[高一数学]2013届高考数学第一轮-三角函数复习_新人教版 2.doc
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1、- 1 - 20132013 高中数学高中数学 第三章第三章 三角函数三角函数 【知识导读】 第第 1 1 课课 三角函数的概念三角函数的概念 【考点导读】 1 理解任意角和弧度的概念,能正确进行弧度与角度的换算 角的概念推广后,有正角、负角和零角;与终边相同的角连同角本身,可构成 一个集合ZkkS,360;把长度等于半径的圆弧所对的圆心角定义为 1 弧 度的角,熟练掌握角度与弧度的互换,能运用弧长公式rl及扇形的面积公式 Slr 2 1 (l为弧长)解决问题. 2 理解任意角的正弦、余弦、正切的定义. 任意 角 的概 念 角度制 与 弧度制 任意角 的 三角函 数 弧长与扇 形 面积公式 三
2、角函数 的 图象和性 质 和 角 公 式 差 角 公 式 几个三 角 恒等式 倍 角 公 式 同角三 角函数关 系 诱 导公 式 正弦定理 与余弦定理 解斜三角 形及其应用 化简、 计算、求 值 与证明 - 2 - 角的概念推广以后,以角的顶点为坐标原点,角的始边为x轴的正半轴,建立直角坐标 系,在角的终边上任取一点( , )P x y(不同于坐标原点),设OPr( 22 0rxy), 则的三个三角函数值定义为:sin,cos,tan yxy rrx 从定义中不难得出六个三角函数的定义域:正弦函数、余弦函数的定义域为R;正切函 数的定义域为|, 2 RkkZ 3 掌握判断三角函数值的符号的规律
3、,熟记特殊角的三角函数值 由三角函数的定义不难得出三个三角函数值的符号,可以简记为:一正(第一象限内全 为正值),二正弦(第二象限内只有正弦值为正),三切(第三象限只有正切值为正),四 余弦(第四象限内只有余弦值为正)另外,熟记0、 6 、 4 、 3 、 2 的三角函数值,对 快速、准确地运算很有好处. 4 掌握正弦线、余弦线、正切线的概念 在平面直角坐标系中,正确地画出一个角的正弦线、余弦线和正切线,并能运用正 弦线、余弦线和正切线理解三角函数的性质、解决三角不等式等问题 【基础练习】 1 885 化成2(02 ,)kkZ的形式是 2已知为第三象限角,则 2 所在的象限是 3已知角的终边过
4、点( 5,12)P ,则cos= , tan= 4 tan( 3)sin5 cos8 的符号为 5已知角的终边上一点( , 1)P a (0a),且atan,求sin,cos的值 解:由三角函数定义知,1a ,当1a 时, 2 sin 2 , 2 cos 2 ; 当1a 时, 2 sin 2 , 2 cos 2 【范例解析】 例 1.(1)已知角的终边经过一点(4 , 3 )(0)Paa a,求2sincos的值; (2)已知角的终边在一条直线3yx上,求sin,tan的值 分析:利用三角函数定义求解 13 6 12 第二或第四 象限5 13 12 5 正 - 3 - 解:(1)由已知4xa,
5、5ra当0a 时,5ra, 3 sin 5 , 4 cos 5 , 则 2 2sincos 5 ; 当0a 时,5ra , 3 sin 5 , 4 cos 5 ,则 2 2sincos 5 (2)设点( , 3 )(0)P aa a 是角的终边3yx上一点,则tan3; 当0a 时,角是第一象限角,则 3 sin 2 ; 当0a 时,角是第三象限角,则 3 sin 2 点评:要注意对参数进行分类讨论 例 2.(1)若sincos0,则在第_象限 (2)若角是第二象限角,则sin2,cos2,sin 2 ,cos 2 ,tan 2 中能确定是 正值的有_个 解:(1)由sincos0,得sin,
6、cos同号,故在第一,三象限 (2)由角是第二象限角,即22 2 kk ,得 422 kk , 4224kk,故仅有tan 2 为正值 点评:准确表示角的范围,由此确定三角函数的符号 例 3. 一扇形的周长为20cm,当扇形的圆心角等于多少时,这个扇形的面积最大?最 大面积是多少? 分析:选取变量,建立目标函数求最值 解:设扇形的半径为x,则弧长为(202 )lx,故面积为 2 1 (202 )(5)25 2 yx xx , 当5x 时,面积最大,此时5x ,10l ,2 l x , 所以当2弧度时,扇形面积最大 25 2 cm 点评:由于弧度制引入,三角函数就可以看成是以实数为自变量的函数
