2刚体的定轴转动-02.ppt
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1、同学们好,自然界存在着各式各样的运动,如刚体的转动,刚体力学基础,2.6.1 刚体的基本运动,一、刚体模型,刚体是一种特殊的质点系,是一个理想的模型,在任何情况下,刚体内任意两点之间的距离保持不变。,平动 刚体运动时,若其上任意两点连线的方位始终不变,这种运动称为刚体的平动。平动时刚体上各质点的速度、加速度、轨道均相同,可归结为质点运动。,二、刚体的平动和转动,转动 刚体上各质点都绕同一直线做圆周运动,叫做刚体的转动。该直线叫刚体的转轴。,定轴转动:转轴为固定直线的转动叫做刚体定轴转动。,一般运动 平动与转动叠加。,刚体定轴转动的描述,* 简化为研究转动平面内的 运动,* 用角量作整体描述,*
2、 在轴上选正方向,各角量 均表示为代数量,如何简化?,三、角速度矢量,角速度:,大小:,方向: 右手螺旋法则,2.6.2 刚体的角动量 转动惯量,即,对 的角动量:,转轴 角速度 刚体上任一质点 转轴与其转动平面交点 绕 圆周运动半径为,一、刚体对定轴的角动量,定义:质点 对 点的角动量的大小,称为质点对转轴的角动量。,刚体对z轴的总角动量为:,对质量连续分布的刚体:,若质量连续分布,则,积分元选取:,二、刚体对定轴的转动惯量,2. 计算,2. 一长为 的细杆,质量 均匀分布 ,求该杆对垂直于杆,分别过杆的中点和一端端点的轴的转动惯量。,解:(1) 轴过中点,(2) 轴过一端端点,解 (1)
3、在环上任取一质元,其质量为dm,距离为R,则该质元对转轴的转动惯量为,例2.19 设质量为m,半径为R的细圆环和均匀圆盘分别绕通过各自中心并与圆面垂直的轴转动,求圆环和圆盘的转动惯量.,考虑到所有质元到转轴的距离均为R,所以细圆环对中心轴的转动惯量为,(2)求质量为m,半径为R的圆盘对中心轴的转动惯量,3. 求质量 m ,半径 R 的球壳对直径的转动惯量,解:取离轴线距离相等的点的 集合为积分元,4. 求质量 m ,半径 R 的球体对直径的转动惯量,解:以距中心 ,厚 的球壳 为积分元,平行轴定理,质量为 的刚体,如果对其质心轴的转动惯量为 ,则对任一与该轴平行,相距为 的转轴的转动惯量,质量
4、为m,长为L的细棒绕其一端的J,圆盘对P 轴的转动惯量,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,注意:,对同轴的转动惯量才具有可加减性。,一些均匀刚体的转动惯量表,解一:,解二:,解三:,(1)单个质点 与转轴刚性连接,2.6.3 刚体对定轴的转动定律,(2)刚体,质量元受外力 , 内力,外力矩,内力矩,刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比,与刚体的转动惯量成反比.,转动定律,定义转动惯量,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,讨论,(2),(3),(1) 不变,转动定律,小结,比较,由,得,例1 质量为mA的物体A 静止在光滑水平面上,和一质量不计的绳索相连接,绳索跨过一半径为R、质量为mC
5、的圆柱形滑轮C,并系在另一质量为mB 的物体B上,B 竖直悬挂滑轮与绳索间无滑动, 且滑轮与轴承间的摩擦力可略去不计(1)两物体的线加速度为多少? 水平和竖直两段绳索的张力各为多少?(2) 物体 B 从静止落下距离 y 时,其速率是多少?,解 (1) 用隔离法物体分别对各物作受力分析,取坐标如图,A,B,C,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,解得:,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,如令 ,可得,(2) B由静止出发作匀加速直线运动,下落的速率,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,稳定平衡状态,当其受到微小扰动时,细杆将在重力作用下由静止开始绕铰链 O 转动试计算细杆转动到与竖直线成 角时的角加
6、速度和角速度,例2 一长为 l 、质量为 m 匀质细杆竖直放置,其下端与一固定铰链O相接,并可绕其转动由于此竖直放置的细杆处于非,m,l,O,mg,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,解 细杆受重力和铰链对细杆的约束力 作用,由转动定律得,式中,得,m,l,O,mg,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,由角加速度的定义,代入初始条件积分得,m,l,O,mg,END,3-2 力矩、转动惯量、转动定律,例2.21 转动着的飞轮的转动惯量为J,在t0时角速度为 .此后飞轮经历制动过程,阻力矩M的大小与角速度的平方成正比,比例系数为k(k为大于零的常数),当 时,飞轮的角加速度是多少?从开始制动到现在经历
7、的时间是多少?,解 (1) ,故由转动定律有,(2),t0时, ,两边积分,故当 时,制动经历的时间为,例: 一定滑轮的质量为 ,半径为 ,一轻绳两边分别系 和 两物体挂于滑轮上,绳不伸长,绳与滑轮间无相对滑动。不计轴的摩擦,初角速度为零,求滑轮转动角速度随时间变化的规律。,思路:先求角加速度,解:在地面参考系中,分别以 为研究对象,用隔离法,分别以牛顿第二定律 和刚体定轴转动定律建立方程。,以向下为正方向,以向上为正方向,思考:, ,以顺时针方向为正方向,四个未知数: 三个方程 ?,绳与滑轮间无相对滑动,由角量和线量的关系:,解得:,如图示,两物体质量分别为 和 ,滑轮质量为 ,半径为 。已
8、知 与桌面间的滑动摩擦系数为 ,求 下落的加速度和两段绳中的张力。,解:在地面参考系中,选取 、 和滑轮为研究对象,分别运用牛顿定律和刚体定轴转动定律得:,练习,列方程如下:,可求解,例. 质量为 M 的匀质圆盘,可绕通过盘中心垂直于盘的固定光滑轴转动,绕过盘的边缘有质量为 m、长为 l 的匀质柔软绳索(如图)。设绳与圆盘无相对滑动,试求当圆盘两侧绳长差为 s 时,绳的加速度的大小。,解:在地面参考系中,建立如图 x 坐标,设滑轮半径为 r 有:,用隔离法列方程: (以逆时针方向为正),解得:,2.6.4 刚体定轴转动的动能定理,一、刚体绕定轴的转动动能,刚体在转动时的动能,应该是组成刚体的各
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