方差分析-统计学原理.ppt
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1、t检验法适用于两样本平均数的差异检验, 但 需进行多个平均数间的差异显著性检验。 这时若仍采用t检验法就不适宜。 处理这类问题通常采用方差分析方法。,方差分析,(Analysis of variance简称ANOVA),用于推断多个总体均数有无差异,例在饲料养鸡增肥的研究中,某饲料研究所提出三种饲料配方: A1是以鱼粉为主的饲料, A2是以槐树粉为主的饲料, A3是以苜蓿粉为主的饲料。 为比较三种饲料的效果,特选 24 只相似的雏鸡随机均分为三组,每组各喂一种饲料,60天后观察它们的重量。试验结果如下表所示:,鸡饲料试验数据,本例中,我们要比较的是三种饲料对鸡的增肥作用是否相同。为此,我们把饲
2、料称为因子,记为A,而三种不同的配方称为因子A的三个水平,记为A1, A2, A3,使用配方Ai下第 j 只鸡60天后的重量用yij表示,i=1, 2, 3, j=1, 2, 10。 我们的目的是比较三种饲料配方下鸡的平均重量是否相等,为此,需要做一些基本假定,把所研究的问题归结为一个统计问题,然后用方差分析的方法进行解决。,方差分析又叫变异数分析,1928年由英国统计学家Ronald Fisher首先提出来的,所以方差分析又叫F检验。,第一节 方差分析简介,单因素方差分析(即完全随机设计资料的方差分析)、 两因素方差分析(即随机区组设计资料的方差分析)和 三因素方差分析(即拉丁方设计资料的方
3、差分析)及 多个样本均数间的多重比较。,方差分析主要内容,方差分析的基本思想借助以下例题予以说明: 例: 为研究煤矿粉尘作业环境对尘肺的影响,将18只大鼠随机分到甲、乙、丙3个组,每组6只,分别在地面办公楼、煤炭仓库和矿井下染尘,12周后测量大鼠全肺湿重(g),数据见表92,问不同环境下大鼠全肺湿重有无差别?,一、方差分析的基本思想,从以上资料可看出,三个组的数据各不相同,这种差异(总变异)可以分解成两部分: 即 (1)组间变异:甲、乙、丙三个组大鼠全肺湿重 各不相等(此变异反映了处理因素的作用,以及随机误差的作用 ) (2)组内变异:各组内部大鼠的全肺湿重各不相等(此变异主要反映的是随机误差
4、的作用),各部分变异的计算:,总变异(全部试验数据间大小不等)用总离均差平方和 来表示。,其中,组间变异(由于所接受的处理因素不同而致各组间大小不等)用组间离均差平方和 来表示。 各组均数 之间相差越大,它们与总均数 的差值就越大, 越大;反之, 越小。,组内变异(同一处理组内部试验数据大小不等)用组内离均差平方和 来表示。,三个变异之间的关系:,其中:,离均差平方和只能反映变异的绝对大小。变异程度除与离均差平方和的大小有关外,还与其自由度有关,由于各部分自由度不相等,因此各部分离均差平方和不能直接比较,须除以相应的自由度,该比值称均方差,简称均方(MS)。 的大小就反映了各部分变异的平均大小
5、。,方差分析就是通过比较组内均方 和组间均方 的大小关系来判断处理因素有无效应。,检验统计量:,如果各组的总体均数相等,即无处理因素的作用,则组内变异和组间变异都只反映随机误差的大小,此时组间均方 和组内均方 大小相当,即 F 值则接近1,各组均数间的差异没有统计学意义;反之,如果处理有作用,则组间变异不仅包含随机误差,还有处理因素引起的变异 ( 组间变异主要反映处理因素的作用 ),此时组间均方 远大于组内均方 ,则F值远大于1,各组均数间的差异有统计学意义。故依据 F 值的大小可判断各组之间有无差别。,可见,方差分析的基本思想就是 根据实验设计的类型,将全部测量值总的变异分解成两个或多个部分
6、,每个部分的变异可由某个因素的作用(或某几个因素的作用)加以解释,通过比较各部分的均方与随机误差项均方的大小,借助 F 分布来推断各研究因素对实验结果有无影响。,方差分析的应用条件,(1)各观测值相互独立,并且服从正态分布; (2)各组总体方差相等,即方差齐性。,1 用于两个或多个均数间的比较 2 分析两个或多个因素的交互作用 3 回归方程的假设检验 4 方差齐性检验,方差分析的用途,第二节 单因素方差分析 完全随机设计资料的方差分析,一、完全随机设计 完全随机设计是采用完全随机化的分组方法,将全部试验对象分配到g个处理组,各处理组分别接受不同的处理,试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意