7、- 4 - 【反馈演练】 1若sincos且sincos0则在第_象限 2已知6,则点(sin,tan)A在第_象限 3已知角是第二象限,且( , 5)P m为其终边上一点,若 2 cos 4 m,则m的值为 _ 4将时钟的分针拨快30min,则时针转过的弧度为 5若46,且与 2 3 终边相同,则= 6已知 1 弧度的圆心角所对的弦长 2,则这个圆心角所对的弧长是_,这个圆心角 所在的扇形的面积是_ 7(1)已知扇形AOB的周长是 6cm,该扇形中心角是 1 弧度,求该扇形面积 (2)若扇形的面积为 8 2 cm,当扇形的中心角(0)为多少弧度时,该扇形周长最 小 简解:(1)该扇形面积 2
8、 2 cm; (2) 2 1 8 2 rly rl ,得 16 28 2yr r ,当且仅当2 2r 时取等号此时, 4 2l ,2 l r 二 三 3 12 16 3 1 1 sin 2 1 1cos1 - 5 - 第第 2 2 课课 同角三角函数关系及诱导公式同角三角函数关系及诱导公式 【考点导读】 1.理解同角三角函数的基本关系式;同角的三角函数关系反映了同一个角的不同三角函 数间的联系 2.掌握正弦,余弦的诱导公式;诱导公式则揭示了不同象限角的三角函数间的内在规律, 起着变名,变号,变角等作用 【基础练习】 1. tan600=_ 2. 已知是第四象限角, 5 tan 12 ,则sin
9、_ 3.已知 3 cos 22 ,且 2 ,则tan_ 4.sin15cos75+cos15sin105=_1_ 【范例解析】 例 1.已知 8 cos() 17 ,求sin(5 ),tan(3)的值 分析:利用诱导公式结合同角关系,求值 解:由 8 cos() 17 ,得 8 cos0 17 ,是第二,三象限角 若是第二象限角,则 15 sin(5 )sin 17 , 15 tan(3)tan 8 ; 若是第三象限角,则 15 sin(5 )sin 17 , 15 tan(3)tan 8 点评:若已知正弦,余弦,正切的某一三角函数值,但没有确定角所在的象限,可按角 的象限进行分类,做到不漏不
10、重复 例 2.已知是三角形的内角,若 1 sincos 5 ,求tan的值 分析:先求出sincos的值,联立方程组求解 解:由 1 sincos 5 两边平方,得 1 12sincos 25 ,即 24 2sincos0 25 3 5 13 3 - 6 - 又是三角形的内角,cos0, 2 由 2 49 (sincos) 25 ,又sincos0,得 7 sincos 5 联立方程组 1 sincos 5 7 sincos 5 ,解得 4 sin 5 3 cos 5 ,得 4 tan 3 点评:由于 2 (sincos)12sincos ,因此式子sincos, sincos,sincos三
11、者之间有密切的联系,知其一,必能求其二 【反馈演练】 1已知 5 sin 5 ,则 44 sincos的值为_ 2“ 2 1 sinA”是“A=30”的必要而不充分条件 3设02x,且1 sin2sincosxxx,则x的取值范围是 5 44 x 4已知 1 sincos 5 ,且 3 24 ,则cos2的值是 5(1)已知 1 cos 3 ,且0 2 ,求 2cos()3sin() 4cos()sin(2) 的值 (2)已知 1 sin() 64 x ,求 2 5 sin()sin () 63 xx 的值 解:(1)由 1 cos 3 ,得tan2 2 原式= 2cos3sin23tan 4
12、cossin4tan 5 22 2 (2) 1 sin() 64 x , 22 5 sin()sin ()sin()sin () 63626 xxxx 2 19 sin()cos () 6616 xx 6已知 4 tan 3 ,求 (I) 6sincos 3sin2cos 的值; (II) 2 1 2sincoscos 的值 5 3 7 25 - 7 - 解:(I) 4 tan 3 ;所以 6sincos 3sin2cos = 6tan1 3tan2 = 4 6() 1 7 3 4 6 3()2 3 (II)由 4 tan 3 , 于是 2 1 2sincoscos 222 2 sincost
