二面角求法大全.doc
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1、二面角求法之面面观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型,也是各地高考中的“热点”问题,虽然对此可说是“千锤百炼”,但我们必须面对新的情境、新的变化,如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说,求解二面角的大体步骤为:“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点,“求”依靠的计算,也决不能忽视,否则因小失大,功亏一篑,也是十分遗憾之事.1 定义法即在二面角的棱上找一点,在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”,万变不离其宗,“树高千尺,叶落归根”,求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”!.DB1图1AOA1CBD1C1O1
2、例1 正方体ABCD-A1B1C1D1中,求二面角A-BD-C1的正切值为 .分析与略解:“小题”不必“大做”,由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念,但通过几何直观又很容易理解其意义,这就叫做直觉思维,在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知COC1是二面角C-BD-C1的平面角,且tanCOC1=。将题目略作变化,二面角A1-BD-C1的余弦值为 .在图1中,A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角,设出正方体的棱长,用余弦定理易求得MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)QcosA1OC1=例2(2006年江苏试题)如
3、图2(1),在正三角形ABC中,E、F、P分别是AB、AC、BC上的点,满足AE:EB=CF:FA=CP:BP=1:2.如图2(2),将AEF折起到A1EF的位置,使二面角A1-EF-B成直二面角,连接A1B、A1P.()与()略;()求二面角B-A1P-F的余弦值。分析与略解:在例1中,图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用,在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q,连接EQ,则在正三角形ABC中,很容易证得BEQPEQPEFAEF,那么在图2(2)中,有A1Q=A1F.作FMA1P于M,连接QH、QF,则易得A1QPA1FP,QMPFMP,所以PMQ=PMF=90o,QM
4、F为二面角B-A1P-F的平面角,使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3,依次可求得A1P=,QM=FM=,在QMF中,由余弦定理得cosQMF=。练习:2011广东高考理18.(本小题满分13分) 如图5.在锥体P-ABCD中,ABCD是边长为1的菱形,且DAB=60,,PB=2, E,F分别是BC,PC的中点.PABCDFGPABCDFE(1) 证明:AD 平面DEF; (2) 求二面角P-AD-B的余弦值.解:(2) 由(1)知为二面角的平面角,在中,;在中,;在中,.2 三垂线法这是最典型也是最常用的方法,当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.A图3PBl此法最基本的一个模型
5、为:如图3,设锐二面角,过面内一点P作PA于A,作ABl于B,连接PB,由三垂线定理得PBl,则PBA为二面角的平面角,故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角,再在该角所在的三角形(最好是直角三角形,如图3中的RtPAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法,锐角的补角不就是钝角吗?图4B1AA1BlEF例3(2006年陕西试题)如图4,平面平面,=l,A,B,点A在直线l上的射影为A1,点B在l的射影为B1,已知AB=2,AA1=1,BB1=,求:()略;()二面角A1ABB1的正弦值.分析与略解:所求二面角的棱为AB,不
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