21.2期末概率论复习.ppt
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1、1,概率论与数理统计,(二十一)开始 王柱 2013.05.27,2,概率论与数理统计,第七章续 特殊的区间估计,3,(7.4.1 ) 大样本情形下总体均值的区间估计,由概率论中的中心极限定理可知,不论所考察的总体分布如何,只要样本容量n足够大,样本均值近似地服从正态分布。即,设总体X的分布是任意的,均值 和方差 都是未知的。用样本 对总体平均数 作区间估计。,由于样本容量n足够大,总体方差近似地用样本方差代替,也近似地服从正态分布。即,4,于是,由 得,总体平均数 的区间估计为,5,某市为了解在该市民工的生活状况,从中随机抽取了100个民工进行调查,得到民工月平均工资为230元,标准差为60
2、元,试在95%的概率保证下,对该市民工的月平均工资作区间估计。,这里n=100可以认为是大样本。 1- =0.95, /2=0.025,查附表2得 u 0.975=1.96,于是, 置信度为0.95的置信区间为(218.24,241.76)。,解:,置信下限 (元),置信上限 (元),例21-01.,6,设有一容量大于50的样本,它来自参数为p的0-1分 布的总体 X .,又例. 0-1分布参数的区间估计,求: p的置信度为1- 的置信区间.,样本为 X1,X2,Xn,由于样本容量大,认为,近似地服从正态分布N(0,1).于是有,7,而不等式,于是有,p 的近似的、置信度为1- 的置信区间为,
3、等价于,记,8,例、从一大批产品的100个样品中, 得一级品60个.,一级品率 p 是0-1分布的参数.,计算得,于是所求p的置信度为0.95的近似置信区间为,求:这大批产品的一级品率 p 的置信度为0.95的置信区间.,解:,这里 1- =0.95, /2=0.025 ,n=100, u 0. 975=1.96,例21-02.,9,下面考察总体X服从二点分布 情形,其分布 律为 ,从总体中抽取一个 容量为n的样本,其中恰有 m 个“1”,现对p作区间 估计。此时,,在最后一式推导中,需注意仅能取“1”和“0”,把这些量代入上式,得p的置信度为1- 的置信区间是,10,从一大批产品中随机的抽出
4、100个进行检测,其中有4个次品,试以95%的概率估计这批产品的次品率。,记次品为“1”,正品为“0”,次品率为。总体分布是二点分布,根据题意n=100,m=4,由1- =0.95, /2=0.025,查附表2得 u 0.975=1.96。,置信下限,于是, 置信度为0.95的置信区间为(0.002, 0.078)。,解:,置信上限,例21-03.,11,需要指出,上面介绍的两种情况均属于总体分布为 非正态分布的情形,如果样本容量较大(一般 )时,可以按正态分布来近似其未知参数的估计区 间。如果样本容量较小(一般 )时,不能用 上述的方法求参数的估计区间。 参数估计采用表格的形式小结于表7-4
5、-1中。,12,设对于给定的值 (01),若由样本 X1,X2,Xn 1.若统计量 (X1,X2,Xn),满足,7.5: 单侧置信区间,我们称随机区间 ( , )为 的置信度为1- 的单(上、右)侧置信区间, 称 为置信度为1- 的单侧置信下限.,2.若统计量 (X1,X2,Xn),满足,我们称随机区间 (- , )为 的置信度为1- 的单(下、左)侧置信区间, 称 为置信度为1- 的单侧置信上限.,13,如,正态总体 X; 均值 ,方差 2均为未知.设X1,X2, Xn为该总体 N (, 2)的样本.并给定置信度为1- ,由,于是得到 的置信度为1- 的单(下)侧置信区间 为,有,即, 的置
6、信度为1- 的单(下)侧置信区间的置信上限为,14,注意到,因此, 的置信度为1- 的单(下)侧置信区间,即,即, 的置信度为1- 的单(下)侧置信区间的置信上限,15,由,于是得到 的置信度为1- 的单(上)侧置信区间 为,有,即, 的置信度为1- 的单(上)侧置信区间的置信下限为,同理,16,注意到,因此, 的置信度为1- 的单(上)侧置信区间,即,即, 的置信度为1- 的单(上)侧置信区间的置信下限,17,又由,于是得到 2 的置信度为1- 的单 (下)侧置信区间 为,有,即,2的置信度为1- 的单(下)侧置信区间的置信上限为,18,又由,于是得到 2 的置信度为1- 的单 (上)侧置信
7、区间 为,有,即,2的置信度为1- 的单(上)侧置信下限为,19,从一批灯泡中随机取5只作寿命试验. 测得的寿命如下:,设灯泡寿命近似地服从正态分布.,这里 1- =0.95, n=5, t 0. 95(4)=2.1318,计算得,于是所求置信度为0.95的单(上)侧置信下限为,求灯泡寿命平均值的置信度为0.95的单(上)侧置信下限.,解:,例21-04.,20,概率论与数理统计,第八章续 特殊的假设检验,21,(*1)基于成对数据的检验n1=n2=n ,12 22 且未知,为了比较两种产品、两种仪器、两种方法等 的差异,我们常在相同的条件下做对比试验,得到一批成对n1=n2=n的观察值。然后
8、分析观察数据做出推断。这种方法称为逐对比较法。,令 ,视 为总体 的一个样本,于是,所要进行的检验等价于一个正态总体,方差未知的检验即可(t检验) 。其中:,则 ,22,(*2) 总体方差12 22 都未知,且n1 n2的检验,令,,并设X1,X2,Xn1为来自总体 N (1, 12)的样本. Y1,Y2,Yn2为来自总体 N (2, 22)的样本. 这 两个样本相互独立。 n1 n2.检验为,H0:1 =2; H1: 1 2 。,23,则,其中,,24,在H0成立的条件下,选用统计量,即可,其中,于是,视 为来自正态总体 的一个样本。原来的问题等价于一个正态总体, 未知方差,检验,25,在平
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