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1、毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 目目 录录 摘要摘要. Abstract 第第 1 1 章章 绪论绪论.1 1.1 课题的意义及背景介绍.1 1.2 课题的主要内容.4 第第 2 2 章章 矩阵的基础知识矩阵的基础知识.5 2.1 矩阵的定义及性质.5 2.1.1 矩阵的定义5 2.1.1 矩阵的性质11 2.2 逆矩阵的定义及性质.13 2.2.1 逆矩阵的定义13 2.2.1 逆矩阵的性质13 第第 3 3 章章 逆矩阵的求法逆矩阵的求法.13 3.1 初等变换法.14 3.2 伴随矩阵法.19 3.3 利用矩阵方程求逆矩阵法.21 3.4 解方程组法.22 结结
2、论论.26 致谢致谢.27 参考文献参考文献.28 附录附录 1 129 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 附录附录 2 233 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 I 页页 摘摘 要要 我们知道,矩阵是现代自然科学、工程技术乃至社会科学等许多领域一个不可缺少 的数学工具,作为矩阵的一个重要分支,逆矩阵也具有重要的作用。逆矩阵理论是本世纪 矩阵理论中一项极为重要的新发展,特别自50年代以来,逆矩阵的理论和计算方法的研 究取得了长足的进展。比如在概率统计、数学规划、数值分析、控制论、博弈论和网络 论等领域。可以这样说,凡是用到矩阵的地方,都有可
3、能用到逆矩阵。 文中首先介绍了矩阵和逆矩阵的发展和意义,体现出矩阵在现代科学领域中的重要 作用。并且在给出矩阵和逆矩阵定义和性质的基础上,分析了逆矩阵的各种求法。历史 上许多数学家对逆矩阵的求法付出了大量的心血进行研究,文章着重介绍了逆矩阵的四 种不同求法,即:初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵法、解方程组法。 最后对论文研究的总体思路进行了总结,进一步阐述了论文研究的重要意义。 关键词关键词: : 矩阵;逆矩阵;初等变换;伴随矩阵;矩阵方程 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 II 页页 Abstract We know that,Matrix is a
4、n indispensable mathematical tools in the modern natural science, engineering technology,social science and many other fields,As an important branch of the matrix , the inverse matrix also plays an important role .The inverse matrix theory is a very important new development of matrix theory in this
5、 century.Especially since the 1950s,the theory and calculation method of the inverse matrix has made considerable progress.For example,in probability and statistics,mathematical programming, numerical analysis , control theory,game theory and network theory and other fields.The application of the ma
6、trix is extensive. This article first describes the development and significance of the matrix and the inverse matrix and the important role of matrix in the field of modern science.In this paper, the author gives the finding of inverse matrix through use the definitions and properties of matrix.Man
