[理学]泛函分析第5章 非线性分析初步.doc
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1、第五章 非线性初步第5章 非线性分析初步本章主要介绍一些非线性分析的常用概念和基本方法.内容包括抽象函数的微积分,非线性算子的两种微分,反函数和隐函数定理,变分法及非线性最优化.5.1抽象函数的微分和积分抽象函数是普通函数在空间中的推广.设是一个空间,是的对偶空间.称为抽象函数.首先介绍抽象函数的两种连续性.定义5.3称在点是连续的,是指;称在点是弱连续的,是指对于每个,有.如果在的每个点上连续,则称在上连续;如果在的每个点上弱连续,同样,称在上弱连续.注:若在点连续,则在点弱连续.这是因为对于所以,反之不然.类似于普通函数,有如下定理.定理5.1若是上的连续函数,则是一致连续的,即对于当且时
2、有下面来介绍抽象函数的两种导数的概念.定义5.2设是一抽象函数,若使则称在点可微,而称为在点的导数,记为,即上述极限是在范数意义下取的.若对于每个,普通函数满足则称在点是弱可微的,称为在点的弱导数.注:在点可微,则在点是弱可微,反之不然.在点可微,则在点连续.若在中每一点均可微(点右可微,点左可微),则在上可微分,且导函数也是一个从到的抽象函数.例5.1 ,记为若在点可微,那么例5.2 若,则在上每一点可微,且(零元).反之,若可微,且,则(中每一常元).事实上,对于每个,可微,且有,故=常数=,于是.定义5.3设是一抽象函数,对于分划:作和此处,可任取.在记分划的范数为仿照普通函数的积分定义
3、,抽象函数的积分定义为:若存在使得对于任何分划若满足时,相应的任何和都成立即 则称在上是可积的,并称是在上的积分,记为.与通常函数有相同的性质,即若在上连续,则在上可积.定理5.2若在上连续可微,即存在且连续,则(莱布尼兹)成立,即证明:对,通常函数在上连续可微,且所以有(因可积)从而由定理的推论得 定理5.3若在内可微,且在上连续,则存在使得证明:对每个,满足通常函数的微分中值定理的条件.因此由定理的推论,取,且那么存在成立 定理5.4设连续,令,则在上可微,且.证明:对,由于在点连续,因此对于当时,有.注意到当时有 所以 即注:在定理5.4的证明中用到了抽象函数积分的如下公式:若均是上的抽
4、象可积函数,是实数,那么这些性质的证明完全类似于普通函数,这里略去.我们还可以定义抽象函数的高阶导数及其幂级数的展式等类似于普通函数的性质,这里就不再讨论了.习题5.11.证明若在点可微,则在点连续.2.设在上可积,则对每个,有3.设在点可微,则对每个,有在点也可微.4.定义内的抽象函数为.证明:在上可微,且.5.2非线性算子的微分本节介绍非线性算子的两种常用微分微分和微分,这是高等数学中多元函数的全微分与方向导数的概念在空间中的推广.本节出现的空间都是指实空间.定义5.4设是两个空间,是开集,是算子,则称在点连续,是指;称在点是可微的,如果存在满足其中,即此时,称为在点关于的微分,记为,算子
5、称为在点的导算子,并记为;称在点是可微的,如果对于任意,极限在中存在,记其极限为,即此时,称为在点处沿方向的微分,如果微分可以表达为,这里,则称在点具有有界线性的微分,并称为导算子,仍记为.例5.3 记是由下列函数所确定的由到的算子.如果每个函数在点附近是连续可微的,那么在点是可微的,并且导算子正好是矩阵证明:取,根据中值定理,对每个,存在满足(此处对辅助函数应用中值定理而得),又因为在点连续,所以有记 则 因此例5.4设在上二元连续,且关于可导,偏导数在上也二元连续.定义算子为 那么在任意点处可微,且导算子为证明:取,令,作为的函数在上连续可微,且.对应用中值定理,有满足由于连续,因此当时有
6、令,则 所以从上面两个例子可见,计算一个具体的算子的微分是比较困难的,它不同于求函数导数那样容易.为了方便起见, 可微, 可微分别称为可微,可微.下面我们讨论这两种微分之间的关系.定理5.5设是开集.若在点可微,则在点必有有界线性微分,并且即在点的导算子与导算子相同;若在的每一点都有有界线性微分,且导算子在点连续,那么在点可微.证明: 在点附近可表示成于是当充分小,用代替,有即 而 故 可见在点具有有界线性的微分,且两者导算子相同.由于算子是可微的,且导算子在点连续,因此对当时,有我们来证,当时有 事实上,根据定理的推论,存在,且时满足定义辅助函数,根据的可微,容易证明在上连续可微,且,从而由
