2012届高三数学二轮复习05讲转化与化归思想.ppt
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1、第4讲 转化与化归思想 1.转化与化归思想的基本内涵是:解某些数学问题 时,如果直接求解较为困难,可通过观察、分析、 类比、联想等思维过程,恰当的运用数学方法进 行变换,将原问题A转化为另一个新问题B,而问 题B是相对较容易解决的或已经有固定解决程序的 问题,且问题B的解决可以得到原问题A的解答.这 种思想方法,我们称之为“转化与化归的思想方 法”.可用框图直观表示为:,其中的问题B是化归目标或化归方向,转化的手段 是化归策略. 2.化归与转化思想的核心是将生疏的问题转化为熟 知的问题,解题的过程就是一个缩小已知与求解 之间差异的过程,是未知向已知转化的过程,也 是目标向问题靠拢的过程.,待解
2、决的问题A,容易解决的问题B,问题A的解,问题B的解,观察、分析,类比、联想,应用,解决,还原,3.化归思想有着客观的基础,它着眼于揭示内在本 质联系,实现转化与化归,通过矛盾的转化,达 到解决问题的目的. 4.化归转化思想方法要遵循以下原则:(1)目标简 单化原则,即越转化,问题越简单,越利于解决 问题;(2)和谐统一原则,即转化和化归应满足 目标问题与待解决问题在量、形、关系上趋于统 一使问题的条件和结论更均匀和恰当,使待解决 问题在表现形式上,越发趋于和谐;(3)具体化 原则,化归方向越具体,越有利于问题的解决;,(4)回归原则,无论怎么转化,无论转化为什么 新的问题,都是手段,不是目的
3、,最终的目的是 解决原始问题.因而,最后要回归到原始问题上 来,否则,劳而无功. 5.数形结合思想体现了数与形的相互转化,函数与 方程思想体现了函数、方程、不等式间的相互转 化;分类讨论思想体现了局部与整体的相互转 化,这三种思想方法都是转化与化归思想的具体 体现.各种变换方法,分析法、反证法、待定系数 法、构造法等都是转化的手段.可以说,转化与化 归是数学思想方法的灵魂.,【例1】设y=(log2x)2+(t-2)log2x-t+1,若t在-2, 2上变化时,y恒取正值,求x的取值范围. 分析 由于“习惯”的影响,常把x看作自变量, 这样处理的话问题很复杂,由于t的取值范围已 知,可考虑变换
4、主元为t,这样自变量的范围已知 了,函数类型也简单了. 解 设y=f(t)=(log2x-1)t+(log2x)2-2log2x+1, 则f(t)是一次函数,当t-2,2时,f(t)0恒 成立.,解得log2x3. x的取值范围是 (8,+). 探究拓展 本题的关键是把t看成自变量,即将原 变量x与参数t变更关系,视t为主元,转换思考的 角度,从而使解法变得简易.若按照习惯,仍把x 看成自变量,问题就复杂多了.因此,在解题时要 多注意对题目中一些变量的理解,以便是灵活运 用.改变对“x”的看法,这将有助于解决问题.,变式训练1 (2009苏州市调研)设不等式2x- 1m(x2-1)对满足|m|
5、2的一切实数m都成立,求 实数x的取值范围. 分析 如果把不等式看做关于x的二次不等式,则 求解过程繁琐,如果把不等式看做是关于m的一次 不等式,则可以简化求解过程,这就是变量与常 量的转化. 解 令f(m)=-(x2-1)m+2x-1,m-2,2, 则原不等式等价于f(m)0恒成立(m-2,2). 由于f(m)是关于m的一次函数或常数函数,,【例2】(2008南通调研)已知向量a=(1- tanx,1),b=(1+sin 2x+cos 2x,0),记f(x)=ab. (1)求f(x)的解析式并指出它的定义域;,解 (1)a=(1-tan x,1), b=(1+sin2x+cos 2x,0),