7、y mathematicians make lots of works to find the method of finding inverse matrix. The article focuses on four different methods for finding the inverse matrix,such as elementary transformation,adjoining matrix,using matrix equation solve inverse matrix,matrix equation. Finally,the general idea of th
8、e article are summarized and the significance meaning are described . Key words: matrix;inverse matrix;elementary transformation;adjoining matrix; matrix equation 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 1 第一章第一章 绪论绪论 1.11.1 课题的意义及背景介绍课题的意义及背景介绍 矩阵是数学中的一个重要的基本概念,是代数学的一个主要研究对象,也是数学研 究和应用的一个重要工具。 “矩阵”这个词是由西
9、尔维斯特首先使用的,他是为了将数字 的矩形阵列区别于行列式而发明了这个术语。而实际上,矩阵在它的课题诞生之前就已 经发展的很好了。 18 世纪中期,数学家们开始研究二次曲线和二次曲面的方程简化问题,即二次型的 化简。在这一问题的研究中,数学家们得到了与后来的矩阵理论密切相关的许多概念和 结论。1748 年,瑞士数学家欧拉(LEuler,17071783)在将三个变数的二次型化为标 准型时,隐含地给出了特征方程的概念。1773 年,法国数学家拉格朗日 (JLLagrange,17361813)在讨论齐次多项式时引入了线性变换。1801 年德国数学家 高斯(CFGauss,1777 一 1855)
10、在算术研究中,将欧拉与拉格朗日的二次型理论进 行了系统的推广,给出了两个线性变换的复合,而这个复合的新变换其系数矩阵是原来 两个变换的系数矩阵的乘积。另外,高斯还从拉格朗日的工作中抽象出了型的等价概念, 在研究两个互逆变换的过程中孕育了两个矩阵的互逆概念。 1826 年,柯西在微积分在几何中的应用教程中讨论了二次型束的特征根使束的 行列式为零的情况,证明了当其中一个二次型对变数的所有非零实数值是正定的时,束 的特征根全为实数。 从 18 世纪中期到 19 世纪初,数学家们在研究二次型的过程中涉及到大量的线性变 换,得到了许多重要概念和结论。由于二次型和线性变换均可以使用矩阵来表示,所以 这些概
11、念和结论也就可以自然而然地移植到矩阵理论之中。因此二次型理论是矩阵思想 得以孕育的重要源泉之一。 “从逻辑上来说,矩阵的概念应先于行列式的概念,但在历史上却正好相反” 。18 世 纪中叶,数学家们开始用行列式的法则解线性方程组,在大量关于行列式的计算中用到 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 2 矩阵的一些基本性质。1815 年,柯西在一篇关于行列式理论的基础性论文中用缩写的记 号代表被其称之为“对称组”的矩阵。另外,在柯西有关行列式的工作中,还涉及 1, () n a 到正规矩阵、对称矩阵以及相似变换等问题。在相似行列式的研究中,柯西证明了相似 变换有相同的
12、特征根。1827 年,德国数学家雅可比(J.Jacobi,18041851)得出结论“斜对 称矩阵的秩是偶数” 。1843 年,德国数学家艾森斯坦(F.G.Eisenstein,18231852)用明确的 符号来表示两个变换和的复合,并在 1844 年的一篇论文中针对这种变换的复合STST 写道:“顺便地,在它的基础上可以建立一个算法,其中包括把乘除法以及乘幂的一般 运算规则应用到两个线性方程组的符号方程上。正确的符号方程总是可以得到,它思考 的中心问题是因子的顺序,即方程组复合的顺序往往不可以改变” 。很明显,艾森斯坦这 里所说的变换的一般运算规则实际上就是矩阵的运算法则,并指出矩阵运算不符
13、合交换 律。 由此看出,矩阵的概念还没有明确给出,而在行列式的计算中,矩阵作为一种工具 就已经开始自由地使用了。但那时的矩阵仅作为行列式的排列形式,在行列式的计算中 遵循了矩阵的运算法则。因此伴随线性方程组的求解而产生的行列式理论是矩阵思想的 里一个重要源泉。 1858 年,凯莱发表了重要文章矩阵论的研究报告 ,系统地阐述了矩阵的基本理论。 在该文中,他用单个的字母表示矩阵,定义了零矩阵、单位矩阵等特殊矩阵,定义了两 个矩阵相等、相加以及数乘矩阵,指出了矩阵加法的可交换性与可结合性,数与矩阵的 数乘等运算和算律。在该文中,凯莱从两个变换的复合给出两个矩阵乘积的定义,得出 矩阵乘法满足结合律一般
