[高三数学]上海市格致中学2012届高三数学第三轮复习题型整理分析10部分.doc
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1、第一部分集合与函数1、在集合运算中一定要分清代表元的含义.举例1已知集,求.分析:集合P、Q分别表示函数与在定义域R上的值域,所以,.举例2函数,其中P、M是实数集R的两个非空子集,又规定:.给出下列四个判断:(1)若,则;(2)若,则;(3)若则;(4)若则.其中正确的判断有-( )A、1个; B、2个; C、3个; D、4个.分析:这是一道比较难的题,涉及到函数的概念,集合的意义.是函数的值域,是函数的值域.取,可知(1)、(3)不正确.由函数的定义可知,函数定义域内的任意一个值只能与一个函数值对应,所以若,只能是,此时,(2)正确.对于命题(4):设则且,若,显然有且,所以有;若,由则,
2、由,则.若有,则,所以,则,所以,则.同理可证,若,则有.(4)也正确,选B.2、空集是任何集合的子集,空集是任何非空集合的真子集.举例若且,求的取值范围.分析:集合A有可能是空集.当时,此时成立;当时,若,则,有.综上知,.注意:在集合运算时要注意学会转化等.3、充要条件的判定可利用集合包含思想判定:若,则A是B的充分条件;若,则A是B的必要条件;若且即,则A是B的充要条件.有时利用“原命题”与“逆否命题”等价,“逆命题”与“否命题”等价转换去判定也很方便.充要条件的问题要十分细心地去辨析:“哪个命题”是“哪个命题”的充分(必要)条件;注意区分:“甲是乙的充分条件(甲乙)”与“甲的充分条件是
3、乙(乙甲)”,是两种不同形式的问题.举例设有集合,则点的条件是点;点是点的条件.分析:集合M是圆外的所有点的集合,N是直线上方的点的集合.显然有.(充分不必要、必要不充分)4、掌握命题的四种不同表达形式,会进行命题之间的转化,会正确找出命题的条件与结论.能根据条件与结论判断出命题的真假.举例命题:“若两个实数的积是有理数,则此两实数都是有理数”的否命题是,它是(填真或假)命题.5、若函数的图像关于直线对称,则有或等,反之亦然.注意:两个不同函数图像之间的对称问题不同于函数自身的对称问题.函数的图像关于直线的对称曲线是函数的图像,函数的图像关于点的对称曲线是函数的图像.举例1若函数是偶函数,则的
4、图像关于对称.分析:由是偶函数,则有,即,所以函数的图像关于直线对称.或函数的图像是由函数的图像向右平移一个单位而得到的,的图像关于轴对称,故函数的图像关于直线对称.举例2若函数满足对于任意的有,且当时,则当时.分析:由知,函数的图像关于直线对称,因而有成立.,则,所以.即时.6、若函数满足:则是以为周期的函数.注意:不要和对称性相混淆.若函数满足:则是以为周期的函数.(注意:若函数满足,则也是周期函数)举例已知函数满足:对于任意的有成立,且当时,则.分析:由知:,所以函数是以2为周期的周期函数.,故意原式值为0.7、奇函数对定义域内的任意满足;偶函数对定义域内的任意满足.注意:使用函数奇偶性
5、的定义解题时,得到的是关于变量的恒等式而不是方程.奇函数的图像关于原点对称,偶函数图像关于y轴对称;若函数是奇函数或偶函数,则此函数的定义域必关于原点对称;反之,若一函数的定义域不关于原点对称,则该函数既非奇函数也非偶函数.若是奇函数且存在,则;反之不然.举例1若函数是奇函数,则实数;分析:注意到有意义,必有,代入得.这种特值法在解填空、选择题时若能灵活运用,则事半功倍.举例2若函数是定义在区间上的偶函数,则此函数的值域是.分析:函数是偶函数,必有,得;又由是偶函数,因而.即,所以此函数的值域为.8、奇函数在关于原点对称的区间内增减性一致,偶函数在关于原点对称的区间内增减性相反.若函数的图像关