7、中值定理,存在使得即注意到,那么于是 从而不等式成立.若令那么由式有即在点可微.注:在点有有界线性微分,一般并不能推出在点是可微的.定理5.6设是两个空间,是开集,则:若,则;则;若,且对均在点可微,则对任何实数,算子在点亦可微,且若是一个空间,是开集.如果在点可微,在点可微,则复合算子仍在点可微,且证明:容易证明,留给读者,仅证.设那么 且取,则(当时),且,代入式得注意到因此,当时,且故在点可微,且.定理5.7设是两个空间, 是开凸集, 具有连续的导算子.设使那么证明:因是凸集,由知,对一切有.定义抽象函数为注意到那么故这说明,在上强导数存在且,因此也强连续.由本章中定理的公式有于是因此定
8、义5.5设在中每一点都可微,那么导算子又决定一个算子.若在点处可微,称在点处的导算子为算子在点的二阶导算子,记为,可见.类似,可以定义阶导算子.注:根据定义关于高阶导算子的定义,则,例如,对每个因此,同理,一般地,.为了简化记号,我们记则有定理5.8设是空间中的非空开凸集,是空间.有直到阶连续导算子,且存在常数,使,则对任一及,满足时,有其中为余项,且有.证明:记根据定理的推论,存在连续线性泛函,满足令,则由在内存在直到阶的连续导算子,可知是阶连续可导的函数,且对任何有由普通函数的展开公式得知,存在使得即又因为 因此关于高阶导算子的进一步讨论,我们在这里就不赘述了.习题5.21.证明定理5.6
9、的.2.若是空间,若证明:在点处是可微的,并求出3.若上定义如下:证明:在点可微,但是不可微.4.设,定义为,其中是上的连续可微函数.证明:在任意点是可微的,并求出.5.设是空间,是开集,记若在上是可微的,则存在满足若是另一个空间, 在上是可微的,则存在满足(这个练习就是非线性算子的微分中值定理)5.3隐函数与反函数定理5.3.1隐函数与反函数定理本节将给出非线性分析中极其重要的两个基本定义反函数定理与隐函数定理.定理5.9 (隐函数定理)设是3个空间,是开集,连续,且满足:在内可微;(当固定时,关于的导算子)有有界逆算子在处连续;那么存在点和点的闭球满足当时,方程在内存在惟一连续解,且,即由
10、决定一个连续算子,且.证明:记,因在处连续,所以取的恰当小闭球及,而当时成立 又关于连续,且,因此可以认为当时有 对固定的,作映射,我们来证明关于满足,是压缩映射.事实上由式知 再由中值定理(本章5.2解习题5)及式,式有这里是单位算子,即,这便证明了关于为另一方面,对,再由中值定理,存在满足故是压缩映射,从而由压缩定理,存在惟一一个使得即故,特别当时,由的惟一性,从而,这意味着已确定一个映射满足.下面证明是连续映射:对任意,记利用中值定理及式得因为故有即 因为关于连续,所以关于连续。因此,当时,更有,这说明是连续映射。 利用隐函数定理,我们可以推出下面的反函数定理。 【定理5.10】(反函数
11、定理)设是两个Banach空间,是开集,连续,且若满足: (1)在内可微; (2)具有有界逆算子且在点连续,那么存在点及点的闭球及使:的逆映射:存在且连续。 证明:令则满足: (1) (2) (3)在点连续。 对于F满足定理5.9的全部条件,从而有闭球及使对任意有惟一连续映射成立即故 注:(1)若在定理5.9的条件下,再附加条件F在V内关于和的F-导算子与都存在并且连续,那么定理5.9中惟一确定的映射也具有F-导算子,并且连续,更可由下面公式得出的表达式,即 (2)若在定理5.10的条件下,再附加条件在内存在,则逆映射也是F-可微的。5.3.2 算子方程的Newton迭代程序为了求函数方程的解
12、,可以通过如下的迭代程序来近似求解,在一定的假设条件下,迭代算法收敛。在这里,我们将普通的函数方程的Newton方程应用于算子方程的近似求解。为此,我们需要下面一个引理。【引理5.1】设X是Banach空间,且是可逆的,如果且则S亦可逆,并且如下关系成立,即证明:由于因为可逆,而 所以也可逆,且有 于是 = 这样 故 可见 【定理5.11】 设X是一个Banach空间,设在包含点的某开集U内存在连续F-导算子而且满足: (1)存在,且; (2)在U内满足Lipschitz条件:;则当适当小时,可选取适当小的正数,使方程在球内有惟一解,而且通过Newton迭代程序 收敛于,误差估计是这里。 证明
