行政职业能力测验主要题型分析.doc
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1、 交流群: 207619763 行政职业能力测验主要题型分析整数的问题整数是最基本的数,它产生了许多有趣的数学问题.在中、小学生的数学竞赛中,有关整数的问题占有重要的地位.我们除了从课本上学习整数知识以外,还必须通过课外活动来补充一些整数的知识,以及解决问题的思路和方法。 对于两位、三位或者更多位的整数,有时要用下面的方法来表示:49=410+9,235=2100+310+5,7064=71000+610+4,就是一、整除整除是整数问题中一个重要的基本概念.如果整数a除以自然数b,商是整数且余数为0,我们就说a能被b整除,或b能整除a,或b整除a,记作b丨a.此时,b是a的一个因数(约数),a
2、是b的倍数.1.整除的性质性质1 如果a和b都能被m整除,那么a+b,a-b也都能被m整除(这里设ab).例如:3丨18,3丨12,那么3丨(18+12),3丨(18-12).性质2 如果a能被b整除,b能被c整除,那么a能被c整除。例如: 3丨6,6丨24,那么3丨24.性质3 如果a能同时被m、n整除,那么a也一定能被m和n的最小公倍数整除.例如:6丨36,9丨26,6和9的最小公倍数是18,18丨36.如果两个整数的最大公约数是1,那么它们称为互质的.例如:7与50是互质的,18与91是互质的.性质4 整数a,能分别被b和c整除,如果b与c互质,那么a能被bc整除.例如:72能分别被3和
3、4整除,由3与4互质,72能被3与4的乘积12整除.性质4中,“两数互质”这一条件是必不可少的.72分别能被6和8整除,但不能被乘积48整除,这就是因为6与8不互质,6与8的最大公约数是2.性质4可以说是性质3的特殊情形.因为b与c互质,它们的最小公倍数是bc.事实上,根据性质4,我们常常运用如下解题思路:要使a被bc整除,如果b与c互质,就可以分别考虑,a被b整除与a被c整除.能被2,3,4,5,8,9,11整除的数都是有特征的,我们可以通过下面讲到的一些特征来判断许多数的整除问题.2.数的整除特征(1)能被2整除的数的特征:如果一个整数的个位数是偶数,那么它必能被2整除.(2)能被5整除的
4、数的特征:如果一个整数的个位数字是0或5,那么它必能被5整除.(3)能被3(或9)整除的数的特征:如果一个整数的各位数字之和能被3(或9)整除,那么它必能被3(或9)整除.(4)能被4(或25)整除的数的特征:如果一个整数的末两位数能被4(或25)整除,那么它必能被4(或25)整除.(5)能被8(或125)整除的数的特征:如果一个整数的末三位数能被8(或125)整除,那么它必能被8(或125)整除.(6)能被11整除的数的特征:如果一个整数的奇数位数字之和与偶数位数字之和的差(大减小)能被11整除,那么它必能被11整除.是什么数字?解:18=29,并且2与9互质,根据前面的性质4,可以分别考虑
5、被2和9整除.要被2整除,b只能是0,2,4,6,8.再考虑被9整除,四个数字的和就要被9整除,已有7+4=11.如果 b=0,只有 a=7,此数是 7740;如果b=2,只有a=5,此数是7542;如果b4,只有a3,此数是 7344;如果 b6,只有 a1,此数是 7146;如果b8,只有a8,此数是7848.因此其中最小数是7146.根据不同的取值,分情况进行讨论,是解决整数问题常用办法,例1就是一个典型.例2 一本老账本上记着:72只桶,共67.9元,其中处是被虫蛀掉的数字,请把这笔账补上.解:把67.9写成整数679,它应被72整除.7298,9与8又互质.按照前面的性质4,只要分别
6、考虑679被8和被9整除.从被8整除的特征,79要被8整除,因此b2.从6792能被9整除,按照被9整除特征,各位数字之和+24能被9整除,因此a3.这笔帐是367.92元.例3 在1,2,3,4,5,6六个数字中选出尽可能多的不同数字组成一个数(有些数字可以重复出现),使得能被组成它的每一个数字整除,并且组成的数要尽可能小.解:如果选数字5,组成数的最后一位数字就必须是5,这样就不能被偶数2,4,6整除,也就是不能选2,4,6.为了要选的不同数字尽可能多,我们只能不选5,而选其他五个数字1,2,3,4,6.1+2+3+4+616,为了能整除3和6,所用的数字之和要能被3整除,只能再添上一个2
7、,16+218能被3整除.为了尽可能小,又要考虑到最后两位数能被4整除.组成的数是122364.例4 四位数74能被55整除,求出所有这样的四位数.解:55511,5与11互质,可以分别考虑被5与11整除.要被5整除,个位数只能是0或5.再考虑被11整除.(7+4)-(百位数字+0)要能被11整除,百位数字只能是0,所得四位数是7040.(7+4)-(百位数字+5)要能被11整除,百位数字只能是6(零能被所有不等于零的整数整除),所得四位数是7645.满足条件的四位数只有两个:7040,7645.例5 一个七位数的各位数字互不相同,并且它能被11整除,这样的数中,最大的是哪一个?,要使它被11
