5-1二次型及其标准形.ppt
《5-1二次型及其标准形.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《5-1二次型及其标准形.ppt(39页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、第五章 二次型,第一节 二次型及其标准形,一、二次型及其标准形的概念 二、二次型的表示方法 三、二次型的矩阵及秩 四、化二次型为标准形,一、二次型及其标准形的概念,称为二次型.,例如,都为二次型;,为二次型的标准形.,1用和号表示,对二次型,二、二次型的表示方法,2用矩阵表示,三、二次型的矩阵及秩,在二次型的矩阵表示中,任给一个二次型, 就唯一地确定一个对称矩阵;反之,任给一个对 称矩阵,也可唯一地确定一个二次型这样,二 次型与对称矩阵之间存在一一对应的关系,解,例,设,四、化二次型为标准形,对于二次型,我们讨论的主要问题是:寻求 可逆的线性变换,将二次型化为标准形,证明,即 为对称矩阵.,定
2、义2 对于n阶矩阵A和B,如存在n阶可逆矩阵C,使得B=CTAC,则称B合同于A,记作,对A进行运算CTAC,称对A进行合同变换。,说明,1. 用正交变换化二次型为标准形的具体步骤,线性无关,解,1写出对应的二次型矩阵,并求其特征值,例2,从而得特征值,2求特征向量,3将特征向量正交化,得正交向量组,4将正交向量组单位化,得正交矩阵,于是所求正交变换为,解,例3,思考题,思考题解答,2. 拉格朗日配方法的具体步骤,用正交变换化二次型为标准形,其特点是保 持几何形状不变,问题 有没有其它方法,也可以把二次型化 为标准形?,问题的回答是肯定的。下面介绍一种行之有 效的方法拉格朗日配方法,1. 若二
3、次型含有 的平方项,则先把含有 的乘积项集中,然后配方,再对其余的变量同 样进行,直到都配成平方项为止,经过非退化线 性变换,就得到标准形;,拉格朗日配方法的步骤,2. 若二次型中不含有平方项,但是 则先作可逆线性变换,化二次型为含有平方项的二次型,然后再按1中方 法配方.,解,例1,所用变换矩阵为,解,例2,由于所给二次型中无平方项,所以,再配方,得,所用变换矩阵为,小结,将一个二次型化为标准形,可以用正交变换 法,也可以用拉格朗日配方法,或者其它方法, 这取决于问题的要求如果要求找出一个正交矩 阵,无疑应使用正交变换法;如果只需要找出一 个可逆的线性变换,那么各种方法都可以使用 正交变换法的好处是有固定的步骤,可以按部就 班一步一步地求解,但计算量通常较大;如果二 次型中变量个数较少,使用拉格朗日配方法反而 比较简单需要注意的是,使用不同的方法,所 得到的标准形可能不相同,但标准形中含有的项 数必定相同,项数等于所给二次型的秩,思考题,思考题解答,
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 二次 及其 标准
链接地址:https://www.31doc.com/p-2089474.html