高中数学 含参不等式恒成立问题的求解策略论文.doc
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1、含参不等式恒成立问题的求解策略 “含参不等式恒成立问题”把不等式、函数、三角、几何等内容有机地结合起来,其以覆盖知识点多,综合性强,解法灵活等特点而倍受高考、竞赛命题者的青睐。另一方面,在解决这类问题的过程中涉及的“函数与方程”、“化归与转化”、“数形结合”、“分类讨论”等数学思想对锻炼学生的综合解题能力,培养其思维的灵活性、创造性都有着独到的作用。本文就结合实例谈谈这类问题的一般求解策略。一、判别式法若所求问题可转化为二次不等式,则可考虑应用判别式法解题。一般地,对于二次函数,有1)对恒成立; 2)对恒成立 例1已知函数的定义域为R,求实数的取值范围。解:由题设可将问题转化为不等式对恒成立,
2、即有解得。所以实数的取值范围为。若二次不等式中的取值范围有限制,则可利用根的分布解决问题。例2设,当时,恒成立,求实数的取值范围。解:设,则当时,恒成立Oxyx-1当时,显然成立;当时,如图,恒成立的充要条件为:解得。综上可得实数的取值范围为。二、最值法 将不等式恒成立问题转化为求函数最值问题的一种处理方法,其一般类型有:1)恒成立2)恒成立例3已知,当时,恒成立,求实数的取值范围。解:设,则由题可知对任意恒成立令,得而即实数的取值范围为。例4函数,若对任意,恒成立,求实数的取值范围。解:若对任意,恒成立,即对,恒成立,考虑到不等式的分母,只需在时恒成立而得而抛物线在的最小值得注:本题还可将变
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