[高三数学]高中数学必修2知识点和例题讲义.doc
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1、第1讲 第1章 1.1.1 柱、锥、台、球的结构特征知识要点:结 构 特 征图例棱柱(1)两底面相互平行,其余各面都是平行四边形;(2)侧棱平行且相等.圆柱(1)两底面相互平行;(2)侧面的母线平行于圆柱的轴;(3)是以矩形的一边所在直线为旋转轴,其余三边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱锥(1)底面是多边形,各侧面均是三角形;(2)各侧面有一个公共顶点.圆锥(1)底面是圆;(2)是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴,其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体.棱台(1)两底面相互平行;(2)是用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分.圆台(1)两底面相互平行;(2)是用一个平
2、行于圆锥底面的平面去截圆锥,底面和截面之间的部分.球(1)球心到球面上各点的距离相等;(2)是以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体.1.下列说法错误的是( )A.多面体至少有四个面 B.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面为平行四边形C.长方体、正方体都是棱柱 D.三棱柱的侧面为三角形 答案:D2.一个棱柱有10个顶点,所有的侧棱长的和为60 cm,则每条侧棱长为_ cm. 答案:123.在本节我们学过的常见几何体中,如果用一个平面去截几何体,如果截面是三角形,那么这个几何体可能是_.答案:棱锥、棱柱、棱台、圆锥第2讲 1.1.2 简单组合体的结构特征例题精讲:【例1】在四棱锥
3、的四个侧面中,直角三角形最多可有( ). A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 选D.【例2】已知球的外切圆台上、下底面的半径分别为,求球的半径. 解:圆台轴截面为等腰梯形,与球的大圆相切,由此得梯形腰长为R+r,梯形的高即球的直径为,所以,球的半径为.第3讲 1.2.2 空间几何体的三视图例题精讲:【例1】画出下列各几何体的三视图:解:【例2】画出下列三视图所表示的几何体.解:【例3】如图,图(1)是常见的六角螺帽,图(2)是一个机器零件(单位:cm),所给的方向为物体的正前方. 试分别画出它们的三视图.解第第4讲 1.2.3 空间几何体的直观图知识要点:“直观图”最常用的画法是斜
4、二测画法,由其规则能画出水平放置的直观图,其实质就是在坐标系中确定点的位置的画法. 基本步骤如下:(1) 建系:在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴,得到直角坐标系,直观图中画成斜坐标系,两轴夹角为.(2)平行不变:已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观图中分别画成平行于x或y轴的线段.(3)长度规则:已知图形中平行于x轴的线段,在直观图中保持长度不变;平行于y轴的线段,长度为原来的一半.第5讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的表面积学习目标:了解棱柱、棱锥、台的表面积的计算公式(不要求记忆公式);能运用柱、锥、台的表面积进行计算和解决有关实际问题.知识要点:表面积相关公式表面积相关公式棱柱圆柱
5、 (r:底面半径,h:高)棱锥圆锥 (r:底面半径,l:母线长)棱台圆台(r:下底半径,r:上底半径,l:母线长)例题精讲:【例1】已知圆台的上下底面半径分别是2、5,且侧面面积等于两底面面积之和,求该圆台的母线长.解:【例2】一个正三棱柱的三视图如右图所示,求这个正三棱柱的表面积.解:.第6讲 1.3.1 柱体、锥体、台体的体积知识要点:1. 体积公式:体积公式体积公式棱柱圆柱棱锥圆锥棱台圆台2. 柱、椎、台之间,可以看成一个台体进行变化,当台体的上底面逐渐收缩为一个点时,它就成了锥体;当台体的上底面逐渐扩展到与下底面全等时,它就成了柱体. 因而体积会有以下的关系: .例题精讲:【例1】一个
6、长方体的相交于一个顶点的三个面的面积分别是2、3、6,则长方体的体积是 .解:设长方体的长宽高分别为,则,三式相乘得.所以,长方体的体积为6.【例2】一块边长为10的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下,然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器,试建立容器的容积V与x的函数关系式,并求出函数的定义域. 解:如图,设所截等腰三角形的底边边长为.在中,, 所以, 于是.依题意函数的定义域为.【例3】一个无盖的圆柱形容器的底面半径为,母线长为6,现将该容器盛满水,然后平稳缓慢地将容器倾斜让水流出,当容器中的水是原来的时,圆柱的母线与水平面所成的角的大小为 .解:容器中水的体积为.流出水
7、的体积为,如图,.设圆柱的母线与水平面所成的角为,则,解得.第7讲 1.3.2球的体积和表面积知识要点:1. 表面积: (R:球的半径). 2. 体积:.例题精讲:【例2】表面积为的球,其内接正四棱柱的高是,求这个正四棱柱的表面积.解:设球半径为,正四棱柱底面边长为,则作轴截面如图,又,.【例3】设A、B、C、D是球面上的四个点,且在同一平面内,AB=BC=CD=DA=3,球心到该平面的距离是球半径的一半,则球的体积是( ). ABCD【解】由已知可得,A、B、C、D在球的一个小圆上. AB=BC=CD=DA=3, 四边形为正方形. 小圆半径. 由得,解得. 球的体积. 所以选A.第8讲 2.
