[高三数学]山东数学理科07-11年高考题.doc
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1、三角函数(07理科)20 (本小题满分12分)如图,甲船以每小时海里的速度向正北方向航行,乙船按固定方向匀速直线航行,当甲船位于处时,乙船位于甲船的北偏西的方向处,此时两船相距20海里.当甲船航行20分钟到达处时,乙船航行到甲船的北偏西方向的处,此时两船相距海里,问乙船每小时航行多少海里?20【答案】解如图,连结,是等边三角形,在中,由余弦定理得,因此乙船的速度的大小为答:乙船每小时航行海里.(08理科)17(本小题满分12分)已知函数(,)为偶函数,且函数图象的两相邻对称轴间的距离为()求的值;()将函数的图象向右平移个单位后,再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函
2、数的图象,求的单调递减区间17解:()因为为偶函数,所以对,恒成立,因此即,整理得因为,且,所以又因为,故所以由题意得,所以故因此()将的图象向右平移个单位后,得到的图象,再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到的图象所以当(),即()时,单调递减,因此的单调递减区间为()(09理科)(17)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效) 设函数。()求函数的最大值和最小正周期;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()设A,B,C为的三个内角,若,且C为锐角,求。17. 解: (1)f(x)=cos(2x+)+sinx.=所以函数f(x)的最大值为,最小正周期. w.w.w.
3、k.s.5.u.c.o.m (2)=, 所以, 因为C为锐角, 所以,又因为在ABC 中, cosB=, 所以 , 所以w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .(10理科)(17)(本小题满分12分)高考资源网 已知函数,其图像过点。()求的值;() 将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,求函数在上的最大值和最小值。(17)本小题主要考察综合运用三角函数公式、三角函数的性质,进行运算、变形、转换和求解的能力,满分12分。解:()因为 所以 又 函数图像过点所以 即 又 所以 () 由()知 ,将函数的图像上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数的图像,可
4、知因为 所以 因此 故 所以 在上的最大值和最小值分别为和(2011年)17.(本小题满分12分) 在中,内角的对边分别为,已知,()求的值;()若,求的面积S。解:()在中,由及正弦定理可得,即则,而,则,即。另解1:在中,由可得由余弦定理可得,整理可得,由正弦定理可得。另解2:利用教材习题结论解题,在中有结论.由可得即,则,由正弦定理可得。()由及可得则,S,即。数列(07理科)17(本小题满分12分) 设数列满足(I)求数列的通项;(II)设求数列的前项和.17【答案】: (I)验证时也满足上式,(II) , , (08理科)19(本小题满分12分)将数列中的所有项按每一行比上一行多一项
5、的规则排成如下数表: 记表中的第一列数构成的数列为,为数列的前项和,且满足()证明数列成等差数列,并求数列的通项公式;()上表中,若从第三行起,第一行中的数按从左到右的顺序均构成等比数列,且公比为同一个正数当时,求上表中第行所有项的和19()证明:由已知,当时,又,所以,即,所以,又所以数列是首项为1,公差为的等差数列由上可知,即所以当时,因此()解:设上表中从第三行起,每行的公比都为,且因为,所以表中第1行至第12行共含有数列的前78项,故在表中第31行第三列,因此又,所以记表中第行所有项的和为,则(09理科)20(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)等比数列的前n项和为,已知对任
6、意的,点均在函数的图象上。()求r的值。()当b=2时,记 w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 证明:对任意的,不等式成立20. 解:因为对任意的,点,均在函数且均为常数的图像上.所以得,当时,当时,又因为为等比数列,所以,公比为,(2)当b=2时,, 则,所以下面用数学归纳法证明不等式成立. 当时,左边=,右边=,因为,所以不等式成立. 假设当时不等式成立,即成立.则当时,左边=所以当时,不等式也成立.由、可得不等式恒成立.(10理科)(18)(本小题满分12分)已知等差数列满足:,的前n项和为()求及;()令bn=(nN*),求数列的前n项和【解析】()设等差数列的公差为d,因为,所以