6、于直线对称,则它在对称轴的两侧的增减性相反;此时函数值的大小取决于变量离对称轴的远近.解“抽象不等式(即函数不等式)”多用函数的单调性,但必须注意定义域.举例若函数是定义在区间上的偶函数,且在上单调递增,若实数满足:,求的取值范围.分析:因为是偶函数,等价于不等式,又此函数在上递增,则在递减.所以,解得.9、要掌握函数图像几种变换:对称变换、翻折变换、平移变换.会根据函数的图像,作出函数的图像.(注意:图像变换的本质在于变量对应关系的变换);要特别关注的图像.举例函数的单调递增区间为.分析:函数的图像是由函数的图像经过下列变换得到的:先将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的(或将函数的图像向上
7、平移1个单位)得到函数的图像,再将函数的图像作关于轴对称得到函数的图像,再将函数的图像向右平移个单位,得到函数的图像,再将函数的图像向下平移1个单位得到函数,最后将函数的图像在轴下方部分翻折到轴上方得到函数的图像.注意在变化过程中函数图像与坐标轴的交点的变化(尤其是与轴的交点不要搞错),从图像上可以看出此函数的单调递增区间是与.需要注意的是:函数图像变化过程:与变化过程:不同.前者是先作关于轴对称后平移,而后者是先平移后再作关于直线对称.10、研究方程根的个数、超越方程(不等式)的解(特别是含有参量的)、二次方程根的分布、二次函数的值域、三角函数的性质(包括值域)、含有绝对值的函数及分段函数的
8、性质(包括值域)等问题常利用函数图像来解决.但必须注意的是作出的图形要尽可能准确:即找准特殊的点(函数图像与坐标轴的交点、拐点、极值点等)、递增递减的区间、最值等.举例1已知函数,若不等式的解集不为空集,则实数的取值范围是.O1分析:不等式的解集不为空集,亦即函数的图像上有点在函数的图像的上方.函数的图像是轴上方的半支抛物线,函数的图像是过点斜率为的直线.当时直线与抛物线相切,由图像知:.(注意图中的虚线也满足题义)举例2若曲线与直线没有公共点,则应当满足的条件是 .分析:曲线是由与组成,它们与轴的交点为和,图像如图(实线部分).可以看出1-1O若直线曲线的图像没有公共点,此直线必与轴平行,所
9、以,.11、一条曲线可以作为函数图像的充要条件是:曲线与任何平行于y轴的直线至多只有一个交点.一个函数存在反函数的充要条件是:定义域与值域中元素须一一对应,反应在图像上平行于轴的直线与图像至多有一个交点.单调函数必存在反函数吗?(是的,并且任何函数在它的每一个单调区间内总有反函数).还应注意的是:有反函数的函数不一定是单调函数,你能举例吗?举例函数,(),若此函数存在反函数,则实数的取值范围是.分析:由函数存在反函数的充要条件是定义域与值域中的元素一一对应,平行于轴的直线与函数的图像至多只有一个交点.又由二次函数图像的对称轴为直线知:或必存在反函数,或必不存在反函数.当时如何讨论?注意到函数在
10、区间上递减,在上递增,所以只要或即可.亦即或.综上知,实数的取值范围是.12、求一个函数的反函数必须标明反函数的定义域,反函数的定义域不能单从反函数的表达式上求解,而是求原函数的值域.求反函数的表达式的过程就是解(关于的)方程的过程.注意:函数的反函数是唯一的,尤其在开平方过程中一定要注意正负号的确定.举例函数的反函数为.分析:令,则.因为,所以,则,.又原函数的值域为,所以原函数的反函数为.(若是从反函数表达式得求得就不是反函数的定义域).13、原函数的定义域是反函数的值域,原函数的值域是反函数的定义域;原函数与反函数的图像关于直线对称;若函数的定义域为A,值域为C,,则有.需要特别注意一些
11、复合函数的反函数问题.如反函数不是.举例1已知函数的反函数是,则函数的反函数的表达式是.分析:求函数的反函数是解方程的过程,即用表示然后将互换即得反函数的表达式.由可得.所以函数的反函数为.举例2已知,若,则.分析:由得,所以.14、判断函数的单调性可用有关单调性的性质(如复合函数的单调性),但证明函数单调性只能用定义,不能用关于单调性的任何性质,用定义证明函数单调性的关键步骤往往是因式分解.记住并会证明:函数的单调性. 举例已知函数在上是单调增函数,求实数的取值范围.分析:函数称为“耐克”函数,由基本不等式知:当时,函数的最小值是,当时等号成立.时,函数递减;时,函数递增.记住此结论在解选择
