[其它]ch2 连续系统的时域分析.ppt
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1、微分方程的经典解 关于0-和0+初始值 零输入响应和零状态响应,2.1 LTI连续系统的响应,第二章 连续系统的时域分析,LTI连续系统的时域分析,归结为: 建立并求解线性微分方程 由于在其分析过程涉及的函数变量均为时间t,故称为时域分析法。这种方法比较直观,物理概念清楚,是学习各种变换域分析法的基础。,一、微分方程的经典解,y(n)(t) + an-1y (n-1)(t) + + a1y(1)(t) + a0y (t) = bmf(m)(t) + bm-1f (m-1)(t) + + b1f(1)(t) + b0f (t),微分方程的经典解:完全解 = 齐次解 + 特解。,1. 齐次解,由特
2、征方程求出特征根写出齐次解形式,注意重根情况处理方法。,举例,齐次解举例,解:系统的特征方程为,特征根,对应的齐次解为,2. 特解,根据微分方程右端函数式形式,设含待定系数的特解函数式代入原方程,比较系数定出特解。,激励f(t),响应y(t)的特解yp(t),举例,特解举例,如果已知: 分别求两种情况下此方程的特解。,例:给定微分方程式,解: (1)由于f(t)=t2,,故特解函数式为,将此式代入方程得到,这里,P2, P1, P0,,等式两端各对应幂次的系数应相等,于是有,联解得到,所以,特解为,(2)当f(t)= et 时,特解为yp(t)=P et ,这里,P是待定系数。 代入方程后有:
3、,3. 全解,完全解 = 齐次解 + 特解,由初始值定出齐次解中的待定常数Ci。,举例,齐次解的函数形式仅与系统本身的特性有关,而与激励f(t)的函数形式无关,称为系统的固有响应或自由响应; 特解的函数形式由激励确定,称为强迫响应。,到下一节:二,全解举例,例 描述某系统的微分方程为 y”(t) + 5y(t) + 6y(t) = f(t) 求(1)当f(t) = 2e-t,t0;y(0)=2,y(0)= -1时的全解; (2)当f(t) = e-2t,t0;y(0)= 1,y(0)=0时的全解。,解: (1) 特征方程为2 + 5+ 6 = 0 其特征根1= 2,2= 3。齐次解为 yh(t
4、) = C1e 2t + C2e 3t 当f(t) = 2e t时,其特解可设为 yp(t) = Pe t 将其代入微分方程得 Pe t + 5( Pe t) + 6Pe t = 2e t 解得 P=1 于是特解为 yp(t) = e t,全解为: y(t) = yh(t) + yp(t) = C1e 2t + C2e 3t + e t 其中 待定常数C1,C2由初始条件确定。 y(0) = C1+C2+ 1 = 2,y(0) = 2C1 3C2 1= 1 解得 C1 = 3 ,C2 = 2 最后得全解 y(t) = 3e 2t 2e 3t + e t , t0,(2)齐次解同上。当激励f(t
5、)=e2t时,其指数与特征根之一相重。故其特解为 yp(t) = (P1t + P0)e2t 代入微分方程可得 P1e-2t = e2t 所以 P1= 1 但P0不能求得。特解为 yp(t) = (t + P0)e2t,全解,全解为 y(t)= C1e2t + C2e3t + te2t + P0e2t = (C1+P0)e2t +C2e3t + te2t 将初始条件代入,得 y(0) = (C1+P0) + C2=1 ,y(0)= 2(C1+P0) 3C2+1=0 解得 C1 + P0 = 2 ,C2= 1 最后得微分方程的全解为 y(t) = 2e2t e3t + te2t , t0 上式第
6、一项的系数C1+P0= 2,不能区分C1和P0,因而也不能区分自由响应和强迫响应。,回举例、结论,二关于0-和0+初始值,若输入f(t)是在t=0时接入系统,则确定待定系数Ci时用t = 0+时刻的初始值,即y(j)(0+) (j=0,1,2,n-1)。 而y(j)(0+)包含了输入信号的作用,不便于描述系统的历史信息。 在t=0-时,激励尚未接入,该时刻的值y(j)(0-)反映了系统的历史情况而与激励无关。称这些值为初始状态或起始值。 通常,需要从已知的初始状态y(j)(0-)设法求得y(j)(0+)。,例1,例2,当微分方程右端含有冲激函数时,响应y(t)及其各阶导数中,有些在t=0处将发
7、生跃变。否则不会跃变。,0-和0+初始值举例1,例1:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2,y(0-)= 0,f(t)=(t),求y(0+)和y(0+)。,解:将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2(t) + 6(t) (1) 利用系数匹配法分析:上式对于t=0-也成立,在0-t0+区间等号两端(t)项的系数应相等。 由于等号右端为2(t),故y”(t)应包含冲激函数,从而y(t)在t= 0处将发生跃变,即y(0+)y(0-)。 但y(t)不含冲激函数,否则y