13、an15 2sincoscos2tan13 第第 3 3 课课 两角和与差及倍角公式(一)两角和与差及倍角公式(一) 【考点导读】 1.掌握两角和与差,二倍角的正弦,余弦,正切公式,了解它们的内在联系; 2.能运用上述公式进行简单的恒等变换; 3.三角式变换的关键是条件和结论之间在角,函数名称及次数三方面的差异及联系,然 后通过“角变换”,“名称变换”,“升降幂变换”找到已知式与所求式之间的联系; 4.证明三角恒等式的基本思路:根据等式两端的特征,通过三角恒等变换,应用化繁为 简,左右归一,变更命题等方法将等式两端的“异”化“同” 【基础练习】 1.sin163 sin223sin253 si
14、n313 _ 2. 化简2cos6sinxx_ 3. 若f(sinx)3cos2x,则f(cosx)_ 4.化简: sinsin2 1 coscos2 _ 【范例解析】 例 .化简:(1) 42 2 1 2cos2cos 2 2tan()sin () 44 xx xx ; (2) (1 sincos )(sincos) 22 (0) 22cos (1)分析一:降次,切化弦 1 2 3cos2x 2 2cos() 3 x tan - 8 - 解法一:原式= 22 2 1 (2cos1) 2 2sin() 4 cos () 4 cos() 4 x x x x 22 (2cos1) 4sin()co
15、s() 44 x xx 2 cos 2 2sin(2 ) 2 x x 1 cos2 2 x 分析二:变“复角”为“单角” 解法二:原式 22 1 (2cos1) 2 1tan22 2(sincos ) 1tan22 x x xx x 2 2 cos 2 cossin 2(sincos ) cossin x xx xx xx 1 cos2 2 x (2)原式= 2 2 (2sincos2cos)(sincos) 22222 4cos 2 22 cos(sincos)coscos 2222 coscos 22 0,0 22 ,cos0 2 ,原式=cos 点评:化简本质就是化繁为简,一般从结构,名
16、称,角等几个角度入手如:切化弦, “复角”变“单角”,降次等等 【反馈演练】 1化简 2 2sin2cos 1 cos2cos2 tan2 2若sintan0xx,化简1 cos2x_ 3若 0 4 ,sin cos = ,sin cos = b,则a与b的大小关 系是_ 4若sincostan(0) 2 ,则的取值范围是_ 5已知、均为锐角,且cos()sin(),则tan= 1 . 6化简: 2 2 2cos1 2tan() sin () 44 ) 3 , 4 ( 2cosx ab - 9 - 解:原式= 2 2 2cos1 2sin() 4 cos () 4 cos() 4 cos2 2
17、sin() cos() 44 cos2 1 cos2 7求证: 222 sin 22coscos22cosxxxx 证明:左边 = 222 4sincos2coscos2xxxx 2222 2cos(2sin1 2cos)2cosxxxx =右边 8化简: 22 sinsin2sinsincos() 解:原式= 22 sinsin2sinsin(coscossinsin) 2222 sinsin2sinsincoscos2sinsin 2222 sin(1 sin)sin(1 sin)2sinsincoscos 2222 sincossincos2sinsincoscos 2 (sincoss
18、incos) 2 sin () 第第 4 4 课课 两角和与差及倍角公式(二)两角和与差及倍角公式(二) 【考点导读】 1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型:“给角求值”,“给值求值”,“给值求角” 【基础练习】 1写出下列各式的值: (1)2sin15 cos15 _;(2) 22 cos 15sin 15 _; (3) 2 2sin 151 _;(4) 22 sin 15cos 15 _1_ 2已知 3 (, ),sin, 25 则tan() 4 =_ 3求值:(1) 1tan15 1tan15 _;(2) 5 coscos 1212 _ 1 22
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