12、、填空等小题时用起来比较方便.函数在上递增,则,得.但若是大题推理就不能这样描述性的说明,必需要按函数单调性的定义有严格的论证.任设且.,由函数是单调增函数,则,而,则.所以对于且恒成立,因,故.需要说明的是:在考试中若“小题大做”则浪费时间,因为“小题”只要结果;而“大题小做”则失分,因为“大题”需要严格的论证过程.15、一元二次函数是最基本的初等函数,要熟练掌握一元二次函数的有关性质.一元二次函数在闭区间上一定存在最大值与最小值,应会结合二次函数的图像求最值.举例求函数在区间的最值.分析:求开口向上的二次函数在闭区间上的最小值要根据二次函数的对称轴与区间的位置关系分三种情况进行讨论,但求开
13、口向上的二次函数在闭区间上的最大值只要根据区间端点与对称轴之间的距离分两种情况进行讨论即可.,.16、一元二次函数、一元二次不等式、一元二次方程是不可分割的三个知识点.解一元二次不等式是“利用一元二次方程的根、结合一元二次函数的图像、写出一元二次不等式的解集”,可以将一元二次不等式的问题化归为一元二次方程来求解.特别对于含参一元二次不等式的讨论比较方便.还应当注意的是;一般地,不等式解集区间的端点值是对应方程的根(或增根).举例1已知关于的不等式的解集是,则实数的值为 .分析:若是从解不等式入手,还应考虑常数的正负进行讨论.如合理利用方程与不等式之间的关系则可迅速得到答案:解集端点值是方程的根
14、.则得,知.举例2解关于的不等式:.分析:首先要注意的是此不等式是否是一元二次不等式.当时,此不等式是恒成立的,则其解集为.当时,才是二次不等式.与其对应的方程为,根判别式.当,即或时,方程两根为;当,即时,方程有等根;当,即时,方程无实根.结合二次函数的图像知:时不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为;当时,不等式的解集为.第二部分不等式17、基本不等式要记住等号成立的条件与的取值范围.“一正、二定、三相等”,“积定和有最小值、和定积有最大值”,利用基本不等式求最值时要考虑到等号是否成立.与函数相关的应用题多有基本不等式的应用.举例已知正数满足,则的最小值为.分析:此类问
15、题是典型的“双变量问题”,即是已知两变量的一个关系式,求此两变量的另一代数式的最值(或取值范围)问题.其解决方法一是“减元”,即由关系中利用一个变量表示另一变量代入到所求关系式中,转化为一元函数的最值问题;另一方法是构造基本不等式.由,当且仅当等号成立,此时.18、学会运用基本不等式:.举例1若关于的不等式的解集是R,则实数的取值范围是;分析:由不等式的解集为,则大于的最大值.由绝对值不等式的性质知:,所以.举例2若关于的不等式的解集不是空集,则实数的取值范围是.分析:,知.19、解分式不等式不能轻易去分母,通常采用:移项(化一边为零)通分转化为整式不等式化所有因式中的变量系数为正,(即不等式
16、两边同除以变量系数,若它的符号不能确定即需要讨论)“序轴标根”(注意比较各个根的大小,不能比较时即需要讨论);解绝对值不等式的关键是“去绝对值”,通常有利用绝对值不等式的性质平方讨论.特别注意:求一个变量的范围时,若分段讨论的也是这个变量,结果要“归并”.举例解关于的不等式:.分析:原不等式化为:.注意到此不等式二次项系数含有变量,故要讨论.(1)当时,不等式的解集为;(2)当时,注意到此时对应的二次函数开口向下,对应方程两根,而,此时不等式的解集为;(3)当时,同样可得不等式的解集为.20、求最值的常用方法:用基本不等式(注意条件:一正、二定、三相等);二次函数;单调性;逆求法(包括判别式法
17、);换元法;数形结合.一般而言:在用基本不等式求最值因“不相等”而受阻时,常用函数的单调性;求二次函数(自变量受限制)的值域,先配方、再利用图像、单调性等;求分式函数的值域(自变量没有限制)常用“逆求”(即判别式法);求分式函数的值域(自变量受限制)通常分子、分母同除一个式子,变分子(分母)为常数.举例1已知函数的最大值不大于,又当时,求实数的值.分析:,则,又此二次函数开口向下,则有.知.注意到:开口向下的二次函数在闭区间上的最小值是区间一端点对应的函数值;同样开口向上的二次函数在闭区间上的最大值也是区间一端点对应的函数值.举例2求函数在区间上的最大值与最小值.分析:因为函数的定义域不是一切