8、整除,要满足(9+7+5+b)-(8+6+a)=(21+b)-(14+a)能被11整除,也就是7+b-a要能被11整除,但是a与b只能是0,1,2,3,4中的两个数,只有b4,a0,满足条件的最大七位数是9876504.再介绍另一种解法.先用各位数字均不相同的最大的七位数除以11(参见下页除式).要满足题目的条件,这个数是9876543减6,或者再减去11的倍数中的一个数,使最后两位数字是0,1,2,3,4中的两个数字.43-637,37-1126,26-1115,15-114,因此这个数是9876504.思考题:如果要求满足条件的数最小,应如何去求,是哪一个数呢?(答:1023495)例6
9、某个七位数1993能被2,3,4,5,6,7,8,9都整除,那么它的最后三个数字组成的三位数是多少?与上例题一样,有两种解法.解一:从整除特征考虑.这个七位数的最后一位数字显然是0.另外,只要再分别考虑它能被9,8,7整除.199322,要被9整除,十位与百位的数字和是5或14,要被8整除,最后三位组成的三位数要能被8整除,因此只可能是下面三个数:1993500,1993320,1993680,其中只有199320能被7整除,因此所求的三位数是320.解二:直接用除式来考虑.2,3,4,5,6,7,8,9的最小公倍数是2520,这个七位数要被2520整除.现在用1993000被2520来除,具
10、体的除式如下:因为 2520-2200320,所以1993000+320=1993320能被2520整除.例7 下面这个41位数能被7整除,中间方格代表的数字是几?解:因为 11111137111337,所以5555555111111和9999999111111都能被7整除.这样,18个5和18个9分别组成的18位数,也都能被7整除.右边的三个加数中,前、后两个数都能被7整除,那么只要中间的5599能被7整除,原数就能被7整除.把5599拆成两个数的和:55A00B99,其中=A+B.因为7丨55300,7丨399,所以=3+36.注意,记住111111能被7整除是很有用的.例8 甲、乙两人进
11、行下面的游戏.两人先约定一个整数N.然后,由甲开始,轮流把0,1,2,3,4,5,6,7,8,9十个数字之一填入下面任一个方格中每一方格只填一个数字,六个方格都填上数字(数字可重复)后,就形成一个六位数.如果这个六位数能被N整除,就算乙胜;如果这个六位数不能被N整除,就算甲胜.如果N小于15,当N取哪几个数时,乙能取胜?解:N取偶数,甲可以在最右边方格里填一个奇数(六位数的个位),就使六位数不能被N整除,乙不能获胜.N5,甲可以在六位数的个位,填一个不是0或5的数,甲就获胜.上面已经列出乙不能获胜的N的取值.如果N1,很明显乙必获胜.如果N3或9,那么乙在填最后一个数时,总是能把六个数字之和,
12、凑成3的整数倍或9的整数倍.因此,乙必能获胜.考虑N7,11,13是本题最困难的情况.注意到100171113,乙就有一种必胜的办法.我们从左往右数这六个格子,把第一与第四,第二与第五,第三与第六配对,甲在一对格子的一格上填某一个数字后,乙就在这一对格子的另一格上填同样的数字,这就保证所填成的六位数能被1001整除.根据前面讲到的性质2,这个六位数,能被7,11或13整除,乙就能获胜.综合起来,使乙能获胜的N是1,3,7,9,11,13.记住,100171113,在数学竞赛或者做智力测验题时,常常是有用的.二、分解质因数一个整数,它的约数只有1和它本身,就称为质数(也叫素数).例如,2,5,7
13、,101,.一个整数除1和它本身外,还有其他约数,就称为合数.例如,4,12,99,501,.1不是质数,也不是合数.也可以换一种说法,恰好只有两个约数的整数是质数,至少有3个约数的整数是合数,1只有一个约数,也就是它本身.质数中只有一个偶数,就是2,其他质数都是奇数.但是奇数不一定是质数,例如,15,33,.例9 (+)=209.在、中各填一个质数,使上面算式成立.解:209可以写成两个质数的乘积,即2091119.不论中填11或19,+一定是奇数,那么与是一个奇数一个偶数,偶质数只有2,不妨假定内填2.当填19,要填9,9不是质数,因此填11,而填17.这个算式是 11(172)209,1
14、1(217) 209.解例9的首要一步是把209分解成两个质数的乘积.把一个整数分解成若干个整数的乘积,特别是一些质数的乘积,是解决整数问题的一种常用方法,这也是这一节所讲述的主要内容.一个整数的因数中,为质数的因数叫做这个整数的质因数,例如,2,3,7,都是42的质因数,6,14也是42的因数,但不是质因数.任何一个合数,如果不考虑因数的顺序,都可以唯一地表示成质因数乘积的形式,例如360222335.还可以写成36023325.这里23表示3个2相乘,32表示2个3相乘.在23中,3称为2的指数,读作2的3次方,在32中,2称为3的指数,读作3的2次方.例10 有四个学生,他们的年龄恰好是
