大学数学与中学数学的联系.ppt
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1、大学数学与中学数学的联系,华东师范大学数学系 陈月兰,E-mail:,2008.11.17山东淄博初中骨干教师,图形的对称与群 数系的扩充 同余 数学证明,一.对称 1.1.人们身边充满了对称: 比如:,对称与群,对称与群,以上我们看到各种各样的“对称”,得到了感性认识,下面(主要是封闭的平面图形)要考虑如何把它们当中共同的本质抽象出来,用数学语言理性地描述对称。 什么是对称的共性?什么是对称的本质? 下面我们先对“平面图形的对称”进行分析,再对“元多项式的对称”进行分析,继而把它们综合起来,得到关于“对称”的统一的本质。,对称与群,二:平面图形的对称 2.1 在运动中看 “对称”,正方形绕中
2、心旋转,顺时针旋转90,r1,如果看颜色 它当然变了 如果只看形状呢?,定理1(几何形式M.Chasles(1793-1880))平面的运动有且仅有下列三种: 沿任一给定向量的平移; 以任意点为中心的旋转; 绕某以直线作翻摺后再沿该直线上的一个向量作一平移(包括作纯翻摺)。,对称与群,抽象观点与具体例子的对照,对称与群,描述3元多项式对称性强弱的一种量化的方法. 这就是把所有使3元多项式不变的“3元置换”放在一起, 构成一个集合,记为S(f),称为f的“对称集”. S(f)中元素个数|S(f)|是对f的对称性的量化描述.,群的定义(定义4),所谓群,是指一个特定的集合,该集合上的一种运算满足一
3、定的性质. 具体来说,即: G是一个群,是指 (1) G是一个集合; (2)存在二元运算(记为 ),它是 的一个映射; (3)关于二元运算满足群公理 (i)结合性公理 对的任意元素 ,都有 ; (ii)单位元素公理 在G中存在元素,使得对G中任何元素,都 有 (iii)逆元素公理 对G的任何元素,都存在G中的唯一元素 ,使得.,群在中学数学中的实例,(1)全体整数、全体有理数、全体实数、全体复数,关于通常的加法都构成群,单位元是0,a的逆元素是-a. 正有理数全体,正实数全体,关于通常的乘法也都构成群,单位元都是1, a的逆元素是1/a. (3)由整数1和1组成的集合, 关于乘法构成群。,生活
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