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1、1.5 定积分的概念,课本38-42页名师18页草稿纸、笔,1.5.1 曲边梯形的面积,1.5 定积分的概念,曲边梯形:在直角坐标系中,由连续曲线y=f(x),直线x=a、x=b及x轴所围成的图形叫做曲边梯形。,O,x,y,y=f (x),求曲边梯形的面积,x=a,x=b,因此,我们可以用这条直线L来代替点P附近的曲线,也就是说:在点P附近,曲线可以看作直线(即在很小范围内“以直代曲” ),放大,再放大,“以直代曲,无限逼近 ”的数学思想,y = f(x),用一个矩形的面积A1近似代替曲边梯形的面积A,得,用两个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A,得,A A1+ A2+ A3+ A4,用四
2、个矩形的面积 近似代替曲边梯形 的面积A, 得,A A1+ A2 + + An,将曲边梯形分成 n个小曲边梯形,并用小矩形的面积代替小曲边梯形的面积, 于是曲边梯形的面积A近似为, 以直代曲,无限逼近,例1.求由直线x=0,x=1,y=0和曲线y=x2所围成的曲边梯形的面积.,解析:把底边0,1分成n等份,然后在每个分点作底边的垂线, 这样曲边三角形被分成n个窄条, 用矩形来近似代替,然后把这些小矩形的面积加起来, 得到一个近似值,再取其极限值。,探究思考,把区间0,1等分成n个小区间:,过各区间端点作x轴的垂线,从而得到n个小曲边梯形,他们的面积分别记作,分割:,近似代替:,如图,当n很大时
3、,即x很小时,在区间 上可以认为函数 的值变化很小.,把曲边梯形分成n个小曲边梯形面积记做 .用小矩形的面积 近似地替代 即局部小范围内“以直代曲”.,则阴影部分面积,求和:,得到S(曲边梯形面积)的近似值:,取极限:,当n趋向于无穷大,即 趋向于0时, 趋向于S.从而有,分割,以直代曲,作和,逼近,小结 求由连续曲线y=f(x)围成的曲边梯形面积的方法,(1)分割,(2)近似代替,(4)取极限,(3)求和,在“近似代替”中,如果认为函数 在区间 上的值近似地等于右端点 处的函数值 ,用这种方法能求出S的值吗?若能求出,这个值也是 吗?取任意 处的函数值 作为近似值,情况又怎样?,探究!,1.
4、 当n很大时,函数 在区间 上的值,可以用( )近似代替 A. B. C. D.,C,练 习,2、在“近似代替”中,函数f(x)在区间 上的近似值等于( ) A.只能是左端点的函数值 B.只能是右端点的函数值 C.可以是该区间内任一点的函数值 D.以上答案均不正确,C,练 习,1.5.2 汽车行驶的路程,1、分割;2、近似代替;3、求和;4、取极限,用黄色部分的面积来代替曲边梯形的面积,当曲边梯形分割的越细,蓝色部分面积就越小,就越接近曲边梯形的面积.,复习:如何求曲边梯形的面积?,以直代曲,从小于曲边梯形的面积 来无限逼近,从大于曲边梯形的面积 来无限逼近,复习,引入,探究思考,结合求曲边梯
5、形面积的过程,你认为汽车行驶的路程s和由直线t=0,t=1,v=0和曲线 所围成的曲边梯形的面积有什么关系?,例题,如果汽车做变速直线运动,在时刻t的速度为 (t的单位:h,v的单位:km/h),那么它在 这段时间内行驶的路程s(单位:km)是多少?,求变速直线运动的路程,分割:,在时间区间0,1上等间隔地插入n-1个分点,将它等分成n个小区间:,记第i个区间为 ,其长度为:,. . .,把汽车在时间段 上行驶的路程分别记作:,显然有,近似代替:,当n很大,即 很小时,在区间 上,函数 的变化值很小,近似地等于一个常数.,从物理意义上看,就是汽车在时间段 上的速度变化很小,不妨认为它近似地以时
6、刻 处的速度作匀速行驶.,在区间 上,近似地认为速度为 即在局部小范围内 “以匀速代变速”.,由近似代替求得:,求和:,取极限:,当n趋向于无穷大,即 趋向于0时, 趋向于s,从而有,结论,1.5.3定积分的概念,普通高中课程标准实验教材选修2-2,课本45-47页名师20页草稿纸、笔,从求曲边梯形面积以及变速直线运动路程的过程可知,它们都可以通过“四步曲”:分割、近似代替、求和、取极限得到解决,且都可以归结为求一个特定形式和的极限.,曲边梯形面积,变速直线运动路程,复习,一、定积分的概念,概念,定积分的定义:,定积分的相关名称: 叫做积分号, f(x) 叫做被积函数, f(x)dx 叫做被积