15、一个比一个大1岁,而他们的年龄的乘积是5040,那么,他们的年龄各是多少?解:我们先把5040分解质因数5040243257.再把这些质因数凑成四个连续自然数的乘积:24325778910.所以,这四名学生的年龄分别是7岁、8岁、9岁和10岁.利用合数的质因数分解式,不难求出该数的约数个数(包括1和它本身).为寻求一般方法,先看一个简单的例子.我们知道24的约数有8个:1,2,3,4,6,8,12,24.对于较大的数,如果一个一个地去找它的约数,将是很麻烦的事.因为24233,所以24的约数是23的约数(1,2,22,23)与3的约数(1,3)之间的两两乘积.11,13,21,23,221,2
16、23,231,233.这里有428个,即 (31)(11)个,即对于24233中的23,有(31)种选择:1,2,22,23,对于3有(11)种选择.因此共有(31)(11)种选择.这个方法,可以运用到一般情形,例如,1442432.因此144的约数个数是(41)(2+1)15(个).例11 在100至150之间,找出约数个数是8的所有整数.解:有871; 8(31)(11)两种情况.(1)27128,符合要求,37150,所以不再有其他7次方的数符合要求.(2)238,813104, 817136,符合要求.3327;只有275135符合要求.53135,它乘以任何质数都大于150,因此共有
17、4个数合要求:128,104,135,136.利用质因数的分解可以求出若干个整数的最大公约数和最小公倍数.先把它们各自进行质因数分解,例如72024325,1682337.那么每个公共质因数的最低指数次方的乘积就是最大公约数,上面两个整数都含有质因数2,较低指数次方是23,类似地都含有3,因此720与168的最大公约数是233 24.在求最小公倍数时,很明显每个质因数的最高指数次方的乘积是最小公倍数.请注意720中有5,而168中无5,可以认为较高指数次方是51=5.720与168的最小公倍数是2432575040.例12 两个数的最小公倍数是180,最大公约数是30,已知其中一个数是90,另
18、一个数是多少?解:18022325,30235.对同一质因数来说,最小公倍数是在两数中取次数较高的,而最大公约数是在两数中取次数较低的,从22与2就知道,一数中含22,另一数中含2;从32与3就知道,一数中含32,另一数中含3,从一数是902325.就知道另一数是223560.还有一种解法:另一数一定是最大公约数30的整数倍,也就是在下面这些数中去找30, 60, 90, 120,.这就需要逐一检验,与90的最小公倍数是否是180,最大公约数是否是30.现在碰巧第二个数60就是.逐一去检验,有时会较费力.例13 有一种最简真分数,它们的分子与分母的乘积都是420.如果把所有这样的分数从小到大排
19、列,那么第三个分数是多少?解:把420分解质因数42022357.为了保证分子、分母不能约分(否则约分后,分子与分母的乘积不再是420了),相同质因数(上面分解中的2),要么都在分子,要么都在分母,并且分子应小于分母.分子从小到大排列是1,3,4,5,7,12,15,20.分子再大就要超过分母了,它们相应的分数是两个整数,如果它们的最大公约数是1.就称这两个数是互质的.例13实质上是把420分解成两个互质的整数.利用质因数分解,把一个整数分解成若干个整数的乘积,是非常基本又是很有用的方法,再举三个例题.例14 将8个数6,24,45,65,77,78,105,110分成两组,每组4个数,并且每
20、组4个数的乘积相等,请写出一种分组.解:要想每组4个数的乘积相等,就要让每组的质因数一样,并且相同质因数的个数也一样才行.把8个数分解质因数.623, 24233,45325, 65513,77711, 782313,105357, 1102511.先放指数最高的质因数,把24放在第一组,为了使第二组里也有三个2的因子,必须把6,78,110放在第二组中,为了平衡质因数11和13,必须把77和65放在第一组中.看质因数7,105应放在第二组中,45放在第一组中,得到第一组:24,65,77,45.第二组:6,78,110,105.在讲述下一例题之前,先介绍一个数学名词-完全平方数.一个整数,可
21、以分解成相同的两个整数的乘积,就称为完全平方数.例如:422, 933, 1441212, 6252525.4,9,144,625都是完全平方数.一个完全平方数写出质因数分解后,每一个质因数的次数,一定是偶数.例如:1443242, 1002252,例15 甲数有9个约数,乙数有10个约数,甲、乙两数最小公倍数是2800,那么甲数和乙数分别是多少?解:一个整数被它的约数除后,所得的商也是它的约数,这样的两个约数可以配成一对.只有配成对的两个约数相同时,也就是这个数是完全平方数时,它的约数的个数才会是奇数.因此,甲数是一个完全平方数.280024527.在它含有的约数中是完全平方数,只有1,22
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