8、1.1 平面知识要点:1. 点在直线上,记作;点在平面内,记作;直线在平面内,记作.2. 平面基本性质即三条公理的“文字语言”、“符号语言”、“图形语言”列表如下:公理1公理2公理3图形语言文字语言如果一条直线上的两点在一个平面内,那么这条直线在此平面内.过不在一条直线上的三点,有且只有一个平面.如果两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公共直线.符号语言3.公理2的三条推论:推论1 经过一条直线和这条直线外的一点,有且只有一个平面; 推论2 经过两条相交直线,有且只有一个平面;推论3 经过两条平行直线,有且只有一个平面.例题精讲:【例1】如果一条直线与两条平行直线都相交,
9、那么这三条直线是否共面?【例2】空间四边形ABCD中,E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA上的点,已知EF和GH交于P点,求证:EF、GH、AC三线共点. 解:PEF,EF面ABC,P面ABC. 同理P面ADC. P在面ABC与面ADC的交线上,又 面ABC面ADC=AC, PAC,即EF、HG、AC三线共点.【例3】求证:两两相交且不过同一个点的三条直线必在同一平面内.已知:直线两两相交,交点分别为,求证:直线共面. 证明:因为A,B,C三点不在一条直线上,所以过A,B,C三点可以确定平面 因为A,B,所以AB 同理BC ,AC .所以AB,BC,CA三直线共面【例4】在正方体中,(1
10、)与是否在同一平面内?(2)点是否在同一平面内?(3)画出平面与平面的交线,平面与平面的交线. 解:(1)在正方体中, 由公理2的推论可知,与可确定平面,与在同一平面内. (2)点不共线,由公理3可知,点可确定平面, 点在同一平面内. (3), 点平面,平面,又平面,平面, 平面平面,同理平面平面第9讲 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系知识要点:1.空间两条直线的位置关系:2. 已知两条异面直线,经过空间任一点作直线,把所成的锐角(或直角)叫异面直线所成的角(或夹角). 所成的角的大小与点的选择无关,为了简便,点通常取在异面直线的一条上;异面直线所成的角的范围为,如果两条异面直线所成
11、的角是直角,则叫两条异面直线垂直,记作. 求两条异面直线所成角的步骤可以归纳为四步:选点平移定角计算.例题精讲:【例1】已知异面直线a和b所成的角为50,P为空间一定点,则过点P且与a、b所成角都是30的直线有且仅有( ). A. 1条 B. 2条 C. 3条 D. 4条解:过P作a,b,若Pa,则取a为,若Pb,则取b为这时,相交于P点,它们的两组对顶角分别为50和130. 记,所确定的平面为,那么在平面内,不存在与,都成30的直线 过点P与,都成30角的直线必在平面外,这直线在平面的射影是,所成对顶角的平分线其中射影是50对顶角平分线的直线有两条l和,射影是130对顶角平分线的直线不存在故
12、答案选B.【例2】如图正方体中,E、F分别为D1C1和B1C1的中点,P、Q分别为AC与BD、A1C1与EF的交点. (1)求证:D、B、F、E四点共面;(2)若A1C与面DBFE交于点R,求证:P、Q、R三点共线.证明:(1) 正方体中,. 又 中,E、F为中点, . , 即D、B、F、E四点共面.(2) , .又 , , . 即P、Q、R三点共线【例3】已知直线a/b/c,直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,求证:a、b、c、d四线共面.证明:因为a/b,由公理2的推论,存在平面,使得.又因为直线d与a、b、c分别相交于A、B、C,由公理1,.假设,则, 在平面内过点C作,因为b/c,
13、则,此与矛盾. 故直线.综上述,a、b、c、d四线共面.【例4】如图中,正方体ABCDA1B1C1D1,E、F分别是AD、AA1的中点.(1)求直线AB1和CC1所成的角的大小;(2)求直线AB1和EF所成的角的大小.解:(1)如图,连结DC1 , DC1AB1, DC1 和CC1所成的锐角CC1D就是AB1和CC1所成的角. CC1D=45, AB1 和CC1所成的角是45.(2)如图,连结DA1、A1C1, EFA1D,AB1DC1, A1DC1是直线AB1和EF所成的角. A1DC1是等边三角形, A1DC1=60,即直线AB1和EF所成的角是60.第10讲 2.1.3 直线与平面、平面
14、与平面位置关系知识要点:1. 直线与平面的位置关系:(1)直线在平面内(有无数个公共点);(2)直线与平面相交(有且只有一个公共点);(3)直线与平面平行(没有公共点). 分别记作:;.2. 两平面的位置关系:平行(没有公共点);相交(有一条公共直线).分别记作;.例题精讲:【例1】已知空间边边形ABCD各边长与对角线都相等,求异面直线AB和CD所成的角的大小. 解:分别取AC、AD、BC的中点P、M、N连接PM、PN,由三角形的中位线性质知PNAB,PMCD,于是MPN就是异面直线AB和CD成的角(如图所示).连结MN、DN,设AB=2, PM=PN=1.而AN=DN=,由MNAD,AM=1