6、 f(x)=ab=(1-tan x)(1+sin 2x+cos 2x),探究拓展 应该认真审视一下本例,解题过程中 使用了三角知识中的两种重要转化,一是三角函 数名称的转化,如(1)中将切函数化为弦函数, 二是角度的转化,如(2)中将目标单角化为条件 中的2倍角,便于使用条件,还有将2 角改写为 也是一种智慧之举,使得条件顺利得 以使用,问题顺利得以解决,“目标”意识很 明显,转化方法运用的恰到好处.备考者要从中认 真体会和学习使用.,变式训练2 已知 分析 不难发现 未知角可 化为已知角,整体地利用已知条件来解答问题. 解,【例3】已知不等式x+|x-2m|1的解集为R,求实数m 的取值范围
7、. 解 依题意,xR,x+|x-2m|1恒成立. 设f(x)=x+|x-2m| (xR),应满足f(x)min1. 将f(x)化简后得: 研究该分段函数知f(x)min=f(2m)=2m,(xR). 故只须2m1, 所以实数m的取值范围为,探究拓展 可以说,数学问题的解决过程,就是 问题转化过程的展现,转化成功了,问题解决也 就成功了.分析本例中的几处转化,便于备考者琢 磨和体会,首先是将不等式解集为R的问题等价转 化为代数式的值恒大于1的问题,其次再等价转化 为函数f(x)=x+|x-2m|最小值大于1的问题,再次转 化得分段函数,便于研究其值域.从中可以看出, 每一次转化都使问题趋于更简单
8、,更方便于问题 的解决,也就是向目的地更近了一步.,变式训练3 (2008南通调研)若不等式4x- 2x+1-a0在1,2上恒成立,则a的取值范围是 . 解析 设2x=t,1x2,2t4. 依题意有不等式t2-2t-a0,在2,4上恒成立. 即at2-2t,t2,4,设f(t)=t2-2t,t2,4. 依二次函数知识可知当t2,4时, 必须有af(t)min,即a0,a(-,0为所求.,0f(t)8.,(-,0,【例4】(2009江苏百校样本分析卷)已知某几何 体的三视图如下图所示,其中左视图是边长为2的 正三角形,主视图是矩形且AA1=3,设D为AA1的中点. (1)作出该几何体的直观图并求
9、其体积; (2)求证:平面BB1C1C平面BDC1; (3)BC边上是否存在点P,使AP平面BDC1?若 不存在,说明理由;若存在,证明你的结论.,(1)解 由题意可知该几何体为直三棱柱,且它 的直观图如图所示. 几何体的底面积S=3,高h=3,所求体积V= . (2)证明 连结B1C交BC1于E点, 则E为BC1、B1C的中点,连结DE. AD=A1D,AB=A1C1, BAD=DA1C1=90. ABDDA1C1, BD=DC1,DEBC1.,同理DEB1C,又B1CBC1=E, DE平面BB1C1C, 又DE平面BDC1,平面BDC1平面BB1C1C. (3)解 取BC的中点P,连结AP
10、,则AP平面 BDC1. 证明如下: 连结PE,则PE平行且等于AD, 四边形APED为平行四边形,APDE, 又DE平面BDC1,AP平面BDC1, AP平面BDC1. 当P为BC边上的中点时有AP平面BDC1.,探究拓展 转化是解决问题的关键与核心问题, 备考者可以以本例为载体细心揣摩转化思想方法 在解决立体几何问题中的作用.本例一开始,要将 三视图转化为主体直观图,实现条件与信息的转 化,以便于使用.第(2)题中为了证明面面垂 直,转化为证明一面过另一面的垂线(由证明平 面BDC1平面BB1C1C,转化为证明DM平面 BB1C1C),这又要转化为证明线线垂直,其中还 穿插了转化为“一条直
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- 2012 届高三 数学 二轮 复习 05 转化 思想
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