7、义,以推断处理因素的效应。,将衡量试验结果的标志称为试验指标。 将影响试验结果的条件称为因素。 因素在试验中所处的不同状态称为该因素的水平。 只考察一个影响条件即因素的试验称为单因素试验,相应的方差分析称为单因素方差分析。,方差分析的基本概念,二、变异分解,完全随机设计资料的方差分析表 变异来源 自由度 SS MS F 总变异 组间 组内,单因素方差分析表,例1试根据表2试验结果,检验三组大鼠全肺湿重的总体均数是否相同。 解: () 建立假设,并确定检验水准。 H0: H1: 不等或不全相等,三、分析步骤,() 计算F 值,表2 三组大鼠的全肺湿重(g),本例 , , 以上计算结果代入方差分析
8、表,并求出相应的MS 及F 值:,表9- 3 例 9-1的方差分析表,() 查F 界值表,确定P 值并作结论。 由附表 5 查得F0.05(2,15)=3.68,F= 4.70 F0.05(2,15),故P0.05,按 =0.05水准拒绝H0,接受H1,差别有统计学意义,可认为不同粉尘环境影响大鼠的全肺湿重。 当g =2时,方差分析的结果与两样本均数比较的 t 检验等价,且有 。,单因子方差分析的统计模型,只考察了一个因子,称其为单因子试验。 通常,在单因子试验中,记因子为 A, 设其有r个水平,记为A1, A2, Ar。 在每一水平下考察的指标可以看成一个总体 ,因为现共有 r 个水平,故有
9、 r 个总体,,1、每一总体均为正态总体,记为 N(i , i 2), i1, 2, r ; 2、各总体的方差相同: 1 2= 22= r2 = 2 ;(即,具有方差齐次性) 3、从每一总体中抽取的样本是相互独立的, 即所有的试验结果 yij 都相互独立。,假定:,我们要比较各水平下的均值是否相同, 即要对如下的一个假设进行检验: H0 :1 =2 =r H1 :1, 2, , r 不全相等 如果检验结果为H0成立,因子A的r个水平均值相同, 称因子A的r个水平间没有显著差异,简称因子A不显著 反之,当H0不成立时,因子A的r个水平均值不全相同, 称因子A的不同水平间有显著差异,简称因子A显著
10、。,单因子方差分析的统计模型:,模型可以改写为,H0 :a1 =a2 =ar =0,第三节 两因素方差分析 随机区组设计资料的方差分析,一、 随机区组设计 随机区组设计( randomized block design ),又称配伍组设计,是配对设计的扩展。 具体做法是:先按影响试验结果的非处理因素将受试对象配成区组(block),再将各区组内的受试对象随机分配到不同的处理组,各处理组分别接受不同的处理,试验结束后比较各组均数之间差别有无统计学意义,以推断处理因素的效应。,该设计的特点:(1)该设计包含两个因素,一个是区组因素,一个是处理因素;(2)各区组及处理组的受试对象数相等,各处理组的受
11、试对象生物学特性较均衡,可减少试验误差,提高假设检验的效率。 此类资料的方差分析,其应用条件同前:即资料满足正态性及方差齐性的要求。,因为随机区组设计可以将区组间变异从完全随机设计的组内变异中分离出来以反映不同区组对结果的影响,所以随机区组设计全部测量值总的变异相应地就分成三部分。 各种变异之间的关系是: 其中:,二、 变异分解,(1)总变异:反映全部试验数据间大小不等的状况, (2)处理组间变异:甲、 乙、 丙三个组间测量值的均数大小不等, (3)区组间变异:12个区组间测量值的均数大小不等, (4)误差变异:反映随机误差产生的变异,,表9-5 随机区组设计的方差分析表,变异来源 自由度 S
12、S MS F 总变异 处理间 区组间 误差,二、分析步骤 结合例9-2:,例9-2 研究甲、乙、丙三种营养素对小白鼠体重增加的影响,已知窝别为影响因素。拟用6窝小白鼠,每窝3只,随机地安排喂养甲、乙、丙三种营养素之一种,8周后观察小白鼠体重增加情况,数据见表9-6。问:(1)不同营养素之间小白鼠的体重增加是否不同?(2)不同窝别之间小白鼠的体重增加是否不同?,表9-6 三种营养素喂养小白鼠所增体重(g),(1)建立假设、确定检验水准。 处理: H0:甲=乙=丙(三种营养素对小白鼠体重增加作用相同) H1:甲,乙,丙不全相等(三种营养素对小白鼠体重增加作用不全相同) 区组: H0:1=2=6(窝
13、别对小白鼠体重增加无影响) H1:1,2,6不全相等(窝别对小白鼠体重增加有影响) (2)计算检验统计量F 值。 计算各处理组的小计,各区组的小计,见表9-6。,表9-6 三种营养素喂养小白鼠所增体重(g),本例,,表9-2 例 9-2方差分析表,处理因素:查 F 界值表, ,因 ,故 P0.05 。 结论:按=0.05 水准,拒绝H0,接受H1,差别有统计学意义,可认为不同营养素对小白鼠体重增加有影响。 区组因素:查 F 界值表, , ,F F 0.01(5, 10),故 P0.05。 结论:按=0.05水准,拒绝H0,接受H1,差别有统计学意义,可认为不同窝别对小白鼠体重增加有影响。,()
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