7、表达式, x 叫做积分变量, a 叫做积分下限, b 叫做积分上限, a, b 叫做积分区间。,按定积分的定义,有 (1) 由连续曲线y=f(x) (f(x)0) ,直线x=a、x=b及x轴所围成的曲边梯形的面积为,(2) 设物体运动的速度v=v(t),则此物体在时间区间a, b内运动的距离s为,定积分的定义:,1,正确理解定积分的概念,(3).规定:,二、定积分的几何意义:,x=a、x=b与 x轴所围成的曲边梯形的面积。,当f(x)0时,由yf (x)、xa、xb 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方,,=-S,上述曲边梯形面积的负值,=-S,探究,根据定积分的几何意义,你能用定积分
8、表示图中阴影部分的面积吗?,探究,课本P46,三: 定积分的基本性质,性质1.,性质2.,性质 3 不论a,b,c的相对位置如何都有,定积分关于积分区间具有可加性,性质3.,在区间0,1上等间隔地插入n-1个分点,把区间0,1等分成n个小区间 每个小区间的长度为,(1)分割,例题,(2)近似代替,作和,(3)取极限,例1:用定积分表示下列阴影部分的面积.,(1),S=_.,题型一 利用定积分表示曲边梯形的面积,(2),S=_.,S=_.,例2.用定积分表示图中四个阴影部分面积,解:,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,f(x)=x2,f(x)=x2,-1,2,f(x)=1,a,
9、b,-1,2,f(x)=(x-1)2-1,解:,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解:,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,解:,0,0,0,0,a,y,x,y,x,y,x,y,x,-1,2,a,b,-1,2,f(x)=x2,f(x)=x2,f(x)=1,f(x)=(x-1)2-1,题型二 利用定积分的几何意义求定积分,例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的
10、值.,分析:定积分 的几何意义是:介于直线x=a,x=b,x轴及y=f(x)所围成图形面积的代数和,其中x轴上方部分为正,x轴下方部分为负.,被积函数的曲线是圆心在原点,半径为2的半圆, 由定积分的几何意义知,此定积分为半圆的面积, 所以,解:,x,y,f(x)=sinx,1,-1,例3:利用定积分的几何意义,求下列各式的值.,1.利用定积分的几何意义,判断下列定积分 值的正、负号。,2.利用定积分的几何意义,说明下列各式成立:,1),2).,1),2).,练习:,3.试用定积分表示下列各图中影阴部分的面积。,0,y,x,y=x2,1,2,0,x,y=f(x),y=g(x),a,b,y,练习4
11、(2):,面积值为圆的面积的,正确理解定积分的概念几何意义,衔接高考:,(2009广东(理) 8已知甲、乙两车由同一起点同时出发,并沿同一路线(假定为直线)行驶甲车、乙车的速度曲线分别为 和 (如图2所示)那么对于图中给定的 和 ,下列判断中一定正确的是,x,y,A. 在 时刻,甲车在乙车前面 B. 时刻后,甲车在乙车后面 C. 在 时刻,两车的位置相同 D. 时刻后,乙车在甲车前面,A,. 求曲线下方“曲边梯形”的面积和变速直线运动的位移问题的一般步骤:,课时小结,.讨论问题常用一般到特殊再到一般的方法,.以直代曲在近似计算中的应用,.极限思想的初步运用,分割,以直代曲,作和,逼近,5.定积分是一个特定形式和的极限,其几何意义是曲边梯形的面积,定积分的值由被积函数,积分上限和下限所确定.,6.在实际问题中,定积分可以表示面积、体积、路程、功等等,求定积分的值目前有定义法和几何法两种,有时利用定积分的性质进行计算,能简化解题过程.,作业: P50习题1.5A组:3,5.,
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