13、:取为方程的正解,则当小时,亦小。于是可设 令,则。而且。当时,根据引理有如下的估计 故 由于若假设也在球中,对于由 故 递推可得 因此 这便说明都含在球中,又级数收敛,于是是Cauchy点列,故有。另一方面,根据迭代程序 及在球中的连续性得 故。再由 令得估计 最后来证明在球中解是惟一的。事实上,设是另一解,则 注意到。 习题5.31. 设 证明:点附近存在逆映射。2. 设 证明:及连续映射满足 即 并求出的具体表达式。5.4 变分法上节讨论了非线性算子的微分,这节专门来研究非线性泛函的极值问题。类似于在高等数学中所学的用微分(导数)来求泛函的极值,对非线性泛函通过微分求极值的方法称为变分法
14、。变分法是泛函分析的起源,也是泛函分析的重要分支。变分法在力学、物理学、控制论等领域有广泛的应用。本节仅是对变分法这一基本原理作简要介绍。 【定义5.6】设X是一个Banach空间,是开集,是上定义的一个泛函。如果在中每一点都有有界线性的G-微分,记则称算子为泛函的梯度,并记为或简记为,有时又称泛函为算子的位势。根据G-微分的定义,梯度算子与其位势函数之间成立 【定义5.7】设X是一个Banach空间,是开集,泛函,。(1) 若存在的开球且对一切有 ,则称泛函点达到极小值(相应地,极大值);极小值与极大值统称为极值。(2) 设是另一个Banach空间)令设,若存在点的开球,使当时有 则称泛函关
15、于条件达到条件极小值(相应地,条件极大值);条件极小值与极大值统称为条件极值。 注:若,常称是泛函的一个临界点,称为的一个临界值。 【定理5.12】设具有有界线性的G-微分,且在达到极值,那么 证明:对于任意取常数,使当时,。定义函数为 由G-微分性质,且。特别,由于在点达到极值,根据微分学的基本性质,是于是而是任意的,那么。 这个定理虽然十分简单,但为我们寻求泛函的极值提供了十分方便的条件。例5.5 设为一切上连续可微函数组成的线性空间,对于定义范数为则在此范数下是一个Banach空间。又设上定义的一个连续可微函数,求泛函 达到极值的条件。 解:对于任意,由于 则满足 若J在点处达到极值,那
16、么对任何有即 这个条件十分不具体,为此,我们进一步假定是一次连续可微的,且要求极值点满足固定条件则由式(5.7)分部积分可得 (5.8)在式(5.8)中根据的任意性,我们得到满足下面的方程 这个方程通常称为Euler-Lagrange方程。例5.6 通过Euler-Lagrange方程求泛函 满足条件的极值点函数。 解:由Euler-Lagrange方程得 即 这个方程的通解为 由边界条件解得系数分别为 例5.7 求泛函满足条件极值条件。解:这是一个条件极值问题,我们把它转化成无条件极值问题,为此引进一个辅助函数,将上述问题化成的无条件极值。取Banach空间,若是泛函的极值点,那么对任意有
17、选取,那么由分部积分得再由式(5.9)得 (5.10)由无条件极值的必要条件及的任意性,应满足下述微分方程 (5.11)上述方程(5.11)也称为Euler-Lagrange方程。具体求解这个方程还需要一些别的定解条件。例5.8 通过Euler-Lagrange方程求泛函满足条件的极值函数。 解:由Euler-Lagrange方程(5.11)得微分方程为整理后得通过初始条件来确定。记矩阵则注:由定理5.12知,泛函的极值点一定是它的临界点。但临界点未必一定是极值点,因此临界点只是泛函极值点的必要条件,并非充分条件。Euler-Lagrange方程提供了一类泛函极值问题的必要条件,下面我们从理论
18、上探讨泛函极值的存在性问题(充分条件)。【定义5.8】设X是Banach空间,称在点是半连续的,是指若时,成立称在点是半连续的,是指若时,成立称在上是下(上)半连续的,是指在A的每一点处都下(相应地,上)半连续。注:在下半连续,可用语言等价叙述如下:当且时,有同理,读者可写出上半连续的语言等价形式。类似,连续函数在闭区间上达到最小值的证明,我们得到下面的结果。【定理5.13】 设A为Banach空间X中一个紧集,是A上的下半连续泛函,则在A达到最小值,即存在使。证明:设首先来证明若不然,对任何自然数,存在使 根据A是紧集,存在子列使由在点的下半连续性,可得这与矛盾,于是取使再利用的紧性,有子列
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