函数平方逼近多项式的均方误差计算.doc
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1、函数平方逼近多项式的均方误差计算实验要求:设(1) 求连续函数在区间-1,1上的3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;(2) 在区间-1,1上取5个等距结点,求的离散3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;(3) 在区间-1,1上取9个等距结点,求的离散3次最佳平方逼近多项式,计算均方误差;(4) 比较和,应如何合理地定义离散情况下的均方误差?该定义(1)中的有何关系?实验步骤:(1) 利用legendre正交多项式作在-1,1上的最佳平方逼近,先计算,=0,1,2,3。 由方程组计算出系数解得系数为 由以上系数和legendre正交函数簇可得在 -1,1上的三次最佳平方逼近多项式为: 均方误差
2、:和多项式在区间-1,1上的图形如下所示:(2) 在区间-1,1上等距的取5个点-1.0000-0.500000.50001.00000.03850.13791.00000.13790.0385由法方程,得到如下方程组:解得系数为由此得到 =均方误差 =0.5945和多项式在区间-1,1上的图形如下所示:(3) 在区间-1,1上等距的取9个点-1.0000-0.7500-0.5000-0.250000.25000.50000.75001.00000.03850.06640.13790.39021.00000.39020.13790.06640.0385由法方程,得到如下方程组:解得系数为由此得到 均方误差 和多项式在区间-1,1上的图形如下所示:(4) 由(2)、(3)可以看到,这意味着在该均方误差定义下,得到的的信息越多,反而拟合出的曲线误差越大。可以将离散情况下均方差定义为 其中是和之间的距离,,采用均匀分布,在区间a,b上n个采样点,=,在此定义下,a,b=-1,1时,=0.4203,=0.3183,有,并且有:当n趋近于无穷时,=
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