B样条曲线与曲面.ppt
《B样条曲线与曲面.ppt》由会员分享,可在线阅读,更多相关《B样条曲线与曲面.ppt(71页珍藏版)》请在三一文库上搜索。
1、清华大学 计算机图形学,3.3 B样条曲线与曲面,Bezier曲线或曲面有许多优越性,但有两点不足: Bezier曲线或曲面不能作局部修改; Bezier曲线或曲面的拼接比较复杂,清华大学 计算机图形学,1972年,Gordon、Riesenfeld等人发展了1946年Schoenberg提出的样条方法 , 提出了B样条方法,在保留Bezier方法全部优点的同时,克服了Bezier方法的弱点。 样条的史话,清华大学 计算机图形学,样条的史话(1) 1946年的红皮书 Schoenberg拉开了神话的序幕 从插值的R-K现象说起 样条分段连续多项式,清华大学 计算机图形学,样条的史话(2) 断言
2、样条不可能用于外形设计 几何样条出现,离散计算,峰回路转 Riesenfield, Gordan, .,清华大学 计算机图形学,如何理解B-样条? 样条插值,三对角方程 (函数、参数) 给定分划,所有的B样条的全体组成一个线性空间,线性空间有基函数,这就是B样条基函数 由B样条基函数代替Bezier曲线中的Bernstein基函数,即B样条曲线。,清华大学 计算机图形学,3.3.1 B样条的递推定义和性质,B样条曲线的方程定义为: 是控制多边形的顶点 (i=0,1,n) 称为k阶(k-1次)B样条基函数 B样条基函数是一个称为节点矢量的非递减的参数t的序列所决定的k阶分段多项式,也即为k阶(k
3、-1次)多项式样条。,清华大学 计算机图形学,de Boor-Cox递推定义 并约定 几个问题,清华大学 计算机图形学,几个问题 的非零区间是什么? 需要多少个节点? 定义区间是什么?,清华大学 计算机图形学,以k4,n=4为例,清华大学 计算机图形学,2性质 局部支承性。 权性。 微分公式。,清华大学 计算机图形学,B样条曲线类型的划分 曲线按其首末端点是否重合,区分为闭曲线和开曲线。 B样条曲线按其节点矢量中节点的分布情况,可划分为四种类型。,清华大学 计算机图形学,均匀B样条曲线。 节点矢量中节点为沿参数 轴均匀或等距分布,所有 节点区间长度为常数。这样的节点矢量定义了均匀的B样条基。,
4、清华大学 计算机图形学,准均匀B样条 与均匀B样条曲线的差别在于两端节点具有重复度k,这样的节点矢量定义了准均匀的B样条基。均匀B样条曲线没有保留Bezier曲线端点的几何性质,即样条曲线的首末端点不再是控制多边形的首末端点。采用准均匀的B样条曲线解决了这个问题,清华大学 计算机图形学,分段Bezier曲线 节点矢量中两端节点具有重复度k,所有内节点重复度为k-1,这样的节点矢量定义了分段的Bernstein基。,清华大学 计算机图形学,B样条曲线用分段Bezier曲线表示后,各曲线段就具有了相对的独立性,移动曲线段内的一个控制顶点只影响该曲线段的形状,对其它曲线段的形状没有影响。并且Bezi
5、er曲线一整套简单有效的算法都可以原封不动地采用。缺点是增加了定义曲线的数据,控制顶点数及节点数。,清华大学 计算机图形学,非均匀B样条曲线 任意分布的节点矢量 ,只要在数学上成立(节点序列非递减,两端节点重复度k,内节点重复度k-1)都可选取。这样的节点矢量定义了非均匀B样条基。,清华大学 计算机图形学,3.3.2 B样条曲线的性质 局部性。k 阶B样条曲线上参数为 的一点至多与k个控制顶点 有关,与其它控制顶点无关;移动该曲线的第 i个控制顶点Pi至多影响到定义在区间 上那部分曲线的形状,对曲线的其余部分不发生影响。,清华大学 计算机图形学,连续性 P(t)在r重节点处的连续阶不低于 k-
6、1-r。 凸包性 P(t)在区间 上的部分位于k个点 的凸包 内,整条曲线则位于各凸包 的并集之内。,清华大学 计算机图形学,分段参数多项式 P(t)在每一区间上都是次数不高于k-1的参数t的多项式 导数公式,清华大学 计算机图形学,变差缩减性 设平面内 n+1 个控制顶点 构成B样条曲线 P(t) 的特征多边形。在该平面内的任意一条直线与 P(t) 的交点个数不多于该直线和特征多边形的交点个数。 几何不变性 B样条曲线的形状和位置与坐标系的选择无关。,清华大学 计算机图形学,仿射不变性 即在仿射变换下,的表达式具有形式不变性。 直线保持性 控制多边形退化为一条直线时, 曲线也退化为一条直线。
7、,清华大学 计算机图形学,造型的灵活性。 用B样条曲线可以构造直线段、尖点、切线等特殊情况.对于四阶(三次)B样条曲线.若要在其中得到一条直线段,只要四点 位于一条直线上,清华大学 计算机图形学,为了使P(t)能过P(i)点,只要使 重合 尖点也可通过三重节点的方法得到 为了使曲线和某一直线L相切,只要取 位于L上及 的重数不大于2。,清华大学 计算机图形学,清华大学 计算机图形学,3.3.3 de Boor 算法,欲计算B样条曲线上对应一点P(t),可以利用B样条曲线方程,但是采用de Boor 算法,计算更加快捷。 de Boor 算法的导出,清华大学 计算机图形学,现令 则 这就是著名的
8、de Boor 算法,清华大学 计算机图形学,de Boor 算法的递推关系如图,清华大学 计算机图形学,De Boor 算法的几何意义 de Boor算法有着直观的几何意义 割角,即以线段 割去角 。从多边形 开始,经过 k-1 层割角,最后得到P(t)上的点,清华大学 计算机图形学,清华大学 计算机图形学,3.3.4 节点插入算法,通过插入节点可以进一步改善B样条曲线的局部性质,提高B样条曲线的形状控制的灵活性,可以实现对曲线的分割等。 插入一个节点 在定义域某个节点区间 内插入一个节点t,得到新的节点矢量: 重新编号成为,清华大学 计算机图形学,这个新的节点矢量U1决定了一组新的B样条基
9、 原始的B样条曲线就可以用这组新的B样条基与未知新顶点 表示,清华大学 计算机图形学,Boehm给出了这些未知新顶点的计算公式 r 表示所插结点t在原始节点矢量T中的重复度。,清华大学 计算机图形学,清华大学 计算机图形学,清华大学 计算机图形学,3.3.5 B样条曲面,给定参数轴u和v的节点矢量 pq阶B样条曲面定义如下,清华大学 计算机图形学,构成一张控制网格,称为B样条曲面的特征网格。 和 是B样条基,分别由节点矢量U和V按deBoor-Cox递推公式决定。,清华大学 计算机图形学,清华大学 计算机图形学,3.4 NURBS曲线与曲面,B样条曲线包括其特例的Bezier曲线都不能精确表示
- 配套讲稿:
如PPT文件的首页显示word图标,表示该PPT已包含配套word讲稿。双击word图标可打开word文档。
- 特殊限制:
部分文档作品中含有的国旗、国徽等图片,仅作为作品整体效果示例展示,禁止商用。设计者仅对作品中独创性部分享有著作权。
- 关 键 词:
- 曲线 曲面
链接地址:https://www.31doc.com/p-2089918.html