工程矩阵往年试题分析.doc
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1、第一章1.(20%)已知的子空间, 分别求,的一组基及它们的维数。2.(18%)设上的线性变换定义为:, 其中,(1) 求在的基下的矩阵;(2) 分别求的特征值及相应的特征子空间的一组基及它们的维数;(3) 给出的最小多项式;(4) 问:是否存在的基,使得的矩阵为对角阵?为什么?3.(20%)设上的线性变换定义为:, 其中,表示矩阵的迹。(1) 求在的基下的矩阵;(2) 求的值域及核子空间的基及它们的维数;(3) 问:+是否为直和?为什么?4.(20%)假设矩阵,在上定义映射如下:对任意, (1) 证明:是上的线性变换;(2) 求在的基下的矩阵;(3) 求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数
2、;(4) 问:是否成立?为什么?(5) 试求的Jordan标准形,并写出的最小多项式;(6) 问:能否找到的基,使得的矩阵为对角阵?为什么?5. (16%)上的线性变换定义如下:,(1) 求在的基下的矩阵;(2) 求的值域及核子空间的各一组基及它们的维数;(3) 问:是否成立?为什么?6.(8%)设为线性空间上的线性变换,且. 试证:;7. 若阶方阵与满足:. ; . ; . 则(证明时请注明每一步的理由).第二章1.(10%)设的子空间=,。试求,使得。?2. 在上定义内积。的子空间。试求,使得。3.(10%)假设,的由生成的子空间,。在中求向量,使得。4.(10%)设是一维欧氏空间,是一单
3、位向量,是一参数,上的线性变换定义为:, 问:当取何值时,是正交变换?5. 记。定义上先行变换如下:(1)求的值域的一组基,并给出的两个不同的子空间,使得;(2) 问:是否为正交变换?为什么?第三章1. 已知的特征多项式与最小多项式都是,分别求及的Jordan标准形. 2.(8%)已知阶方阵满足,且的秩是,求.3.(12%)设矩阵,。(1) 根据的不同的值,讨论矩阵的所有可能的Jordan标准形;(2) 若与是相似的,问:参数应满足什么条件?试说明你的理由。4. 假设矩阵的特征多项式及最小多项式都等于,并且。(1) 分别给出和的Jordan标准形;(2) 问:与是否相似?为什么?5. 证明:若
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