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1、第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,6.1 二次型及其矩阵表示,引言,判别下面方程的几何图形是什么?,作旋转变换,代入(1)左边,化为:,见下图,称为n维(或n元)的二次型.,定义,含有n个变量 的二次齐次函数,关于二次型的讨论永远约定在实数范围内进行!,例如:,都是二次型。,不是二次型。,只含有平方项的二次型,称为二次型的标准形。,为二次型的标准形。,取,则,则(1)式可以表示为,二次型用和号表示,令,则,其中 为对称矩阵。,二次型的矩阵表示(重点),注,1、对称矩阵A的写法:A一定是方阵。,2、其对角线上的元素,恰好
2、是,的系数。,3、,的系数的一半分给,可保证,例如:二次型,注:二次型 对称矩阵,把对称矩阵 称为二次型 的矩阵,也把二次型 称为对称矩阵 的二次型,对称矩阵 的秩称为二次型 的秩,写出下面二次型 f 的矩阵表示,并求 f 的秩r(f)。,解,问: 在二次型 中,如不限制 A对称, A唯一吗?,定义,只含平方项的二次型,称为二次型的标准形(或法式)。,平方项系数只在 中取值的标准形,对给定的二次型,找可逆的线性变换(坐标变换):,代入(1)式,使之成为标准形,称上面过程为化二次型为标准形。,第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵
3、表示,简记,设,若,一、 非退化线性变换(可逆线性变换),为可逆线性变换。,当C 是可逆矩阵时, 称,对于二次型,我们讨论的主要问题是:,寻求可逆的线性变换,使二次型只含平方项。,即二次型,经过可逆线性变换,使得,即经过可逆线性变换,可化为,对于这种矩阵的关系我们来进行定义,矩阵的合同:,证明,定理 设A为对称矩阵,且A与B合同,则,注:合同仍然是一种等价关系,矩阵合同的性质:,(1) 反身性,(2) 对称性,(3) 传递性,记作,二. 化二次型为标准形,正交变换法(重点) 配方法,目标:,问题转化为:,结论:,此结论用于二次型,所以,,(P191 定理6.2.1),例1 用正交变换化二次型为
4、标准型,并求出所用的正交变换。,解(1)写出二次型 f 的矩阵,(2) 求出A的全部特征值及其对应的标准正交的特征向量,而它们所对应的标准正交的特征向量为,(3) 写出正交变换,取正交矩阵,则得所欲求的正交变换,即,(4) 写出,的标准型。,经上述正交变换,后所得二次型的标准型,注:正交变换化为标准形的优点:,在几何中,可以保持曲线 (曲面)的几何形状不变。,解,二次型的矩阵为,由题意,由相似矩阵的性质得 ,从而,解得,A与D有相同的特征值,分别为,求得它们对应的特征向量(正交)为,再单位化并排成矩阵即得所求的正交变换矩阵,2. 配方法, 同时含有平方项,与交叉项,的情形。,例2 用配方法将下
5、列二次型经可逆线性变换化为标准形。,解:,令,二次型的标准形为,所求的可逆线性变换为,即,为标准形,并求出所作的可逆线性变换.,例3 用配方法化二次型,解 令, 只含交叉项,的情形。,即,令,则二次型的标准形为,所用的可逆线性变换为,第六章,二次型及其标准型,6.3 正定二次型与正定矩阵,6.2 化二次型为标准型,6.1 二次型及其矩阵表示,定理,二次型必可化为规范形。,证 设二次型 f(x) = xTAx ( r(A)=r )经正交变换化为:,再做一次可逆的线性变换,则 f 化为,思考并回答,(1) 二次型的标准形唯一吗?,(2) 二次型的标准形中平方项的个数与二次型的秩有何关系?与二次型矩
6、阵的非零特征值的个数有何关系?,(3) 设CTAC = D (C可逆,D是对角阵),D的对角元是A的特征值吗?如果C是正交矩阵又如何?,(4) 设4阶对称矩阵A的特征值为0, 2, 2, -3 , A的二次型的规范形是什么?,( P196 定理6.3.1 ),在二次型的标准形中,正项个数与负项个数 保持不变。或者说二次型的规范形是唯一的。,二次型的标准形中正项个数称为二次型的 正惯性指数, 负项个数称为二次型的负惯性指数.,设二次型 f 的秩为 r , 正惯性指数为 p , 则 负惯性指为 r p . f 的规范形为,如果 n 维的二次型 f(x) = xTAx 其标准形系数全为正,则称之为正
7、定二次型,二次型的矩阵 A 称为正定矩阵;如果标准形中系数全为负,则称之为负定二次型,二次型的矩阵称为负定矩阵。,定义,正定二次型为,正定矩阵就是特征值全大于零的对称矩阵,也是与单位矩阵合同的对称矩阵。,显然,如果 f 负定,则 f 正定,以后只需讨论正定二次型(正定矩阵)。,二次型 f(x) = xTAx 正定的充要条件是对任意x0,都有 f(x) = xTAx 0. (注:书上以后者为定义),( 霍尔维茨定理 ),对称矩阵A为正定的充要条件是:A的各阶主子式全为正,即,判别二次型,是否正定.,它的各阶顺序主子式,故上述二次型是正定的.,f 的矩阵为,解,作业P194 : 2(1)(2) P199:1(1)(2);3,解,判别二次型,是否正定.,二次型的矩阵为,即知A是正定矩阵,故此二次型为正定二次型.,求得其特征值,判别二次型,的正定性.,解,二次型的矩阵,它的各阶顺序主子式,A是负定矩阵,二次型是负定二次型。,或者,判别 为正定.,与矩阵 合同的矩阵是( ),A特征值是两正一负。,是正定二次型?,解 二次型的矩阵为,A的顺序主子式为:,所以当,例5 问t 满足什么条件时,二次型,A的顺序主子式全大于0,此时 f 正定。,设 是正定矩阵, 证明,
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