7、有,解得,所以;=。()由()知,所以bn=,所以=,即数列的前n项和=。【命题意图】本题考查等差数列的通项公式与前n项和公式的应用、裂项法求数列的和,熟练数列的基础知识是解答好本类题目的关键。(2011年)20. (本小题满分12分)等比数列中,分别是下表第一、二、三行中的某一个数,且中的任何两个数不在下表的同一列第一列第二列第三列第一行第二行第三行()求数列的通项公式;()若数列满足:,求数列的前项和解析:()由题意可知,公比,通项公式为;()当时,当时故另解:令,即则故.立体几何(07理科)19(本小题满分12分)如图,在直四棱柱中,已知,.(I)设是的中点,求证: ;(II)求二面角的
8、余弦值. 19【答案】:(I)连结,则四边形为正方形,且,为平行四边形,.(II) 以D为原点,所在直线分别为轴、轴、轴,建立空间直角坐标系,不妨设,则设为平面的一个法向量,由得,取,则. 设为平面的一个法向量,由得,取,则.由于该二面角为锐角,所以所求的二面角的余弦值为(08理科)20(本小题满分12分)如图,已知四棱锥,底面为菱形,平面,分别是的中点()证明:;PBECDFA()若为上的动点,与平面所成最大角的正切值为,求二面角的余弦值20()证明:由四边形为菱形,可得为正三角形因为为的中点,所以又,因此因为平面,平面,所以而平面,平面且,所以平面又平面,所以()解:设,为上任意一点,连接
9、由()知平面,PBECDFAHOS则为与平面所成的角在中,所以当最短时,最大,即当时,最大此时,因此又,所以,所以解法一:因为平面,平面,所以平面平面过作于,则平面,过作于,连接,则为二面角的平面角,在中,又是的中点,在中,又,在中,即所求二面角的余弦值为PBECDFAyzx解法二:由()知两两垂直,以为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又分别为的中点,所以,所以设平面的一法向量为,则因此取,则,因为,所以平面,故为平面的一法向量又,所以因为二面角为锐角,所以所求二面角的余弦值为(09理科)(18)(本小题满分12分)(注意:在试题卷上作答无效)如图,在直四棱柱中,底面ABCD为等腰梯形
10、,ABCD,AB=4,BC=CD=2,AB的中点。 ()证明:直线平面;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m ()求二面角的弦值。18. 解法一:(1)在直四棱柱ABCD-ABCD中,取A1B1的中点F1,E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D F1 O P 连接A1D,C1F1,CF1,因为AB=4, CD=2,且AB/CD,所以CDA1F1,A1F1CD为平行四边形,所以CF1/A1D,又因为E、E分别是棱AD、AA的中点,所以EE1/A1D,所以CF1/EE1,又因为平面FCC,平面FCC,所以直线EE/平面FCC.(2)因为AB=4, BC=CD=2, 、F是棱AB的中
11、点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形,取CF的中点O,则OBCF,又因为直四棱柱ABCD-ABCD中,CC1平面ABCD,所以CC1BO,所以OB平面CC1F,过O在平面CC1F内作OPC1F,垂足为P,连接BP,则OPB为二面角B-FC-C的一个平面角, 在BCF为正三角形中,在RtCC1F中, OPFCC1F, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 在RtOPF中,所以二面角B-FC-C的余弦值为.E A B C F E1 A1 B1 C1 D1 D x y z M 解法二:(1)因为AB=4, BC=CD=2, F是棱AB的中点,所以BF=BC=CF,BCF为正三角形, 因为AB
12、CD为等腰梯形,所以BAC=ABC=60,取AF的中点M,连接DM,则DMAB,所以DMCD,以DM为x轴,DC为y轴,DD1为z轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(,-1,0),F(,1,0),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(,0),E1(,-1,1),所以,设平面CC1F的法向量为则所以取,则,所以,所以直线EE/平面FCC. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (2),设平面BFC1的法向量为,则所以,取,则, w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 所以,由图可知二面角B-FC-C为锐角,所以二面角B-FC-C的余弦值为. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
