二阶微分方程应用习题课.ppt
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1、高阶微分方程,应用习题课,第七章 微分方程,二、二阶微分方程的实际应用,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法,2. 二阶线性微分方程的解法,一、两类高阶微分方程的解法,1. 可降阶微分方程的解法 降阶法,令,令,逐次积分求解,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数齐次情形, 代数法,特征方程:,实根,以上结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情形, 代数法,为常数,其中 为实数 ,为 m 次多项式 .,1),此结论可推广到高阶常系数线性微分方程 .,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,2. 二阶线性微分方程的解法,常系数非齐次情
2、形, 代数法,为常数,则可设特解:,其中,为特征方程的 k 重根 ( k = 0, 1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.,将此式代入原方程比较系数即可确定该特解.,的解.,例1,设函数,内具有连续二阶导,1) 试将 xx( y) 所满足的微分方程,变换为 yy(x) 所满足的微分方程 ;,2) 求变换后的微分方程满足初始条件,数, 且,解,上式两端对 x 求导, 得,1) 由反函数的导数公式知,(2003考研),代入原微分方程得,2) 方程的对应齐次方程的通解为,设的特解为,代入得 A0,从而得的通解:,由初始条件,得,故所求初值问题的解为,二、微分方程的应用,1 . 建立数学模型 列微分
3、方程问题,建立微分方程 ( 共性 ),利用物理规律,利用几何关系,确定定解条件 ( 个性 ),初始条件,边界条件,可能还有衔接条件,2 . 解微分方程问题,3 . 分析解所包含的实际意义,例2,解,欲向宇宙发射一颗人造卫星,为使其摆脱地球引,力,初始速度应不小于第二宇宙速度,试计算此速度.,设人造地球卫星质量为 m , 地球质量为 M ,卫星,的质心到地心的距离为 h ,由牛顿第二定律得:,(G 为引力系数),则有初值问题:,又设卫星的初速度,代入原方程, 得,两边积分得,利用初始条件, 得,因此,注意到,为使,因为当h = R (在地面上) 时, 引力 = 重力,即,代入即得,这说明第二宇宙
4、速度为,练习题,从船上向海中沉放某种探测仪器, 按探测要求,需确定仪器的下沉深度 y 与下沉速度 v 之间的函数关,系.,设仪器在重力作用下从海平面由静止开始下沉, 在,下沉过程中还受到阻力和浮力作用, 设仪器质量为 m,体积为B , 海水比重为 ,仪器所受阻力与下沉速度成,正比 , 比例系数为 k ( k 0 ) ,试建立 y 与 v 所满足的,微分方程, 并求出函数关系式 y = y (v) . (1995考研 ),提示: 建立坐标系如图.,质量 m 体积 B,由牛顿第二定律,重力,浮力,阻力,初始条件为,用分离变量法解上述初值问题得,得,注意:,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0.
5、,例3 有一电路如图所示,电阻 R 和电,解 列方程 .,已知经过电阻 R 的电压降为R i ;,经过 L的电压降为,因此有,即,初始条件:,由回路电压定律:,其中电源,求电流强度,感 L 都是常量,解方程:,由初始条件:,得,利用一阶线性方程解的公式可得,因此所求电流函数为,解的意义:,求电容器两两极板间电压,练习题,联组成的电路, 其中R , L , C 为常数 ,所满足的微分方程 .,解 设电路中电流为 i(t),的电量为 q(t) ,自感电动势为,由电学知,根据回路电压定律:,设有一个电阻 R , 自感L,电容C 和电源E串,极板上,在闭合回路中, 所有支路上的电压降为 0,串联电路的
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