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1、两条直线的位置关系(2),一直线系,一般地说,具有某种共同属性的一类直线的集合,称为直线系,它的方程叫直线系方程,直线系方程中除含变量x,y以外,还可以根据具体条件取不同值的变量,简称参数.,1. 经过定点的直线系方程:,(1)过定点P(x0, y0)的直线yy0=k(xx0)(k为参数)是一束直线( 方程中不包括与y轴平行的那一条)(即x=x0), 所以yy0=k(xx0)是经过点P(x0, y0)的直线系方程;,(2)直线y=kx+b ,(其中k为参数,b为常数),它表示过定点(0,b)的直线系,但不包括y轴(即x=0);,(3)经过两条直线交点的直线系方程:l1:A1x+B1y+C1=0
2、 (A12+B120)与l2:A2x+B2y+C2=0(A22+B220)交点的直线系为m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(其中m、n为参数,m2+n20),当m=1,n=0时,方程即为l1的方程; 当m=0,n=1时,方程即为l2的方程. 上面的直线系可改写成 (A1x+B1y+C1)+(A2x+B2y+C2)=0(其中为参数), 但是方程中不包括直线l2,这个参数方程形式在解题中较为常用.,m(A1x+B1y+C1)+n(A2x+B2y+C2)=0,(其中m、n为参数,m2+n20),直线系方程:,2. 平行直线系:,直线y=kx+b (其中k为常数,b为参数),
3、如直线y=3x+b表示的是斜率为3的所有直线,这样的直线系方程叫做平行直线系方程。,(1)解: 设过两直线交点的直线方程为:,将点(2,1)代入方程,得:,故所求直线方程为:,x+2y4=0,解得:,(1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x4y+5=0垂直。,例1: 求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程。,(1)解2: 联立方程组,过两点(2,1)、(0,2)的直线方程为:,即 x+2y4=0为所求.,解得两线的交点:(0,2),(2)解: 将(1)中所设的方程变为:,解得所求直线的斜率为:,由已知得:,故所求直线方程为:,4x+3y6=0,解得:,(
4、1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x4y+5=0垂直。,例1: 求过两直线x2y+4=0和x+y2=0的交点,且满足下列条件的直线l的方程。,设和直线3x4y+5=0垂直的方程为:,将点(0,2)代入上式解得: m=6,(2)解2: 联立方程组,故直线的方程为:4x+3y6=0,4x+3y+m=0,解得两线的交点:(0,2),例2设三条直线:x2y=1,2x+ky=3,3kx+4y=5交于一点,求k的值.,解:解方程组:,解得,即前两条直线的交点为,因为三直线交于一点,所以第三条直线必过此定点,,故,解得k=1或k=,例3. 已知直线(a2)y=(3a1)x1. (1)求证无论a为何值,
5、直线总过第一象限; (2)为使这直线不过第二象限,求a的范围.,解: (1)将方程整理得为 a(3xy)+(x+2y1)=0,,由直线系方程知对任意实数a,该直线恒过直线3xy=0与x2y+1=0的交点。,联立3xy=0与x2y+1=0解得,直线恒过第一象限内的定点( );,(2)当a=2时,直线为 x=,此时该直线不过第二象限 。,当a2时 ,直线方程化为:,若直线不过第二象限,则满足,解得a2 ,,综上得,当a2时,直线不过第二象限,例4. 下面三条直线l1:4xy40,l2:mxy0,l3:2x3my40不能构成三角形,求m的取值集合,解:(1)三条直线交于一点时:,由,解得l1和l2的
6、交点A的坐标,由A点在l3上可得,解之m 或m 1,(2)至少两条直线平行或重合时:,l1、l2、l3至少两条直线斜率相等,这三条直线中至少两条直线平行或重合,,当m4时,l1l2;,当m 时,l1l3;,综合(1)、(2)可知, 当m1, , ,4时,三条直线不能组成三角形,因此m的取值范围是,例5. P1(x1,y1)是直线 l:f(x,y)=0上一点,P2(x2,y2)是直线 l 外的一点,则方程f(x,y)+f(x1,y1)+f(x2,y2)=0所表达的直线与 l 的关系是( ) (A)重合 (B)平行 (C)垂直 (D)位置关系不定,B,练习题:,1过两直线3x+y1=0与x+2y7
7、=0的交点,并且与第一条直线垂直的直线方程是( ) (A)x3y+7=0 (B)x3y+13=0 (C)2x7=0 (D)3xy5=0,B,2过点P(1,4)和Q(a,2a+2)的直线与直线2xy3=0平行,则a的值( ) (A)a=1 (B)a1 (C)a=1 (D)a1,B,3直线2x+y+m=0和x+2y+n=0的位置关系是( ) (A)平行 (B)垂直 (C)相交但不垂直 (D)不能确定,与m,n取值有关,C,4经过两条直线2x+y8=0和x2y+1=0的交点,且平行于直线4x3y7=0的直线方程是 .,4x3y6=0,5直线ax+4y2=0与直线2x5y+c=0垂直相交于点(1,m),则a= ,c= ,m= .,10,12,2,例1求经过下列两直线的交点且斜率为2的直线的方程。 l1:3x+4y2=0,l2:2x+y+2=0.,解1:解方程组,又直线的斜率为2,根据点斜式方程得,y2=2(x+2)即2xy+6=0.,得,解2:设直线的方程是,(3x+4y2)+(2x+y+2)=0,即(3+2)x+(4+)y2+2=0.,该直线的斜率,解得=,代入上述方程得2xy+6=0.,对称性问题:,1点对称:,对称性问题:,2轴对称:,1.已知ABC中,B(1,2),BC边上的高线AD方程为 x-2y+1=0 ,角A平分线y=0,求AC,BC边所在直线方程.,
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