14、不满足交换律,推广了矩阵乘积的转置的一般性质。利用一般 的代数运算和矩阵运算的相似性得出矩阵的一些结论,他把方程组的解用矩阵的逆来表 示,给出“当时逆矩阵的概念就没有了” ,即当行列式为零时矩阵不可逆,并把这0A 一结论称为“当时矩阵是不定的” 。文章中凯莱还用矩阵的简化记法推出了方阵的0A 特征方程和特征根(特征值)的重要结论:“每一个矩阵都满足它的特征方程” ,这是“矩 阵理论中最著名的理论之一”引。凯莱对于二、三阶矩阵的情况给出证明,并且说明没 有必要去验证一般的矩阵。由于爱尔兰数学家哈密顿(WRHamilton,1805-1865)的 四元数理论涉及到的一个线性变换满足它的特征方程,所
15、以该结论被称为“凯莱一哈密 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 3 顿定理” 。凯莱的这一结论遵循矩阵乘法的特殊规则以及不满足交换律的特征,具有四元 数理论所不具备的将超复数当作矩阵看待的思想,为进一步将矩阵论与超复数相联系来 研究超复数代数提供了新的工具。 凯莱的矩阵论的研究报告的公开发表标志着矩阵理论作为一个独立数学分支的 诞生。作为矩阵理论的创立者,凯莱在矩阵理论的创立与发展中做了开创性的工作,他 是第一个把矩阵作为独立的概念提出来,并作为独立的理论加以研究的数学家。从矩阵 概念的引入、相关概念的定义、运算的定性与求法到矩阵一些重要结论的建立,凯莱关 于
16、这个课题发表了一系列研究成果,使得矩阵从零散的知识发展为系统完善的理论体系。 凯莱创立矩阵理论之后,数学家们并没有停止对矩阵的研究,在 19 世纪下半叶,许多数 学家在不同的数学领域进一步研究和发展着矩阵理论。其中西尔维斯特、弗罗伯纽斯和 约当等就是他们中的重要代表。 在矩阵论的发展史上,弗罗伯纽斯(G.Frobenius,1849-1917)的贡献是不可磨灭的。他 讨论了最小多项式问题,引进了矩阵的秩、不变因子和初等因子、正交矩阵、矩阵的相 似变换、合同矩阵等概念,以合乎逻辑的形式整理了不变因子和初等因子的理论,并讨 论了正交矩阵与合同矩阵的一些重要性质。1854 年,约当研究了矩阵化为标准
17、型的问题。 1892 年,梅茨勒(H.Metzler)引进了矩阵的超越函数概念并将其写成矩阵的幂级数的形式。 傅立叶、西尔和庞加莱的著作中还讨论了无限阶矩阵问题,这主要是适用方程发展的需 要而开始的。矩阵本身所具有的性质依赖于元素的性质,矩阵由最初作为一种工具经过 两个多世纪的发展,现在已成为独立的一门数学分支矩阵论。而矩阵论又可分为矩 阵方程论、矩阵分解论和逆矩阵论等矩阵的现代理论。矩阵的应用是多方面的,不仅在 数学领域里,而且在力学、物理、科技、现代自然科学、工程技术乃至社会科学等许多 领域都是一个不可缺少的工具。 因此作为矩阵的重要分支,逆矩阵的应用也相当广泛。可以说,凡是用到矩阵的地
18、方,都有可能用到逆矩阵。随着逆矩阵研究的深入,其应用的范围越来越广,在数理统 计、线性规划、经济学、数值分析、控制论、网络和测绘等领域的许多问题都需要用逆 矩阵来解决。在研究最小二乘问题,长方、病态线性、非线性问题,无约束、约束规划 问题,系统识别问题和网络问题等领域,逆矩阵更是不可缺少的研究工具。 1 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 4 1.21.2 课题的主要内容课题的主要内容 逆矩阵的求法有很多种,例如有:初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵 法、解方程组法 。作者通过借阅相关资料,与指导老师及同学探讨等方式针对矩阵不同 特点及不同结构归纳出
19、几种求法。 本文在第二章给出矩阵、逆矩阵定义及相关的性质。在第三章给出逆矩阵的求法及 例题,如:初等变换法、伴随矩阵法、利用矩阵方程求逆矩阵、解方程组法等。最后对 论文研究的总体思路进行了总结,进一步阐述了论文研究的重要意义。 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 5 第二章第二章 矩阵的基础知识矩阵的基础知识 2.12.1 矩阵的定义及性质矩阵的定义及性质 2.1.12.1.1 矩阵的定义矩阵的定义 定义定义 2.12.1 由个数排成行列(横为行,竖为列) ,并括以方括号(或圆括号)m nmn 的矩形数表 11121 21222 12 n n mmmn aaa
20、 aaa aaa 称为行列矩阵,简称矩阵。通常用大写的字母表示。有时为了表明一mnm n, ,A B C 个矩阵的行数与列数,用或来表示一个行列矩阵。矩阵中的元素一般 m n A ij m n Aa mn 用小写字母来表示,其中是位于矩阵中第 行第列交叉点上的元素,其中第一个数 ij a ij aij 称为它的行标,第二个数称为它的列标。ij 例如是一个矩阵,中元素。 4397 2531 0768 A 3 4A 132234 9,5,8aaa 特别的,当时,矩阵只有一行,即1m 11121n aaa 称为行矩阵。 当时,矩阵只有一列,即 1n 11 21 1m a a a 毕业论文 (设计)用
