而行开向甲站,途中汽车与汽车相遇两小时后再与
11、汽车相遇,那么甲乙两站的距离为。A B C D解:设甲乙两站的距离为,则汽车与汽车相遇时用时为。选D。6设均为正数,若,则。A B C D解:由 ,可得,同加,得 。选A。7实数在数轴上的位置如题7图所示,其中为原点,则代数式。A B C D解:考察对绝对值的理解,选A。8已知,且满足和,则。A B C D解:看答案选项需要计算,直接解法是利用一元二次方程的求根公式分别解出,再计算。,同理 。只能 ,另外 。选B。将两个方程分别乘以(利用一次项系数都是2008),得,这样将整合到一个方程中,由此而得,题设则必。9表示的辐角,今有,则。A B C D解: ,这里,;,。,选D。10将5个相同的球
12、放入一排的8个格子中,每格至多放一个球,则三个空格相连的概率是。A B C D解:球相同无区别,8个格子有顺序。则5个球放入8个格子中的放法为种;若再将三个相连的空格看成一个,则在8个格子中三个空格相连的排法有种,故所求概率为。选C。11如题11图,直角三角形中,为直角,点和分别在直角边和斜边上,且,则。A B C D解:设,则条件保证(等边对等角);(外角等于两不相邻内角和);(等边对等角);(三角形内角和为);(平角);(等边对等角);(三角形内角和为);(平角);(等边对等角)。选C。12如题12图,长方形由4个等腰直角三角形和一个正方形构成,若长方形的面积为,则正方形的面积为。A B
13、C D解:设正方形的边长为,则依次可得,;。这样。选C。13在圆心为,半径为15的圆内有一点,若,则在过点的弦中,长度是整数的有。A条 B条 C条 D条解:显然点不在圆心,过点的弦中最长者为经过圆心的直径,长度是30;过点的弦中最短者为与过点且经过圆心的直径垂直的弦,此弦长度是。数一数,从18到30共有13条长度是整数的弦。选B。14直线与直线关于直线对称,则直线的方程是。A B C D解:设平面上一点,则该点关于直线的对称点应满足方程,(点与对称点的中点在直线上)且 (与直线垂直,)。在直线上找两个特殊点,它们关于直线的对称点分别是,过此两点的直线方程是。选A。15中,该三角形边上的中线长是
14、的函数,则当在中变化时,函数取值的范围是。A B C D解:建立函数的表达式以为原点,所在的直线为横轴建立直角坐标系,这样,边上的中点坐标。于是,注意到,则。选B。再利用余弦定理做构成三角形,则,记边上的中点为,当在中变化时,或 若,则;若,则。16如题16图,是两个逐段线性的连续函数,设,则。A B C D解: 在上过两点,在上过两点,故;同理在上过两点,在上过两点,故。但,故,因此在1的附近,;。选A。17过作曲线的切线,设该曲线与切线及轴所围成的面积为,曲线与直线及轴所围成的面积为,则。A B C D解:先建立切线方程。,过的切线方程是 ;这里讨论时的面积比的极限,无妨认为。先求,;再直
15、接求,注意到是由直线及,切线围成的直边梯形面积,在切线方程中令,得,这样。显然应选D。18如下不等式成立的是。A在区间上,B在区间上, C在区间上, D在区间上,解:构造函数,;另外,所以在上单调增加。由于选项C,D中不等号为严格大于(小于)零,不满足,故只能考虑A与B,利用的单调性,知在区间上,。选B。19为连续函数,且,则。A B C D解:考虑 ,但是 ,这里是连续函数的一个原函数。故。选C。20如题20图,抛物线把与轴所构成的区域面积分为与两部分,则。A B C D与大小关系与的数值有关解:两条曲线的交点满足,得两个交点坐标为和,这里。选B。21设,则行列式。A B C D解:。选D。
16、22设,则在中,第3行第2列的元素是。A B C D解:,。选B。23若线性无关,而向量线性相关,则。A B C D解:,因线性无关,则若向量线性相关,必有非零解。,系数矩阵奇异必。24设矩阵,三阶矩阵,且满足,则。A B C D解:显然不是零矩阵,表示有非零解。这样,另外(否则,可逆推出是零矩阵,矛盾)。,显然,要求。此时。齐次方程组的基础解系的秩为1。从而。选A。25下列矩阵中,与对角矩阵相似的矩阵是。A B C D解:相似矩阵有相同的特征值,这一点四个选项中的矩阵的特征值与题设对角矩阵的特征值都一样(均为1,1,2),无法区分。进一步利用对角矩阵有完整的线性无关的特征向量这一特性,依次验
17、算:,秩为2,只能求出一个特征向量;,秩亦为2,只能求出一个特征向量;,秩为1,可求出两个特征向量;,秩亦为2,只能求出一个特征向量。正确选项是C。2005年GCT数学基础能力测试题1。A B C D解:。选A。2设为正数,则。A B C D解:一元二次方程中常数项为负,只能考虑B,C;,故选C。3在四边形中,对角线,垂直相交于点。若,则四边形的面积为。A B C D解:对角线垂直相交,实为求两个三角形的面积。,选D。4某项工程8个人用35天完成了全工程量的,如果再增加6个人,那么完成剩余的工程还需要的天数是。A B C D 解;工程量剩下,改为14人做,比较选项中几个数字,C最恰当。或设 。
18、5已知且,则。A B C D 解: 。选B。62005年,我国甲省人口是全国人口的,其生产总值占国内生产总值的;乙省人口是全国人口的,其生产总值占国内生产总值的,则2005年甲省人均生产总值与乙省人均生产总值之比是。A B C D解:设国内生产总值为,全国人口为。则甲省人均生产总值为;乙省人均生产总值为。两者之比为 。选D。7复数的模。A B C D 解:。选C。8三个不同的非零实数成等差数列,又恰成等比数列,则。A B C D 解: 等差数列;等比数列。消去,得,。为三个不同的非零实数,故选A。9任取一个正整数,其平方数的末位数字是4的概率等于。A B C D 解:只有当正整数的末位数字是时
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- 理学 GCT 数学 考试 历年 试卷 分析 10
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