13、 (10理科)(19)(本小题满分12分)如图,在五棱锥PABCDE中,PA平面ABCDE,ABCD,ACED,AEBC, ABC=45,AB=2,BC=2AE=4,三角形PAB是等腰三角形()求证:平面PCD平面PAC;()求直线PB与平面PCD所成角的大小;()求四棱锥PACDE的体积【解析】()证明:因为ABC=45,AB=2,BC=4,所以在中,由余弦定理得:,解得,所以,即,又PA平面ABCDE,所以PA,又PA,所以,又ABCD,所以,又因为,所以平面PCD平面PAC;()由()知平面PCD平面PAC,所以在平面PAC内,过点A作于H,则,又ABCD,AB平面内,所以AB平行于平面
14、,所以点A到平面的距离等于点B到平面的距离,过点B作BO平面于点O,则为所求角,且,又容易求得,所以,即=,所以直线PB与平面PCD所成角的大小为;()由()知,所以,又ACED,所以四边形ACDE是直角梯形,又容易求得,AC=,所以四边形ACDE的面积为,所以四棱锥PACDE的体积为=。【命题意图】本题考查了空间几何体的线面与面面垂直,线面的求解以及几何体的体积计算问题,考查了同学们的空间想象能力以及空间思维能力。=,(2011年)19. (本小题满分12分)在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形,平面,()若是线段的中点,求证:平面;()若,求二面角的大小几何法:证明:(),可知延长交于
15、点,而,则平面平面,即平面平面,于是三线共点,若是线段的中点,而,则,四边形为平行四边形,则,又平面,所以平面;()由平面,作,则平面,作,连接,则,于是为二面角的平面角。若,设,则,为的中点,在中,则,即二面角的大小为。坐标法:()证明:由四边形为平行四边形, ,平面,可得以点为坐标原点,所在直线分别为建立直角坐标系,设,则,.由可得,由可得,,则,而平面,所以平面;()()若,设,则, ,则,设分别为平面与平面的法向量。则,令,则,; ,令,则,。于是,则,即二面角的大小为。概率(07理科)18(本小题满分12分)设分别是先后抛掷一枚骰子得到的点数,用随机变量表示方程实根的个数(重根按一个
16、计).(I)求方程 有实根的概率;(II) 求的分布列和数学期望;(III)求在先后两次出现的点数中有6的条件下,方程方程 有实根的概率.18【答案】:(I)基本事件总数为,若使方程有实根,则,即。当时,;当时,;当时,;当时,;当时,;当时,,目标事件个数为因此方程 有实根的概率为(II)由题意知,则,故的分布列为012P的数学期望(III)记“先后两次出现的点数中有5”为事件M,“方程 有实根” 为事件N,则,.(08理科)18(本小题满分12分)甲、乙两队参加奥运知识竞赛,每队3人,每人回答一个问题,答对者对本队赢得一分,答错得零分假设甲队中每人答对的概率均为,乙队中3人答对的概率分别为
17、,且各人回答正确与否相互之间没有影响用表示甲队的总得分()求随机变量的分布列和数学期望;()用表示“甲、乙两个队总得分之和等于3”这一事件,用表示“甲队总得分大于乙队总得分”这一事件,求18()解法一:由题意知,的可能取值为0,1,2,3,且,所以的分布列为0123的数学期望为解法二:根据题设可知,因此的分布列为,因为,所以()解法一:用表示“甲得2分乙得1分”这一事件,用表示“甲得3分乙得0分”这一事件,所以,且互斥,又,由互斥事件的概率公式得解法二:用表示“甲队得分”这一事件,用表示“乙队得分”这一事件,由于事件,为互斥事件,故有由题设可知,事件与独立,事件与独立,因此09理科)(19)(
18、本小题满分12分) (注意:在试题卷上作答无效) 在某学校组织的一次蓝球定点投蓝训练中,规定每人最多投3次;在A处每投进一球得3分,在B处每投进一球得2分;如果前两次得分之和超过3分即停止投篮,否则投三次。某同学在A处的命中率为0.25,在B处的命中率为.该同学选择先在A处投一球,以后都在B处投,用表示该同学投篮训练结束后所得的总分,其分布列为 求的值;求随机变量的数学期量;w.w.w.k.s.5.u.c.o.m 试比较该同学选择都在B处投篮得分超过3分与选择上述方式投篮得分超过3分的概率的大小。19. 解:(1)设该同学在A处投中为事件A,在B处投中为事件B,则事件A,B相互独立,且P(A)
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