21、纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 6 称为列矩阵。 当时,矩阵的行数和列数相同,即mn 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa aaa 称为 n 阶方阵。在 n 阶方阵中,从左上角到右下角的对角线称为主对角线,从右上角到 左下角的对角线称为次对角线。主对角线的元素全为 1 其他元素全为 0 的 n 阶方阵,即 100 010 1 001 称为 n 阶单位方阵,记作。当一个矩阵中所有的元素全为 0 时,即 n Im n 000 000 000 m n 称为零矩阵,记作。O 2 定义定义 2.22.2 若两个矩阵,满足 ij s p Aa ij r q Bb
22、 (1)行数相同,即;sr (2)列数相同,即;pq (3)对应元素都相等,即。(1,2, ;1,2, ) ijij ab is jp 则称矩阵和矩阵相等,记作。ABAB 3 定义定义 2.32.3 若矩阵都是矩阵(同型矩阵) ,则称矩阵, ijij AaBb m nm n ,其中为矩阵与的和或差。记作 ij Cc (1,2,;1,2, ) ijijij cab im jnAB 。CAB 3 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 7 例例 2.12.1 已知矩阵 2112 34,54 , 5603 AB 求。,AB AB 解解 2 11231 354480 50
23、6359 AB 。 2 11 213 354428 506353 AB 定义定义 2.42.4 若矩阵为任意常数,则, ij m n Aak 。 11121 21222 12 n n ij m n mmmn kakaka kakaka kAka kakaka 即把数与矩阵中的每个元素相乘所得的矩阵称为数与矩阵的乘积(简称数乘矩阵)kAkA 。 在矩阵中每个元素前面都加上一个负号所到的矩阵,称为的负矩阵,记为。AAA 显然。( 1)AA 4 定义定义 2.52.5 设两个矩阵 , ijij m ss n AaBb 即 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 8 11
24、12111121 2122221222 1212 , sn sn mmmssssn aaabbb aaabbb AB aaabbb 则 A 与 B 的乘积是一个矩阵,记为。即m nCAB 11121 21222 12 n n mmmn ccc ccc C ccc 其中矩阵中的每一个元素为C 。 1 122ijijijissj ca ba ba b 注 由定义知 (1)要计算矩阵 A 与 B 的乘积,只有当左边矩阵 A 的列数与右边矩阵 B 的行数相等 时,才能计算; (2)两个矩阵的乘积是矩阵,它的行数等于左矩阵的行数,列数等于 m ss n AB m n C 右矩阵的列数; (3)乘积矩阵中
25、位于第 行第列的元素,等于的第 行元素与 B 的第CABij ij cAi 列元素对应相乘的代数和,简称行乘列法则。j 例例 2.22.2 已知矩阵 012 103 ,111 210 413 AB 计算。AB 解解 由定义知 1 00 1 3 41 1 0 ( 1)3 1 1 20 1 3 3 2 0 1 1 0 42 1 1 ( 1)0 12 2 1 1 0 3 CAB 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 9 。 12411 115 例例 2.32.3 已知矩阵 12 34 ,45 12 36 AB 计算与。ABBA 解解 (1)由于的列数为 2,的行数为
26、3,两者不等,因此无法计算。ABAB (2) 121 32 11 42 258 34 454 35 14 45 21726 12 363 36 13 46 21524 BA 例例 2.42.4 已知矩阵 1111 , 0022 AB 计算与。ABBA 解解 111133 002200 AB 。 111111 220022 BA 注 由上边两个例子可以看出,矩阵的乘法一般不满足交换律,在计算与时,ABBA 一个能计算,另一个可能没有意义(如例 2.3) ;即使与都能计算,两者也未必相ABBA 等(如例 2.4) 。特别地,若与都能计算,且,则称与是可交换矩阵。ABBAABBAAB 定义定义 2.