18、实数,用判别式法所求的结果不一定是正确.可利用换元转化成基本不等式型的应用.设,则,.当时,取最小值4;当时,取最大值.所以函数在区间上的最大值为,最小值为.注意:此类函数的值域(最值)问题在解几的最值中经常涉及,要能熟练地掌握其解法.21、遇到含参不等式(或含参方程)求其中某个参数的取值范围通常采用分离参数法,转化为求某函数的最大值(或最小值);但是若该参数分离不出来(或很难分离),那么也可以整体研究函数的最值.特别注意:双变量问题在求解过程中应把已知范围的变量作为主变量,另一个作为参数.举例(1)已知不等式对于)恒成立,求实数的取值范围.(2)若不等式对于恒成立,求实数的取值范围.分析:(
19、1)由得:对于)恒成立,因,所以,当时等号成立.所以有.(2)注意到对于恒成立是关于的一次不等式.不妨设,则在上单调递减,则问题等价于,所以或,则取值范围为.第三部分三角函数22、若,则;角的终边越“靠近”轴时,角的正弦、正切的绝对值就较大,角的终边“靠近”轴时,角的余弦、余切的绝对值就较大.举例1已知,若,则的取值范围是.分析:由且,即知其角的终边应“靠近”轴,所以.举例2方程的解的个数为个.分析:在平面直角坐标系中作出函数与的图像,由函数都是奇函数,而当时恒成立.在时,所以两函数图像只有一个交点(坐标原点),即方程只有一个解.同样:当时,方程只有唯一解.23、求某个角或比较两角的大小:通常
20、是求该角的某个三角函数值(或比较两个角的三角函数值的大小),然后再定区间、求角(或根据三角函数的单调性比较出两个角的大小).比如:由未必有;由同样未必有;两个角的三角函数值相等,这两个角未必相等,如;则;或;若,则;若,则.举例1已知都是第一象限的角,则“”是“”的()A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件.分析:都是第一象限的角,不能说明此两角在同一单调区间内.如都是第一象限的角,但.选D.举例2已知,则“”是“”的()A、充分不必要条件;B、必要不充分条件;C、充要条件;D、既不充分又不必要条件.分析:注意到由,则可以看作是一三角形的两内角.选C.2
21、4、已知一个角的某一三角函数值求其它三角函数值或角的大小,一定要根据角的范围来确定;能熟练掌握由的值求的值的操作程序;给(一个角的三角函数)值求(另一个三角函数)值的问题,一般要用“给值”的角表示“求值”的角,再用两角和(差)的三角公式求得.举例1已知是第二象限的角,且,利用表示;分析:由是第二象限的角,知,.举例2已知,求的值.分析:由得:,则或.又,所以.由万能公式得,.知.25、欲求三角函数的周期、最值、单调区间等,应注意运用二倍角正(余)弦公式,半角公式降次即:;引入辅助角(特别注意,经常弄错)使用两角和、差的正弦、余弦公式(合二为一),将所给的三角函数式化为的形式.函数的周期是函数周
22、期的一半.举例函数的最小正周期为;最大值为;单调递增区间为;在区间上,方程的解集为.分析:由.所以函数的最小正周期为;最大值为2;单调递增区间满足,即;由,则,或得或,又由得解集为. 注意:辅助角的应用:.其中,且角所在的象限与点所在象限一致.26、当自变量的取值受限制时,求函数的值域,应先确定的取值范围,再利用三角函数的图像或单调性来确定的取值范围,并注意A的正负;千万不能把取值范围的两端点代入表达式求得.举例已知函数,求的最大值与最小值.分析:函数.由,则,所以函数的最大 、最小值分别为与.27、三角形中边角运算时通常利用正弦定理、余弦定理转化为角(或边)处理.有关的齐次式(等式或不等式)
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- 高三数学 数学 上海市 格致中学 2012 届高三 三轮 复习 题型 整理 分析 10 部分
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