8、”(t)将含有(t)项。由于y(t)中不含(t),故y(t)在t=0处是连续的。 故 y(0+) = y(0-) = 2,对式(1)两端积分有,由于积分在无穷小区间0-,0+进行的,且y(t)在t=0连续, 故,于是由上式得 y(0+) y(0-) + 3y(0+) y(0-)=2 考虑 y(0+) = y(0-)=2 ,所以 y(0+) y(0-) = 2 , y(0+) = y(0-) + 2 =2,0-和0+初始值举例2,例2:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + f(t) 已知y(0-)=2,y(0-)= 0,f(t)=(t),求y(0
9、+)和y(0+)。,解:将输入f(t)=(t)代入上述微分方程得 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2” (t) + (t) (1) 利用系数匹配法分析: 令y”(t)=a” (t)+b(t)+C(t)+r1(t), r1(t)中不含冲激 y(t)= a(t)+b(t)+ r2(t), r2(t)=C(t)+ r1(-1)(t) y(t)= a(t)+ r3(t), r3(t)=b(t)+ r2(-1)(t) 将上述关系代入式(1),并整理得,a” (t)+b(t)+C(t)+r1(t) + 3a(t)+3b(t)+3r2(t) + 2a(t)+2r3(t)= 2” (t) +
10、(t),比较等式两边冲激项系数,有 a=2 b+3a=1 c+3b+2a=0,解得:a=2,b=-5,c=11,故,y”(t)=2” (t)-5(t)+ 11(t)+r1(t), y(t)= 2(t) -5(t) + r2(t), y(t)= 2(t)+ r3(t),,对y”(t)从0-到0+积分得,y(0+)-y(0-) =11, y(0+)=y(0-) +11= 11,对y(t)从0-到0+积分得,y(0+)-y(0-) =-5, y(0+)=y(0-)-5 = 2-5=-3,y”(t)=2” (t)-5(t)+ 11(t)+r1(t), y(t)= 2(t) -5(t) + r2(t),
11、 y(t)= 2(t)+ r3(t),,三.零输入响应和零状态响应,y(t) = yzi(t) + yzs(t) ,也可以分别用经典法求解。 注意:对t=0时接入激励f(t)的系统,初始值 yzi(j)(0+), yzs(j)(0+) (j = 0,1,2,n-1)的计算。 y(j)(0-)= yzi(j)(0-)+ yzs(j)(0-) y(j)(0+)= yzi(j)(0+)+ yzs(j)(0+) 对于零输入响应,由于激励为零,故有 yzi(j)(0+)= yzi(j)(0-) = y (j)(0-) 对于零状态响应,在t=0-时刻激励尚未接入,故应有 yzs(j)(0-)=0 yzs(
12、j)(0+)的求法下面举例说明。,例1,零输入响应和零状态响应举例,例:描述某系统的微分方程为 y”(t) + 3y(t) + 2y(t) = 2f(t) + 6f(t) 已知y(0-)=2,y(0-)=0,f(t)=(t)。求该系统的零输入响应和零状态响应。,解:(1)零输入响应yzi(t) 激励为0 ,故yzi(t)满足 yzi”(t) + 3yzi(t) + 2yzi(t) = 0 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=2 yzi(0+)= yzi(0-)= y(0-)=0 该齐次方程的特征根为1, 2,故 yzi(t) = Czi1e t + Czi2e 2t 代入初始值并解
13、得系数为Czi1=4 ,Czi2= 2 ,代入得 yzi(t) = 4e t 2e 2t ,t 0,(2)零状态响应yzs(t) 满足,yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 2(t) + 6(t) 并有 yzs(0-) = yzs(0-) = 0 由于上式等号右端含有(t),故yzs”(t)含有(t),从而yzs(t)跃变,即yzs(0+)yzs(0-),而yzs(t)在t = 0连续,即yzs(0+) = yzs(0-) = 0,积分得 yzs(0+)- yzs(0-)+ 3yzs(0+)- yzs(0-)+2,因此,yzs(0+)= 2 + yzs(0-)=2,对t0
14、时,有 yzs”(t) + 3yzs(t) + 2yzs(t) = 6 不难求得其齐次解为Czs1e-t + Czs2e-2t,其特解为常数3, 于是有 yzs(t)=Czs1e-t + Czs2e-2t + 3 代入初始值求得 yzs(t)= 4e-t + e-2t + 3 ,t0,2.2 冲激响应和阶跃响应,冲激响应 阶跃响应,一、冲激响应,1定义,由单位冲激函数(t)所引起的零状态响应称为单位冲激响应,简称冲激响应,记为h(t)。 h(t)=T0,(t),2系统冲激响应的求解,冲激响应的数学模型,响应及其各阶导数(最高阶为n次),对于LTI系统,可以用一n阶微分方程表示,激励及其各阶导数
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