27、62.6 若一个阶方阵,满足,则称为对称矩阵,如nA T AAA 103 052 328 A 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 10 就是一个对称矩阵。 7 定义定义 2.72.7 n 阶方阵的元素按原排列形式构成的 n 阶行列式,称为方阵() ijm n Aa 的行列式,记为或,即AAdet A 11121 21222 12 n n nnnn aaa aaa A aaa 由阶方阵的行列式的元素的代数余子式构成的 nn() ijm n Aa A ij a( ,1,2, ) ij A i jn 阶方阵,记为,即 * A 11121 21222* 12 n n
28、nnnn AAA AAA A AAA 称为方阵 A 的伴随矩阵。 * A 6 定义定义 2.82.8 把一个矩阵m n 11121 21222 12 n n mmmn aaa aaa A aaa 的行与列的位置互换,从而得到一个矩阵,称为的转置矩阵。记为或。即n mA T A A 。 11211 12222 12 m mT nnmn aaa aaa A aaa 例如,若则。 11 05 , 24 A 102 154 T A 2.1.22.1.2 矩阵的性质矩阵的性质 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 11 性质性质 2.12.1 设为任意矩阵,可以验证矩阵的
29、加法满足下列规律: , ,A B Cm n (1)ABBA (2)。()()ABCABC 性质性质 2.22.2 设矩阵为任意的矩阵,为任意的实数,可以验证数乘矩阵满,A Bm n, k h 足下列规律: (1)()k ABkAkB (2)()kh AkAhA (3)()()kh Ak hA (4)。1 AA 性质性质 2.32.3 矩阵的乘法满足下列运算规律: (1)()()AB CA BC (2)(为常数)()()k ABkA Bk (3)。();()A BCABACBC ABACA 例例 2.52.5 已知矩阵 242448 , 361224 ABC 计算与。ABAC 解解 由矩阵运算法
30、则,可得 242400 361200 AB 244800 362400 AC 由此例可知,矩阵的乘法与数的乘法不一样,在矩阵的乘法中,但0A 0B 可能。同时也可以看出,但,这说明矩阵的乘法不满足消去率,0AB ABACBC 即由,不能得出。ABACBC 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 12 性质性质 2.42.4 矩阵的转置满足下列运算规律: (1)() TT AA (2)()T TT ABAB (3)(k 为常数)()T T kAkA (4)。()T TT ABB A 7 例例 2.62.6 已知矩阵 12331 012 ,11 11110 AB 求。
31、,() , TTTTT ABABABB A 解解 101 311 211 ; 110 321 1233143 0121111 1111032 TT AB AB 43 413 ()11 312 32 T T AB 。 413 () 312 TTT B AAB 2.22.2 逆矩阵的定义及性质逆矩阵的定义及性质 2.2.12.2.1 逆矩阵的定义逆矩阵的定义 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 13 定义定义 2.92.9 设为阶矩阵,如果存在阶矩阵,使得,则称是可AnnCACCAIA 逆的,叫做的逆矩阵,记作,即CA 1 A 。 11 AAA AI 8 2.2.
32、22.2.2 逆矩阵的性质逆矩阵的性质 性质性质 2.52.5 如果有逆矩阵,则其逆矩阵是唯一的。A 9 证明证明 设都是的逆矩阵,则,B CA,ABBAI ACCAI 于是 。()()BBIB ACBA CICC 性质性质 2.62.6 的逆矩阵的逆矩阵是,即。AA 11 ()AA 性质性质 2.72.7 如果阶矩阵,的逆矩阵都存在,那么它们乘积的逆矩阵也存在,且nAB 。 111 ()ABB A 证明证明 事实上, 111111 111111 ()() ()()() AB B AA BBAAIAAAI B AABBA A BB IBB BI 于是 。 111 ()ABB A 性质性质 2.