15、,得MN=,MN2=MP2+NP2,MPN=90.异面直线AB、CD成90角.【例2】在空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是CB、CD的中点,若AC + BD = a ,ACBD =b,求.解:四边形EFGH是平行四边形, =2=.ABCDEFGH【例3】已知空间四边形ABCD中,E、H分别是AB、AD的中点,F、G分别是BC、CD上的点,且.求证:(1)E、F、G、H四点共面;(2)三条直线EF、GH、AC交于一点. 证明:(1) 在ABD和CBD中, E、H分别是AB和CD的中点, EHBD.又 , FGBD. EHFG. 所以,E、F、G、H四点共面.第11讲
16、 2.2.1 直线与平面平行的判定知识要点:1. 定义:直线和平面没有公共点,则直线和平面平行.2. 判定定理:平面外的一条直线与此平面内的一条直线平行,则该直线与此平面平行. 符号表示为:. 图形如右图所示.例题精讲:【例1】已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,E、F分别为AB、PD的中点,求证:AF平面PEC证明:设PC的中点为G,连接EG、FG. F为PD中点, GFCD且GF=CD. ABCD, AB=CD, E为AB中点, GFAE, GF=AE, 四边形AEGF为平行四边形. EGAF, 又 AF平面PEC, EG平面PEC, AF平面PEC.【例2】在正方体ABCD-A1B
17、1C1D1中,E、F分别为棱BC、C1D1的中点. 求证:EF平面BB1D1D. 证明:连接AC交BD于O,连接OE,则OEDC, OE=DC. DCD1C1, DC=D1C1 , F为D1C1的中点,ABC D E F GM O OED1F, OE=D1F, 四边形D1FEO为平行四边形. EFD1O. 又 EF平面BB1D1D, D1O平面BB1D1D, EF平面BB1D1D.【例3】如图,已知、分别是四面体 的棱、的中点,求证:平 面. 证明:如右图,连结,交于点,连结,在中,、分别是、中点, ,为中点, 为中点,在中,、为、中点, ,又平面,平面, 平面.点评:要证明直线和平面平行,只
18、须在平面内找到一条直线和已知直线平行就可以了. 注意适当添加辅助线,重视中位线在解题中的应用.【例4】如图,已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点,M、N分别是AB、PC的中点(1)求证:MN/平面PAD;(2)若,求异面直线PA与MN所成的角的大小.解:(1)取PD的中点H,连接AH,由N是PC的中点, NH. 由M是AB的中点, NHAM, 即AMNH为平行四边形. . 由, .(2) 连接AC并取其中点为O,连接OM、ON, OMBC,ONPA, 所以就是异面直线PA与MN所成的角,且MONO. 由,, 得OM=2,ON=所以,即异面直线PA与MN成30的角点评:已知中点,牢牢抓住中位
19、线得到线线平行,通过线线平行转化为线面平行. 求两条异面直线所成角,方法的关键也是平移其中一条或者两条直线,得到相交的线线角,通过解三角形而得.第12讲 2.2.2 平面与平面平行的判定知识要点:面面平行判定定理:如果一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行用符号表示为:.例题精讲:【例1】如右图,在正方体ABCDA1B1C1D1中,M、N、P分别是C1C、B1C1、C1D1的中点,求证:平面MNP平面A1BD.A1AB1BC1CD1DGEF证明:连结B1D1,P、N分别是D1C1、B1C1的中点, PNB1D1.又B1D1BD,PNBD. 又PN不在平面A1BD上,PN
20、平面A1BD.同理,MN平面A1BD. 又PNMN=N, 平面PMN平面A1BD.【例2】正方体ABCDA1B1C1D1中(1)求证:平面A1BD平面B1D1C;(2)若E、F分别是AA1,CC1的中点,求证:平面EB1D1平面FBD 证明:(1)由B1BDD1,得四边形BB1D1D是平行四边形,B1D1BD,又BD 平面B1D1C,B1D1平面B1D1C,BD平面B1D1C同理A1D平面B1D1C而A1DBDD,平面A1BD平面B1CD(2)由BDB1D1,得BD平面EB1D1取BB1中点G,AEB1G从而得B1EAG,同理GFADAGDFB1EDFNMPDCQBADF平面EB1D1平面EB
21、1D1平面FBD 【例3】已知四棱锥P-ABCD中, 底面ABCD为平行四边形. 点M、N、Q分别在PA、BD、PD上, 且PM:MA=BN:ND=PQ:QD. 求证:平面MNQ平面PBC. 证明: PM:MA=BN:ND=PQ:QD. MQ/AD,NQ/BP,而BP平面PBC,NQ 平面PBC, NQ/平面PBC.又ABCD为平行四边形,BC/AD, MQ/BC,而BC平面PBC,MQ 平面PBC, MQ/平面PBC.由MQNQ=Q,根据平面与平面平行的判定定理, 平面MNQ平面PBC.点评:由比例线段得到线线平行,依据线面平行的判定定理得到线面平行,证得两条相交直线平行于一个平面后,转化为
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