33、82.8 若可逆,则也可逆,并且。A T A 11 ()() TT AA 10 性质性质 2.92.9 若可逆,则。A 1 1 1 AA A 性质性质 2.102.10 若可逆,数,则也可逆,且。A0A 11 1 ()AA 第三章第三章 逆矩阵的求法逆矩阵的求法 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 14 3.1 初等变换法 定理定理 级矩阵为可逆的充分必要条件是它能表成一些初等矩阵的乘积:nA (3- 12n AQQQ 1) 由此即得 推论推论 3.13.1 两个矩阵等价的充分必要条件为,存在可逆的 级矩阵与可逆sn,A BsP 的级矩阵使nQ APBQ 把(
34、3-1)改写一下,有 (3- 111 21m QQ Q AE 2) 因为初等矩阵的逆矩阵还是初等矩阵,同时在矩阵的左边乘初等矩阵就相当于对作AA 初等行变换,由(3-2)有下面的推论 3.2 推论推论 3.23.2 可逆矩阵总可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。 以上的推论提供了一个求逆矩阵的方法。设是一级可逆矩阵。由推论 3.1、3.2An 有一系列初等矩阵使 1, , m PP (3- 1m PPAE 3) 由(3-3)即得 (3- 1 11mm APPPPE 4) (3-3) , (3-4)两个式子说明,如果用一系列初等行变换把可逆矩阵化成单位矩阵,A 那么同样地用这一系列初等行变换去
35、化单位矩阵,就得到。 1 A 把,这两个矩阵凑在一起,做成一个矩阵AEn n2nnAE 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 15 按矩阵的分块乘法, (3-3) , (3-4)可以合并写成 (3- 1 111mmm PP AEPPAPPEEA 5) (3-5)式提供了一个具体求逆矩阵的方法。作矩阵,用初等行变换把2nnAE 它的左边一半化成,这时,右边的一半就是,即E 1 A 。 1 AEEA 初等行变换 11 例例 3.13.1 已知方阵 34 12 A 求。 1 A 解解 先做 24 矩阵,然后对其施以初等行变换AE 12 34101201 1201341
36、0 rr AE 2 12 1 3 2 1201 1201 13 021301 22 r rr 21 2 1012 13 01 22 rr 所以 。 1 12 13 22 A 例例 3.23.2 已知方阵 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 16 201 121 132 A 求。 1 A 解解 作 36 矩阵,并对其施以初等行变换AE 12 201100121010 121010201100 132001132001 rr AE 12 1323 2 121010121010 043120011011 011011043120 rr rrrr 21 233 2 4
37、 101032101032 011011011011 001164001164 rr rrr 31 32 100132 010153 001164 rr rr 所以 。 1 132 153 164 A 我们发现,运用初等行变换可以对矩阵求逆,那么同样,我们也可以运用初等列变 换对矩阵求逆。 作矩阵,用初等列变换把它的上边一半化成,这时,下边的一半就是2n n A E E ,即 1 A -1 AE EA 初等列变换 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 17 例例 3.33.3 用初等列变换求逆矩阵 。 321 111 101 A 解解 作 63 矩阵,并对其施以
38、初等列变换 A E 321123100 111111112 101101122 100001001 010010010 001100123 A E 100100 100 110110 110 121001 122 111 001 001 222 012011111 121111 121 222 100100 010010 001001 1111 11 2222 011011 1111 11 2222 所以 。 1 121 1 022 2 121 A 6 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 18 例例 3.43.4 用初等列变换求逆矩阵 。 012 114 21
39、0 A 解解 作矩阵,并对其施以初等列变换6 3 A E 012102100 114114112 210120122 100010010 010100102 001001001 A E 100100 100 110110 110 121001 122 011111 012 101221 102 111 001001 222 100 010 001 211 421 31 1 22 所以 。 1 422 1 842 2 321 A 注 在此,我们还须指出以下两点 (1)应用初等变换求方阵 A 的逆矩阵时,不需要事先判断方阵 A 是否可逆,只需对 毕业论文 (设计)用纸 佳木斯大学教务处佳木斯大学教务处 第第 页页 19 矩阵施以初等变换。若 A 能化为 E,则就求得了;若 A 不能化为 E,即2nnAE 1 A 可知 A 不可逆。 (2)由上述可知,若不知 n 阶方阵 A 是否可逆,用上述初等行变换方法也可判断 A 是否可逆。 3.2 伴随矩阵法 根据定义 2.7,用伴随矩阵法求 n 阶方阵的逆矩阵有下述结论: n 阶方阵可逆的充分必要条件是其行列式,且。() ijm n Aa 0A 1* 1 AA A 6 例例 3.53.5 利用伴随矩
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